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四川省成都七中2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含答案

四川省成都七中2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含答案

2016-2017 学年四川省成都七中高一(上)期末数学试卷

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={0,1,2},B={2,3},则 A∪B=( ) A.{0,1,2,3} B.{0,1,3} C.{0,1} D.{2} 2.下列函数中,为偶函数的是( )

A.y=log2x B.

C.y=2﹣x D.y=x﹣2

3.已知扇形的弧长为 6,圆心角弧度数为 3,则其面积为( ) A.3 B.6 C.9 D.12

4.已知点 A(0,1),B(﹣2,1),向量

,则 在 方向上的投影为( )

A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2

5.设 α 是第三象限角,化简:

=( )

A.1 B.0 C.﹣1 D.2

6.已知 α 为常数,幂函数 f(x)=xα 满足

,则 f(3)=( )

A.2 B. C. D.﹣2

7.已知 f(sinx)=cos4x,则

=( )

A. B. C. D. 8.要得到函数 y=log2(2x+1)的图象,只需将 y=1+log2x 的图象( ) A.向左移动 个单位 B.向右移动 个单位 C.向左移动 1 个单位 D.向右移动 1 个单位 9.向高为 H 的水瓶(形状如图)中注水,注满为止,则水深 h 与注水量 v 的函数

关系的大致图象是( )

-1-

A.

B.

C.

D.

10.已知函数

,若 f[f(x0)]=﹣2,则 x0 的值为( )

A.﹣1 B.0 C.1 D.2

11.已知函数

,若

,则

A.1 B.0 C.﹣1 D.﹣2

12.已知平面向量 , , 满足



,且

的取值范围是( ) A.[0,2] B.[1,3] C.[2,4] D.[3,5]

=( ) ,则

二、填空题(本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,答案写在答题卡相应横线上)

13.设向量 , 不共线,若

,则实数 λ 的值为 .

14.函数

的定义域是 .

15.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象(如图 所示),则 f(x)的解+析式为 .

16.设 e 为自然对数的底数,若函数 f(x)=ex(2﹣ex)+(a+2)?|ex﹣1|﹣a2 存 在三个零点,则实数 a 的取值范围是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.)

17.(10 分)设向量



,已知



-2-

(I)求实数 x 的值; (II)求 与 的夹角的大小.

18.(12 分)已知



(I)求 tanα 的值;

(II)若﹣π<α<0,求 sinα+cosα 的值.

19.(12 分)如图,在△ABC 中,M 为 BC 的中点,



(I)以 , 为基底表示 和 ;

(II)若∠ABC=120°,CB=4,且 AM⊥CN,求 CA 的长.

20.(12 分)某地政府落实党中央“精准扶贫”政策,解决一贫困山村的人畜用水 困难,拟修建一个底面为正方形(由地形限制边长不超过 10m)的无盖长方体蓄 水池,设计蓄水量为 800m3.已知底面造价为 160 元/m2,侧面造价为 100 元/m2. (I)将蓄水池总造价 f(x)(单位:元)表示为底面边长 x(单位:m)的函数; (II)运用函数的单调性定义及相关知识,求蓄水池总造价 f(x)的最小值.

21.(12 分)已知函数

,其中 ω>0.

(I)若对任意 x∈R 都有

,求 ω 的最小值;

(II)若函数 y=lgf(x)在区间

上单调递增,求 ω 的取值范围?

22.(12 分)定义函数

,其中 x 为自变量,a 为常数.

(I)若当 x∈[0,2]时,函数 fa(x)的最小值为一 1,求 a 之值; (II)设全集 U=R,集 A={x|f3(x)≥fa(0)},B={x|fa(x)+fa(2﹣x)=f2(2)}, 且(?UA)∩B≠?中,求 a 的取值范围.

2016-2017 学年四川省成都七中高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解+析 -3-

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={0,1,2},B={2,3},则 A∪B=( ) A.{0,1,2,3} B.{0,1,3} C.{0,1} D.{2} 【考点】并集及其运算. 【分析】利用并集定义直接求解. 【解答】解:∵集合 A={0,1,2},B={2,3}, ∴A∪B={0,1,2,3}. 故选:A. 【点评】本题考查并集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意并集定义的 合理运用.

2.下列函数中,为偶函数的是( )

A.y=log2x B.

C.y=2﹣x D.y=x﹣2

【考点】函数奇偶性的判断.

