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全国2卷文数试题

全国2卷文数试题

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。 3.答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷

一. 选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合要求的。
2,, 3} B ? {x | x2 ? 9} ,则 A ? B ? ( (1)已知集合 A ? {1,
? 1,, 0 1,, 2 3} (A) { ? 2,
? 1,, 0 1, 2} (B) { ? 2,


2} (D){1,

2 3} (C) {1,,

【答案】D

考点: 一元二次不等式的解法,集合的运算. 【名师点睛】集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简在计算,常常借助数轴或韦恩图 处理. (2)设复数 z 满足 z ? i ? 3 ? i ,则 z =( (A) ?1? 2i 【答案】C 【解析】 试题分析:由 z ? i ? 3 ? i 得, z ? 3 ? 2i ,所以 z ? 3 ? 2i ,故选 C.
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) (C) 3 ? 2i (D) 3 ? 2i

(B) 1 ? 2i

考点: 复数的运算,共轭复数. 【名师点睛】复数 a ? bi(a, b ? R) 的共轭复数是 a ? bi(a, b ? R) ,两个复数是共轭复数, 其模相等. (3) 函数 y =A sin(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则( )

? (A) y ? 2sin(2 x ? ) 6 ? (C) y ? 2sin(2 x+ ) 6

? (B) y ? 2sin(2 x ? ) 3 ? (D) y ? 2sin(2 x+ ) 3

【答案】A

考点: 三角函数图像的性质 【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是:先根据函数图像的最高点、最低点确定 A,h 的值,函数的周期确定 ω 的值,再根据函数图像上的一个特殊点确定 φ 值. (4) 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为( (A) 12 ? 【答案】A 【解析】 试题分析:因为正方体的体积为 8,所以棱长为 2,所以正方体的体对角线长为 2 3 ,所以 正方体的外接球的半径为 3 ,所以球面的表面积为 4? ? ( 3)2 ? 12? ,故选 A. 考点: 正方体的性质,球的表面积.
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) (D) ??

(B)

32 ? 3

(C) ??

【名师点睛】棱长为 a 的正方体中有三个球: 外接球、内切球和与各条棱都相切的球.其半 径分别为

3a a 2a 、 和 . 2 2 2
k (k>0)与 C 交于点 P,PF⊥x 轴,则 k= x 3 2

(5) 设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线 y= ( (A) )

1 2

(B)1

(C)

(D)2

【答案】D

考点: 抛物线的性质,反比例函数的性质. 【名师点睛】 抛物线方程有四种形式, 注意焦点的位置. 对函数 y=

k 当 k ? 0 时, (k ? 0) , x

在 (??, 0) , (0, ??) 上是减函数,当 k ? 0 时,在 (??, 0) , (0, ??) 上是增函数. (6) 圆 x2+y2?2x?8y+13=0 的圆心到直线 ax+y?1=0 的距离为 1,则 a=( (A)? ) (D)2

4 3

(B)?

3 4

(C) 3

【答案】A 【解析】 试题分析:由 x ? y ? 2 x ? 8 y ? 13 ? 0 配方得 ( x ?1) ? ( y ? 4) ? 4 ,所以圆心为 (1, 4) ,
2 2 2 2 2 2 半径 r ? 2 ,因为圆 x ? y ? 2 x ? 8 y ? 13 ? 0 的圆心到直线 ax ? y ? 1 ? 0 的距离为 1,

所以

| a ? 4 ? 1|
2 2

4 ? 1 ,解得 a ? ? ,故选 A. 3 a ?1

考点: 圆的方程,点到直线的距离公式. 【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况:相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关 系时,常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系,以此来确定 参数的值或取值范围. (7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )

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(A)20π 【答案】C

(B)24π

(C)28π

(D)32π

考点: 三视图,空间几何体的体积. 【名师点睛】 以三视图为载体考查几何体的体积, 解题的关键是根据三视图想象原几何体的 形状构成, 并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系, 然后在直观图中求 解. (8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现, 红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来 到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( (A) ) (D)

7 10

(B)

5 8

(C)

3 8

3 10

【答案】B 【解析】 试题分析:因为红灯持续时间为 40 秒.所以这名行人至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率 为

