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高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第2讲平面向量基本定理及坐标表示知能训练轻松闯关理

高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第2讲平面向量基本定理及坐标表示知能训练轻松闯关理

第 2 讲 平面向量基本定理及坐标表示 → → 1.(2016·北京一模)已知 AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线,AB=(2,4),AC=(1,3), → 则AD=( ) A.(2,4) B.(3,7) C.(1,1) D.(-1,-1) 解析:选 D. → → → 如图,BC=AC-AB=(-1,-1), → → 所以AD=BC=(-1,-1), 故选 D. ? 1 ? 2.已知向量 a=?8, x?,b=(x,1),其中 x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则 x 的值为( ) ? 2 ? A.4 B.8 C.0 D.2 1 ? ? 解析:选 A.a-2b=?8-2x, x-2?,2a+b=(16+x,x+1),由已知(a-2b)∥(2a+b), 2 ? ? 显然 2a+b≠0, 1 ? ? 故有?8-2x, x-2?=λ (16+x,x+1),λ ∈R, 2 ? ? 8 - 2 x = λ ( 16 +x), ? 所以?1 ? x=4(x>0). x-2=λ (x+1) ? ?2 3.(2016·日照一模)在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE → → → 的延长线与 CD 交于点 F,若AC=a,BD=b,则AF等于( ) 1 1 2 1 A. a+ b B. a+ b 4 2 3 3 1 1 1 2 C. a+ b D. a+ b 2 4 3 3 解析:选 B.如图, ? 因为△DEF∽△BEA, 所以 DF∶BA=DE∶BE=1∶3, 过点 F 作 FG∥BD 交 AC 于点 G, 所以 FG∶DO → 1 → → → 2→ 2 =2∶3,CG∶CO=2∶3,所以GF= b,因为AG=AO+OG= AC= a, 3 3 3 → → → 2 1 所以AF=AG+GF= a+ b.故选 B. 3 3 4.(2016·南昌十校联考)已知 a=( 3,1),若将向量-2a 绕坐标原点逆时针旋转 120° 得到向量 b,则 b 的坐标为( ) A.(0,4) B.(2 3,-2) C.(-2 3,2) D.(2,-2 3) 解析: 选 B.因为 a=( 3,1),所以-2a=(-2 3,-2),易知向量-2a 与 x 轴正半轴的夹角 α =150°(如图).向量-2a 绕坐标原点逆时针旋转 120°得到向量 b,在第四象限,与 x 轴 正半轴的夹角 β =30°,所以 b=(2 3,-2),故选 B. → → 5.如图,A,B 分别是射线 OM,ON 上的两点,给出下列向量:①OA+2OB; 1→ 1→ 3→ 1→ ② OA+ OB;③ OA+ OB; 2 3 4 3 3→ 1→ 3→ 1→ ④ OA+ OB;⑤ OA- OB,若这些向量均以 O 为起点,则终点落在阴影区域内(包括边界) 4 5 4 5 的有( ) A.①② B.②④ C.①③ D.③⑤ → → → → → 解析: 选 B.在 ON 上取点 C 使OC=2OB, 以 OA, OC 为邻边作平行四边形 OCDA, 则OD=OA+2OB, 1 → 1→ 其终点不在阴影区域内,排除选项 A,C;取 OA 的中点 E,作 EF 綊 OB,由于EF= OB,所以 2 2 1→ 1→ OA+ OB的终点在阴影区域内,排除选项 D.故选 B. 2 3 6.(2016·洛阳统考) → 如图,A,B,C 是圆 O 上的三点,CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外一点 D,若OC= → → mOA+nOB,则 m+n 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-1,0) → → → → → → 解析:选 D.由点 D 是圆 O 外一点,可设BD=λ BA(λ >1),则OD=OB+λ BA=λ OA+(1- λ → 1-λ → → → → → λ )·OB.又 C,O,D 三点共线,令OD=-μ OC(μ >1),则OC=- OA- OB(λ >1,μ μ μ λ 1-λ λ 1-λ 1 >1),所以 m=- ,n=- ,且 m+n=- - =- ∈(-1,0). μ μ μ μ μ → → 7.已知 O 为坐标原点,点 C 是线段 AB 上一点,且 A(1,1),C(2,3),|BC|=2|AC|,则向 → 量OB的坐标是________. → → → → 解析:由点 C 是线段 AB 上一点,|BC|=2|AC|,得BC=-2AC.设点 B 为(x,y),则(2-x,3 ? ? ?2-x=-2, ?x=4, → -y)=-2(1,2),即? 解得? 所以向量OB的坐标是(4,7). ?3-y=-4, ?y=7. ? ? 答案:(4,7) → → → 8.已知 A(2,1),B(3,5),C(3,2),AP=AB+tAC(t∈R),若点 P 在第二象限,则实数 t 的取值范围是________. → → → 解析:设点 P(x,y),则由AP=AB+tAC(t∈R),得(x-2,y-1)=(1,4)+t(1,1)=(1+ ? ? ? ?x-2=1+t, ?x=3+t, ?x=3+t<0, t,4+t),所以? 解得? 由点 P 在第二象限,得? ? ? ? ?y-1=4+t, ?y=5+t, ?y=5+t>0, 所以-5<t<-3. 答案:(-5,-3) 9.(2016·合肥质检)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,向量 a=(cos C, 3 b-c),向量 b=(cos A,a)且 a∥b,则 tan A=________. 解析:a∥b? ( 3b-c)cos A-acos C=0,即 3bcos A=ccos A+acos C,再由正弦定理 得 3sin Bcos A=sin Ccos A+cos Csin A? 3sin Bcos A=sin(C+A)=sin B,即 cos A 3 6 sin

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