【分析】由常见函数的奇偶性和定义的运用,首先求出定义域,判断是否关于原

点对称,再计算 f(﹣x),与 f(x)的关系,即可判断为偶函数的函数. 【解答】解:对于 A,为对数函数,定义域为 R+,为非奇非偶函数; 对于 B.为幂函数,定义域为[0,+∞),则为非奇非偶函数; 对于 C.定义域为 R,关于原点对称,为指数函数,则为非奇非偶函数; 对于 D.定义域为{x|x≠0,x∈R},f(﹣x)=f(x),则为偶函数. 故选 D. 【点评】本题考查函数的奇偶性的判断,考查常见函数的奇偶性和定义的运用,

考查运算能力,属于基础题.

3.已知扇形的弧长为 6,圆心角弧度数为 3,则其面积为( ) A.3 B.6 C.9 D.12 【考点】扇形面积公式.
-4-

【分析】利用扇形的面积计算公式、弧长公式即可得出. 【解答】解:由弧长公式可得 6=3r,解得 r=2.

∴扇形的面积 S=

=6.

故选 B. 【点评】本题考查了扇形的面积计算公式、弧长公式,属于基础题.

4.已知点 A(0,1),B(﹣2,1),向量 A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2 【考点】平面向量数量积的运算.

,则 在 方向上的投影为( )

【分析】利用 在 方向上的投影=

,即可得出.

【解答】解: =(﹣2,0),

则 在 方向上的投影=

= =﹣2.

故选:D. 【点评】本题考查了向量数量积的运算性质、向量投影定义及其计算公式,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题.

5.设 α 是第三象限角,化简:

=( )

A.1 B.0 C.﹣1 D.2 【考点】三角函数的化简求值. 【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算,再利用同角三角函数间基本关系 化简,结合角的范围即可得到结果. 【解答】解:∵α 是第三象限角,可得:cosα<0,



=﹣



∵cos2α+cos2αtan2α=cos2α+cos2α?

=cos2α+sin2α=1.



=﹣1.

-5-

故选:C. 【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题 的关键,属于基础题.

6.已知 α 为常数,幂函数 f(x)=xα 满足

,则 f(3)=( )

A.2 B. C. D.﹣2

【考点】幂函数的概念、解+析式、定义域、值域.

【分析】利用待定系数法求出 f(x)=

,由此能求出 f(3).

【解答】解:∵α 为常数,幂函数 f(x)=xα 满足



∴f( )=

=2,解得



∴f(x)=



∴f(3)=

=.

故选:B. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意幂函数性 质的合理运用.

7.已知 f(sinx)=cos4x,则

=( )

A. B. C. D.

【考点】函数的值.

【分析】由 f(sinx)=cos4x,得到

=f(sin30°)=cos120°,由此能求出结果.

【解答】解:∵f(sinx)=cos4x,



=f(sin30°)=cos120°=﹣cos60°=﹣ .

故选:C. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质 的合理运用.

-6-

8.要得到函数 y=log2(2x+1)的图象,只需将 y=1+log2x 的图象( ) A.向左移动 个单位 B.向右移动 个单位 C.向左移动 1 个单位 D.向右移动 1 个单位 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】分别化简两个函数,由函数图象的变换即可得解. 【解答】解:∵y=log2(2x+1)=log22(x+ ), y=1+log2x=log22x, ∴由函数图象的变换可知:将 y=log22x 向左移动 个单位即可得到 y=log2(2x+1) =log22(x+ )的图象. 故选:A. 【点评】本题考查了函数图象的变换,属基础题.
9.向高为 H 的水瓶(形状如图)中注水,注满为止,则水深 h 与注水量 v 的函数
关系的大致图象是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】从水瓶的构造形状上看,从底部到顶部的变化关系为:开始宽,逐渐细 小,再变宽,再从函数的图象上看,选出答案. 【解答】解:从水瓶的构造形状上看,从底部到顶部的变化关系为:开始宽,逐 渐细小,再变宽. 则注入的水量 V 随水深 h 的变化关系为:先慢再快,最后又变慢, 那么从函数的图象上看, C 对应的图象变化为先快再慢,最后又变快,不符合;A、B 对应的图象中间没有 变化,只有 D 符合条件.
-7-

故选:D 【点评】本题主要考查函数的定义及函数的图象的关系,抓住变量之间的变化关 系是解题的关键.