40 ? 15 5 ? ,故选 B. 40 8

考点: 几何概型. 【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而 与形状和位置无关,在解题时,要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概 型的求解方法. (9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框 图,若输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s=( )
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(A)7 【答案】C

(B)12

(C)17

(D)34

考点: 程序框图,直到型循环结构. 【名师点睛】识别算法框图和完善算法框图是高考的重点和热点.解决这类问题:首先,要 明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构;第二,要识别运行算法框图,理解框图 解决的实际问题;第三,按照题目的要求完成解答.对框图的考查常与函数和数列等结合, 进一步强化框图问题的实际背景. (10) 下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域和值域相同的是( (A)y=x 【答案】D 【解析】 试题分析: y ? 10
lg x



(B)y=lgx

(C)y=2x

(D) y ?

1 x

? x ,定义域与值域均为 ? 0, ?? ? ,只有 D 满足,故选 D.

考点: 函数的定义域、值域,对数的计算. 【名师点睛】基本初等函数的定义域、值域问题,应熟记图象,运用数形结合思想求解. (11) 函数 f ( x) ? cos 2 x ? 6 cos( (A)4 (B)5

π ? x) 的最大值为( 2

) (D)7

(C)6

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【答案】B 【解析】 试题分析:因为 f ( x) ? 1 ? 2sin 2 x ? 6sin x ? ?2(sin x ? )2 ?
sin x ? 1 时,取最大值 5,选 B.

3 2

11 ,而 sin x ?[?1,1] ,所以当 2

考点: 正弦函数的性质、二次函数的性质. 【名师点睛】 求解本题易出现的错误是认为当 sin x ? 得最大值. (12) 已知函数 f(x( ) x∈R) 满足 f(x)=f(2-x), 若函数 y=|x2-2x-3| 与 y=f(x) 图像的交点为 (x1,y1) , (x2,y2),?, (xm,ym) ,则 (A)0 【答案】B

3 3 11 时, 函数 y ? ?2(sin x ? ) 2 ? 取 2 2 2

?x =(
i ?1 i

m

) (C) 2m (D) 4m

(B)m

考点: 函数的奇偶性,对称性. 【名师点睛】如果函数 f ( x ) , ?x ? D ,满足 ?x ? D ,恒有 f (a ? x) ? f (b ? x) ,那么函 数的图象有对称轴 x ?

a?b ;如果函数 f ( x ) , ?x ? D ,满足 ?x ? D ,恒有 2

f (a ? x) ? ? f (b ? x) ,那么函数的图象有对称中心.

二.填空题:共 4 小题,每小题 5 分.
(13) 已知向量 a=(m,4),b=(3,-2),且 a∥b,则 m=___________. 【答案】 ?6 【解析】 试题分析:因为 a∥b,所以 ?2m ? 4 ? 3 ? 0 ,解得 m ? ?6 . 考点:平面向量的坐标运算 ,平行向量. 【名师点睛】如果 a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),则 a∥b 的充要条件是 x1y2-x2y1=0.
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?x ? y ?1 ? 0 ? (14) 若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为__________ ?x ? 3 ? 0 ?
【答案】 ?5

考点: 简单的线性规划. 【名师点睛】利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域; (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形; (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解; (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. (15)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A ? 则 b=____________. 【答案】 【解析】 试题分析: 因为 cos A ?

4 5 , cos C ? ,a=1, 5 13

21 13

4 5 3 12 , cos C ? , 且 A, C 为三角形内角, 所以 sin A ? ,sin C ? , 5 13 5 13 13 , 65

sin B ? sin[? ? ( A ? C )] ? sin( A ? B) ? sin A cos C ? cos A sin C ? a b a sin B 21 ? ? . ,所以 b ? sin A sin B sin A 13

又因为

考点: 正弦定理,三角函数和差公式. 【名师点睛】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理
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都要用, 要抓住能够利用某个定理的信息. 一般地, 如果式子中含有角的余弦或边的二次式, 要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理;以上特征 都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. (16)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3. 甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲 看了乙的卡片后 说: “我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ,乙看了丙的卡片后说: “我与丙的卡片上相同的 数字不是 1” , 丙说: “我的卡片上的数字之和不是 5” ,则甲的卡片上的数字是________________. 【答案】1 和 3 【解析】 试题分析:由题意分析可知甲的卡片上数字为 1 和 3,乙的卡片上数字为 2 和 3,丙卡片上 数字为 1 和 2. 考点: 逻辑推理. 【名师点睛】逻辑推理即演绎推理,就是从一般性的前提出发,通过推导即“演绎”,得出 具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于,它对人的思维 保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分 12 分) 等差数列{ an }中, a3 ? a 4 ? 4, a5 ? a 7 ? 6 . (Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ) 设 bn ? [an ] ,求数列 {bn } 的前 10 项和,其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 [0.9]=0,[2.6]=2. 【答案】 (Ⅰ) an ?

