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2019最新人教A版高中数学选修1-2课件3.1《数系的扩充和复数的概念》1(新选修1—2)优质课件_图文

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第三章 数系的扩充与复数的引 入

数系的不断扩充体现了 人类在数 的认识上的深化.就像人类进入太 空实现了对宇宙认识的 飞跃一样, 复数的引入是对数的认 识的一次 飞跃.

3.1 数系的扩充和复数的概 念

3.1.1 数系的扩充和复数的概 念

思考 方程x2 ? 1 ? 0在实数中无解,联系从自然 数系到实数 系的扩充过 程 ,你能设想一种方法, 使这个方程有解吗 ? 回顾从自然数系逐步扩 充到实数系的过程 ,可 以看到 ,数系的每一次扩充都与 实际需求密切 相关.例如,为了解决x2 ? 2 ? 0 这样的方程在有 理数集中无解 ,以及正方形对角线的度 量等问 题,人们把有理数系扩充到 了实数系.数系扩充 后,在实数系中规定的加法 运算、乘法运算,与 原来 在 有理数系中规定的加法 运算、乘法运 算协调一致 : 加法和乘法都满足交换 律和结合 律,乘法对加法满足分配律.

依照这种思想,我们来研究把实数系进一步扩充 的问题.
为了解决 x2. ? 1 ? 0这样的方程在实数系中无解 的问题,我们设想引入一个新数i,使i是方程x2 ? 1 ? 0的根,即使i ? i ? ?1.把这个新数i添加到实数集 中去,得到一个新数集,记作A,那么方程x2 ? 1 ? 0 在A中就有解x ? i了 我们从数集A出发,希望新引进的数i和实数之间 仍然能象实数系那样进行加法和乘法运算,并希 望加法和乘法都满足交换律、结合律,以及乘法 对加法满足分配律.

依照以上设想,把实数 a与新引入的数i相加,结果 记作a ? i;把实数b与i相乘,结果记作bi;把实数a与 实数b和i相乘的结果相加,结果记作a ? bi,等等.由 于加法和乘法的运算律仍然应该成立 ,从而这些 运算的结果都可以写成 a ? bi(a,b ? R) 的形式,应 把这些数都添加到数集A中去.再注意到实数a 和 数i,也可以看作是a ? bi (a,b ? R) 这样的数的特殊 形式,所以实数系经过扩充后得到的新数集应该
是C ? ?a ? bi| a,b ?R ?.
a ? i可以看作是a ? 1i,bi可以看作是0 ? bi,a可以 看是a ? 0i,i可以看作0 ? 1i.

我们把集合 C ? ?a ? bi | a,b ?R ?中的数,即形如 a ? bi?a,b ?R?的数叫做 复数(complex number ),
其中i叫做 虚数单位 (imaginary unit).全体复数 所成的集合 C叫做复数集 (set of complex nu? mbers).
虚数单位i是瑞士数学家欧拉?Euler ?最早引用的
它取自imaginary(想象的, 假想的)一词的词头.
在复数集C ? ?a ? bi | a,b ? R?中任取两个数a ? bi, c ? di?a,b,c,d ?R?,我们规定 :
a ? bi与c ? di相等的充要条件是a ? c且b ? d.
思考 复数集C和实数集R之间有什么关系?

对于复数a ? bi,当且仅当b ? 0时,它是实数; 当且仅当a ? b ? 0时,它是实数0; 当b ? 0时,叫做虚数;

当a ? 0,且b ? 0时,叫做纯虚数.

例如,3 ? 2i, 1 ? 3i,? 3 ? 1 i,?0.2i都是虚数,

2

2

它们的实部分别是 3, 1,? 3,0,

2

虚部分别是 2,? 3,? 1,?0.2, 2

并且其中只有 ? 0.2i 是纯虚数.

显然,实数集R是复数集 C的真子集,即R ? ? C. 这样,复数 z ? a ? bi可以

虚数集 复数集 纯虚数集 实数集

分类如下 :

图3.1? 1

复数 z

实数 ?b ? 0?,
虚数 ?b ? 0?,?当a ? 0时为纯虚数?.

复数集,实数集,虚数集,纯虚数集之间的关系 , 可用图 3.1? 1表示.

例1 实数m取什么值时,复数z ? m ? 1? ?m ? 1? i是 ?1?实数 ? ?2?虚数 ? ?3?纯虚数 ?
分析 因为m ? R,所以m ? 1,m ? 1都是实数.由复数
z ? a ? bi是实数、虚数和纯 虚数的条件可以确定 m的取值.
解 ?1?当m ? 1 ? 0,即m ? 1时,复数z是实数; ?2?当m ? 1 ? 0,即m ? 1时,复数z是虚数; ?3?当m ? 1 ? 0,且m ? 1 ? 0,即m ? ?1时,复数 z
是纯虚数.
最后还要指出的是 ,一般地说 ,两个复数只能说
相等或不相等,而不能比较大小.例如1? i与2 ? 3i 不能比较大小.


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