10.已知函数

,若 f[f(x0)]=﹣2,则 x0 的值为( )

A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【考点】函数的值.

【分析】当 f(x0)≥1 时,f[f(x0)]=

=﹣2;当 f(x0)<1 时,f[f

(x0)]=1﹣3f(x0)=﹣2.由此进行分类讨论,能求出 x0 的值.

【解答】解:∵函数

,f[f(x0)]=﹣2,

∴①当 f(x0)≥1 时,f[f(x0)]=

=﹣2,

f(x0)=4,则当 x0≥1 时,f(x0)=

,解得 x0= ,不成立;

当 x0<1 时,f(x0)=1﹣3x0=4,解得 x0=﹣1. ②当 f(x0)<1 时,f[f(x0)]=1﹣3f(x0)=﹣2,f(x0)=1.不成立. 综上,x0 的值为﹣1. 故选:A.

【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质

的合理运用.

11.已知函数

,若

,则

=( )

A.1 B.0 C.﹣1 D.﹣2 【考点】运用诱导公式化简求值. 【分析】由已知利用诱导公式,同角三角函数基本关系式可求 tanα=3,进而利用 诱导公式,同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解.

-8-

【解答】解:由已知可得:

=log2

=log2



可得:﹣sinα﹣cosα=2(﹣sinα+cosα),解得:tanα=3, 则

=log2

=log2

=log2

=log2
=log2 =﹣1. 故选:C. 【点评】本题主要考查了诱导公式,同角三角函数基本关系式在三角函数化简求 值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.

12.已知平面向量 , , 满足



,且

的取值范围是( ) A.[0,2] B.[1,3] C.[2,4] D.[3,5] 【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】由



,可得

=

,则 .由

,可得 =



的夹角.化简即可得出.

【解答】解:∵



,∴

=

cosα﹣3,设 α 为 与 =4.

∵ 的夹角.

,∴ =



cosα﹣3,设 α 为 与

∴cosα=

∈[﹣1,1],

解得 ∈[1,3]. 故选:B.

-9-

【点评】本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、不等式的解法,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题.

二、填空题(本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,答案写在答题卡相应横线上)

13.设向量 , 不共线,若

,则实数 λ 的值为 ﹣2 .

【考点】平行向量与共线向量.

【分析】

,则存在实数 k 使得

=k



化简利用向量相等即可得出.

【解答】解:∵

,则存在实数 k 使得

=k



∴(1﹣kλ) ﹣(2+4k) = ,

∵向量 , 不共线,
∴1﹣kλ=0,﹣(2+4k)=0,解得 λ=﹣2. 故答案为:﹣2. 【点评】本题考查了向量共线定理、向量相等、共面向量基本定理,考查了推理 能力与计算能力,属于基础题.

14.函数

的定义域是 [0, ) .

【考点】函数的定义域及其求法.

【分析】由偶次根式被开方数非负和正切函数的定义域,可得 x≠kπ+ ,k∈Z, 且 πx﹣2x2≥0,解不等式即可得到所求.

【解答】解:由 x≠kπ+ ,k∈Z,且 πx﹣2x2≥0,

可得 0≤x< ,

故定义域为[0, ).

故答案为:[0, ).

- 10 -

【点评】本题考查函数的定义域的求法,注意偶次根式被开方数非负和正切函数 的定义域,考查运算能力,属于基础题.

15.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象(如图

所示),则 f(x)的解+析式为



【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解+析式. 【分析】由题意求出 A,T,利用周期公式求出 ω,利用当 x= 时取得最大值 2, 求出 φ,得到函数的解+析式,即可得解. 【解答】解:由题意可知 A=2,T=4( ﹣ )=π,可得:ω= =2,

由于:当 x= 时取得最大值 2,

所以:2=2sin(2× +φ),可得:2× +φ=2kπ+ ,k∈Z,

解得:φ=2kπ+ ,k∈Z, 由于:|φ|<π, 所以:φ= ,

函数 f(x)的解+析式:f(x)=2sin(2x+ ).

故答案为:



【点评】本题是基础题,考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解+析式,注意 函数的周期的求法,考查计算能力,常考题型.