2n ? 3 ; (Ⅱ)24. 5

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试题解析:(Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d,由题意有 2a1 ? 5d ? 4, a1 ? 5d ? 3 ,解得

a1 ? 1, d ?

2 , 5 2n ? 3 . 5

所以 ?an ? 的通项公式为 an ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? ? 当 n ? 1,2,3 时, 1 ?

? 2n ? 3 ? , ? 5 ? ?

2n ? 3 ? 2, bn ? 1; 5 2n ? 3 ? 3, bn ? 2 ; 当 n ? 4,5 时, 2 ? 5 2n ? 3 ? 4, bn ? 3 ; 当 n ? 6,7,8 时, 3 ? 5 2n ? 3 ? 5, bn ? 4 , 当 n ? 9,10 时, 4 ? 5
所以数列 ?bn ? 的前 10 项和为 1? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 2 ? 24 . 考点:等差数列的性质 ,数列的求和. 【名师点睛】求解本题会出现以下错误:①对“ (18)(本小题满分 12 分) 某险种的基本保费为 a (单位:元) ,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度 的保费与其 上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数 保费 0 1 2 3 4

? x? 表示不超过 x 的最大整数”理解出错;

?5 2a

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表: 出险次数 频数 0 60 1 50 2 30 3 30 4 20

?5
10

(Ⅰ)记 A 为事件: “一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求 P ( A) 的估计值; (Ⅱ)记 B 为事件: “一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”. 求 P ( B ) 的估计值; (III)求续保人本年度的平均保费估计值.
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【答案】 (Ⅰ)由

60 ? 50 30 ? 30 求 P ( A) 的估计值; (Ⅱ)由 求 P ( B ) 的估计值; (III)根 200 200

据平均值得计算公式求解.

试题解析: (Ⅰ)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知,一年内险次数 小于 2 的频率为

60 ? 50 ? 0.55 , 200

故 P(A)的估计值为 0.55. (Ⅱ)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由是给数据知,一年内出险次 数大于 1 且小于 4 的频率为 故 P(B)的估计值为 0.3.

30 ? 30 ? 0.3 , 200

考点: 样本的频率、平均值的计算. 【名师点睛】样本的数字特征常见的命题角度有:(1)样本的数字特征与直方图交汇;(2) 样本的数字特征与茎叶图交汇;(3)样本的数字特征与优化决策问题. (19) (本小题满分 12 分) 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ,点 E 、 F 分别在 AD , CD 上,

AE ? CF , EF
交 BD 于点 H ,将 ?DEF 沿 EF 折到 ?D ' EF 的位置. (Ⅰ)证明: AC ? HD ' ; (Ⅱ)若 AB ? 5, AC ? 6, AE ?

5 , OD ' ? 2 2 ,求五棱锥 D? ? ABCEF 体积. 4
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【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 【解析】

69 . 4

试题分析: (Ⅰ)证 AC / / EF . 再证 AC / / HD?. (Ⅱ)根据勾股定理证明 ?OD?H 是直角三 角形,从而得到 OD? ? OH . 进而有 AC ? 平面 BHD? ,证明 OD? ? 平面 ABC. 根据菱形的 面积减去三角形 DEF 的面积求得五边形 ABCFE 的面积, 最后由椎体的体积公式求五棱锥

D? ? ABCEF 体积.
试题解析: (I)由已知得, AC ? BD, AD ? CD. 又由 AE ? CF 得

AE CF ? ,故 AC / / EF . AD CD

由此得 EF ? HD, EF ? HD? ,所以 AC / / HD?. .

五边形 ABCFE 的面积 S ?