16.设 e 为自然对数的底数,若函数 f(x)=ex(2﹣ex)+(a+2)?|ex﹣1|﹣a2 存 在三个零点,则实数 a 的取值范围是 (1,2] . 【考点】根的存在性及根的个数判断.
- 11 -

【分析】利用换元法,可得 f(m)=﹣m2+(a+2)m+1﹣a2,f(x)有 3 个零点, 根据 m=|t|=|ex﹣1|,可得 f(m)的一根在(0,1),另一根在[1,+∞),由此, 即可求出实数 a 的取值范围. 【解答】解:令 t=ex﹣1,ex=t+1,f(t)=1﹣t2+(a+2)|t|﹣a2, 令 m=|t|=|ex﹣1|,则 f(m)=﹣m2+(a+2)m+1﹣a2, ∵f(x)有 3 个零点, ∴根据 m=|t|=|ex﹣1|,可得 f(m)的一根在(0,1),另一根在[1,+∞),

∴a∈(1,2]. 故答案为(1,2]. 【点评】本题考查实数 a 的取值范围,考查函数的零点,考查方程根的研究,正 确转化是关键.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.)

17.(10 分)(2016 秋?武侯区校级期末)设向量



,已知



(I)求实数 x 的值;

(II)求 与 的夹角的大小.

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】(I)利用向量数量积运算性质即可得出.

(II)利用向量夹角公式即可得出.

【解答】解:(Ⅰ)∵





= ,即 + =0…

∴2(7x﹣4)+50=0,解得 x=﹣3… (Ⅱ)设 与 的夹角为 θ, =(﹣3,4), =(7,﹣1),∴ 25,…

=﹣21﹣4=﹣

且=

=5, =5 …(8 分),

- 12 -



.…(9 分)

∵θ∈[0,π],∴

,即 a,b 夹角为 .…(10 分)

【点评】本题考查了向量数量积的运算性质、向量夹角公式,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题.

18.(12 分)(2016 秋?武侯区校级期末)已知



(I)求 tanα 的值; (II)若﹣π<α<0,求 sinα+cosα 的值. 【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【分析】(I)由条件利用同角三角函数的基本关系求得 3sinα=﹣6cosα,可得 tanα 的值. (II)利用同角三角函数的基本关系求得 sinα、cosα 的值,可得 sinα+cosα 的值.

【解答】解:(I)∵已知

, 可 得 3sinα= ﹣ 6cosα , ∴



(Ⅱ)∵α∈(﹣π,0),且 tanα=

=﹣2,sinα<0,sin2α+cos2α=1,



,∴

,∴



【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,属于基础题.

19.(12 分)(2016 秋?武侯区校级期末)如图,在△ABC 中,M 为 BC 的中点, .
(I)以 , 为基底表示 和 ; (II)若∠ABC=120°,CB=4,且 AM⊥CN,求 CA 的长.

【考点】平面向量数量积的运算.
- 13 -

【分析】(Ⅰ)根据向量的几何意义即可求出, (Ⅱ)根据向量的垂直和向量的数量积公式即可求出答案.

【解答】解:(Ⅰ)





(Ⅱ)由已知 AM⊥CN,得

,即



展开得



又∵∠ACB=120°,CB=4,









解得

,即 CA=8 为所求

【点评】本题考查了向量的几何意义和向量的垂直和向量的数量积的运算,属于

基础题.

20.(12 分)(2016 秋?武侯区校级期末)某地政府落实党中央“精准扶贫”政策, 解决一贫困山村的人畜用水困难,拟修建一个底面为正方形(由地形限制边长不 超过 10m)的无盖长方体蓄水池,设计蓄水量为 800m3.已知底面造价为 160 元/m2, 侧面造价为 100 元/m2. (I)将蓄水池总造价 f(x)(单位:元)表示为底面边长 x(单位:m)的函数; (II)运用函数的单调性定义及相关知识,求蓄水池总造价 f(x)的最小值. 【考点】基本不等式在最值问题中的应用.

【分析】(I)设蓄水池高为 h,则

,利用底面造价为 160 元/m2,侧面造价

为 100 元/m2,即可将蓄水池总造价 f(x)(单位:元)表示为底面边长 x(单位: m)的函数; (II)确定 y=f(x)在 x∈(0,10]上单调递减,即可求蓄水池总造价 f(x)的最 小值.

【解答】解:(Ⅰ)设蓄水池高为 h,则

,…

- 14 -





=



( Ⅱ ) 任 取 x1 , x2 ∈ ( 0 , 10] , 且 x1 < x2 , 则

=

…(8 分)

∵0<x1<x2≤10,∴x1x2>0,x1﹣x2<0,x1x2(x1+x2)<2000, ∴y=f(x1)﹣f(x2),即 f(x1)>f(x2),∴y=f(x)在 x∈(0,10]上单调递减… (10 分) 故 x=10 当时,fmin(x)=f(10)=48000…(11 分) 答:当底面边长为 10m 时,蓄水池最低造价为 48000 元…(12 分) 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查函数单调性的运用,考查学 生分析解决问题的能力,属于中档题.

21.(12 分)(2016 秋?武侯区校级期末)已知函数

,其

中 ω>0.

(I)若对任意 x∈R 都有

,求 ω 的最小值;

(II)若函数 y=lgf(x)在区间

上单调递增,求 ω 的取值范围?

【考点】正弦函数的图象;复合函数的单调性.

【分析】(Ⅰ)由题意知 f(x)在

处取得最大值,令

,求出 ω 的最小值;

(Ⅱ)解法一:根据题意,利用正弦函数和对数函数的单调性,列出不等式求出 ω 的取值范围. 解法二:根据正弦函数的图象与性质,结合复合函数的单调性,列出不等式求出 ω 的取值范围.

【解答】解:(Ⅰ)由已知 f(x)在

处取得最大值,

- 15 -



;…

解得

,…

又∵ω>0,∴当 k=0 时,ω 的最小值为 2;…

(Ⅱ)解法一:∵





,…

又∵y=lgf(x)在

内单增,且 f(x)>0,



.…(8 分)

解得:

.…(10 分)



,∴

又∵ω>0,∴k=0,

故 ω 的取值范围是

且 k∈Z,…(11 分) .…(12 分)

解法二:根据正弦函数的图象与性质,得





,∴0<ω≤4,

又 y=lgf(x)在

内单增,且 f(x)>0,





解得:



可得 k=0,所以 ω 的取值范围是



【点评】本题考查了三角函数的化简与应用问题,也考查了复合函数的单调性问 题,是综合性题目.

22.(12 分)(2016 秋?武侯区校级期末)定义函数

,其

- 16 -

中 x 为自变量,a 为常数.

(I)若当 x∈[0,2]时,函数 fa(x)的最小值为一 1,求 a 之值; (II)设全集 U=R,集 A={x|f3(x)≥fa(0)},B={x|fa(x)+fa(2﹣x)=f2(2)}, 且(?UA)∩B≠?中,求 a 的取值范围. 【考点】函数的最值及其几何意义;交集及其运算.

【分析】(I)若当 x∈[0,2]时,换元,得到 φ(t)=t2﹣(a+1)t+a,t∈[1,4],

分类讨论,利用函数 fa(x)的最小值为﹣1,求 a 之值;

(II)令 t=

,则 t∈[4,5),方程(t2﹣8)﹣(a+1)t+2a﹣6 在[4,5)上

有解,也等价于方程

在 t∈[4,5)上有解,利用基本不等式,即可

求 a 的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)令 t=2x,∵x∈[0,2],∴t∈[1,4], 设 φ(t)=t2﹣(a+1)t+a,t∈[1,4]…(1 分)

1°当

,即 a≤1 时,fmin(x)=φ(1)=0,与已知矛盾;…

2°当

,即



解得 a=3 或 a=﹣1,∵1<a<7,∴a=3;…

3°当

,即 a≥7,fmin(x)=φ(4)=16﹣4a﹣4+a=1,

解得 ,但与 a≥7 矛盾,故舍去…

综上所述,a 之值为 3… (Ⅱ)?UA={x|4x﹣4?2x+3<0}={x|0<x<log23}… B={x|4x ﹣ ( a+1 ) ?2x+a+42 ﹣ x ﹣ ( a+1 ) ?22 ﹣

x+a=6}=

.…(7 分)

由已知(?UA)∩B≠?即

﹣(a+1)(

)+2a﹣6=0 在(0,log23)

内有解,

令 t=

,则 t∈[4,5),方程(t2﹣8)﹣(a+1)t+2a﹣6 在[4,5)上有解,

也等价于方程

在 t∈[4,5)上有解…(9 分)

- 17 -



在 t∈[4,5)上单调递增,…(10 分)

∴h(t)∈[﹣1,2)…(11 分) 故所求 a 的取值范围是[﹣1,2)…(12 分) 【点评】本题考查二次函数的最值,考查分类讨论的数学思想,考查换元法的运 用,属于中档题.

- 18 -


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