1 1 9 69 ? 6?8 ? ? ?3 ? . 2 2 2 4

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所以五棱锥 D '? ABCEF 体积 V ?

1 69 23 2 ? ?2 2 ? . 3 4 2

考点: 空间中的线面关系判断,几何体的体积. 【名师点睛】 立体几何中的折叠问题, 应注意折叠前后线段的长度、 角哪些变了, 哪些没变. (20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? a( x ? 1) . (I)当 a ? 4 时,求曲线 y ? f ( x) 在 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (Ⅱ)若当 x ? ?1, ?? ? 时, f ( x)>0 ,求 a 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ) 2 x ? y ? 2 ? 0 ; (Ⅱ) ? ??, 2?. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先求函数的定义域,再求 f ?( x ) , f ?(1) , f (1) ,由直线方程得点斜式可 求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 2 x ? y ? 2 ? 0. (Ⅱ)构造新函数

g ( x) ? ln x ?

a ( x ? 1) ,对实数 a 分类讨论,用导数法求解. x ?1

试题解析: (I) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .当 a ? 4 时,

f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 4( x ? 1), f ?( x) ? ln x ?

1 ? 3 , f ?(1) ? ?2, f (1) ? 0. x

所以曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 2 x ? y ? 2 ? 0.

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考点: 导数的几何意义,函数的单调性. 【名师点睛】求函数的单调区间的方法: (1)确定函数 y=f(x)的定义域; (2)求导数 y′=f′(x); (3)解不等式 f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式 f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. (21) (本小题满分 12 分) 已知 A 是椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 的左顶点,斜率为 k ? k>0? 的直线交 E 与 A , M 两点,点 4 3

N 在 E 上,

MA ? NA .
(Ⅰ)当 AM ? AN 时,求 ?AMN 的面积; (Ⅱ)当 AM ? AN 时,证明: 3 ? k ? 2 .

【答案】 (Ⅰ)

144 ; (Ⅱ) 49

?

3

2, 2 .

?

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试题解析: (Ⅰ)设 M ( x1 , y1 ) ,则由题意知 y1 ? 0 . 由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为 又 A(?2, 0) ,因此直线 AM 的方程为 y ? x ? 2 . 将 x ? y ? 2 代入 解得 y ? 0 或 y ?

? , 4

x2 y 2 ? ? 1 得 7 y 2 ?12 y ? 0 , 4 3

12 12 ,所以 y1 ? . 7 7 1 12 12 144 ? 因此 ?AMN 的面积 S ?AMN ? 2 ? ? ? . 2 7 7 49
(2)将直线 AM 的方程 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 代入

x2 y 2 ? ? 1得 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 .
由 x1 ? (?2) ?

12 1 ? k 2 16k 2 ? 12 2(3 ? 4k 2 ) 2 x ? 得 ,故 . | AM | ? 1 ? k | x ? 2 | ? 1 1 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 12k 1 ? k 2 1 ( x ? 2) ,故同理可得 | AN |? . k 4 ? 3k 2

由题设,直线 AN 的方程为 y ? ? 由 2 | AM |?| AN | 得
3 2

2 k 3 2 ? ,即 4k ? 6k ? 3k ? 8 ? 0 . 2 3 ? 4k 4 ? 3k 2
2 2

设 f (t ) ? 4t ? 6t ? 3t ? 8 ,则 k 是 f (t ) 的零点, f '(t ) ? 12t ?12t ? 3 ? 3(2t ?1) ? 0 , 所以 f (t ) 在 (0, ??) 单调递增,又 f ( 3) ? 15 3 ? 26 ? 0, f (2) ? 6 ? 0 , 因此 f (t ) 在 (0, ??) 有唯一的零点,且零点 k 在 ( 3, 2) 内,所以 3 ? k ? 2 . 考点:椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.

【名师点睛】本题中

3k ? 2 k ?1 ? 2 k t ? ? 3 ,解不等式,即 ,分离变量 ,得 t ? k3 ? 2 3 ? tk 2 3k 2 ? t
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求得实数 k 的取值范围. 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清 题号 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在正方形 ABCD 中, E , G 分别在边 DA, DC 上(不与端点重合) ,且 DE ? DG , 过 D 点作

DF ? CE ,垂足为 F .
(Ⅰ) 证明: B, C , G, F 四点共圆; (Ⅱ)若 AB ? 1 , E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积.

【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)

1 . 2

试题解析: (I)因为 DF ? EC ,所以 ?DEF ? ?CDF , 则有 ?GDF ? ?DEF ? ?FCB,

DF DE DG ? ? , CF CD CB

所以 ?DGF ? ?CBF , 由此可得 ?DGF ? ?CBF , 由此 ?CGF ? ?CBF ? 180 , 所以 B, C , G, F 四点共圆.
0

(II)由 B, C , G, F 四点共圆, CG ? CB 知 FG ? FB ,连结 GB ,

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由 G 为 Rt ?DFC 斜边 CD 的中点,知 GF ? GC ,故 Rt ?BCG ? Rt ?BFG, 因此四边形 BCGF 的面积 S 是 ?GCB 面积 S ?GCB 的 2 倍,即

1 1 1 S ? 2S?GCB ? 2 ? ? ? 1 ? . 2 2 2

考点: 三角形相似、全等,四点共圆 【名师点睛】 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理, 特别要注意对应 角和对应边. 证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题. 相似三角形的性质 可用来证明线段成比例、角相等;可间接证明线段相等. (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 25 . (Ⅰ)以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的参数方程是 ? 求 l 的斜率. 【答案】 (Ⅰ) ? 2 ? 12? cos? ? 11 ? 0 ; (Ⅱ) ?

? x ? t cos ? ( t 为参数), l 与 C 交于 A, B 两点, | AB |? 10 , ? y ? t sin ?

15 . 3

试题解析: (I)由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 可得 C 的极坐标方程 ? ? 12? cos? ? 11 ? 0.
2

(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R)
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由 A, B 所对应的极径分别为 ?1 , ?2 , 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得

? 2 ? 12? cos ? ? 11 ? 0.
于是 ?1 ? ?2 ? ?12cos ? , ?1?2 ? 11,

| AB |?| ?1 ? ?2 |? ( ?1 ? ?2 ) 2 ? 4 ?1 ?2 ? 144cos 2 ? ? 44,
由 | AB |? 10 得 cos 2 ? ?

3 15 , , tan ? ? ? 8 3

所以 l 的斜率为

15 15 或? . 3 3

考点:圆的极坐标方程与普通方程互化, 直线的参数方程,点到直线的距离公式. 【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点:在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注 意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一.在曲线的方程进行互化时,一定 要注意变量的范围.要注意转化的等价性. (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? (Ⅰ)求 M ; (Ⅱ)证明:当 a, b ? M 时, | a ? b |?|1 ? ab | . 【答案】 (Ⅰ) M ? {x | ?1 ? x ? 1} ; (Ⅱ)详见解析.

1 1 | ? | x ? | , M 为不等式 f ( x) ? 2 的解集. 2 2

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1 ? ? ?2 x , x ? ? 2 , ? 1 ? 1 试题解析: (I) f ( x ) ? ?1, ? ? x ? , 2 ? 2 1 ? ? 2 x, x ? 2 . ?
当x??

1 时,由 f ( x) ? 2 得 ?2 x ? 2, 解得 x ? ?1 ; 2

当?

1 1 ? x ? 时, f ( x) ? 2 ; 2 2 1 时,由 f ( x) ? 2 得 2 x ? 2, 解得 x ? 1 . 2

当x?

所以 f ( x) ? 2 的解集 M ? {x | ?1 ? x ? 1} .

考点:绝对值不等式,不等式的证明. 【名师点睛】形如 | x ? a | ? | x ? b |? c (或 ? c )型的不等式主要有三种解法: (1)分段讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为 (??, a ] ,( a, b] ,(b, ??) (此处设 a ? b )三个部分,在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解,然后取 各个不等式解集的并集. (2)几何法:利用 | x ? a | ? | x ? b |? c(c ? 0) 的几何意义:数轴上到点 x1 ? a 和 x2 ? b 的距 离之和大于 c 的全体, | x ? a | ? | x ? b |?| x ? a ? ( x ? b) |?| a ? b | . (3)图象法:作出函数 y1 ?| x ? a | ? | x ? b | 和 y2 ? c 的图象,结合图象求解.

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