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高中不等式习题精选精解

高中不等式习题精选精解


高中不等式习题精选精解
一、求取值范围
1、已知 ? 1 ? x ? y ? 1,1 ? x ? y ? 3 ,求 3x ? y 的取值范围。 解: 3x ? y ? 1* ( x ? y) ? 2 * ( x ? y) 根据已知条件: ? 1 ? 1* 2 ? 3x ? y ? 1 ? 2 * 3,1 ? 3x ? y ? 7 所以 3x ? y 的取值范围是 ?1,7 ? 2、已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0 ,求 c / a 的取值范围。 解:由已知条件,显然 a ? 0, c ? 0

?b ? c,? a ? 2c ? a ? b ? c ? 0,? a ? 0,?c / a ? ?1 / 2 ? a ? b,? 2a ? c ? a ? b ? c ? 0, c ? ?2a,? a ? 0,?c / a ? ?2
综上所述 c / a 的取值范围是 ?? 2,?1 / 2?

3、正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,求 1 / x ? 1 / y 的最小值。 解: 1 / x ? 1 / y ? 1* (1 / x ? 1 / y) ? ( x ? 2 y)(1 / x ? 1 / y) ? 1 ? x / y ? 2 y / x ? 2

? 3 ? 2 ( x / y )( 2 y / x) ? 3 ? 2 2 (? x, y 为正数)

4、设实数 x, y 满足 x ? ( y ? 1) ? 1 ,当 x ? y ? c ? 0 时,求 c 的取值范围。
2 2

解:方程 x ? ( y ? 1) ? 1 表示的是以点(0,1)为圆心的圆,根据题意当直线 x ? y ? c ? 0 ( c 为常数)与圆
2 2

在第二象限相切时, c 取到最小值; (此时,切点的坐标 ( x, y ) 满足 x ? y ? c ? 0 ,其它圆上的点都满足

x ? y ? c ? 0 (因为在直线的上方) c 增大,直线向下方平移,圆上的全部点满足 x ? y ? c ? 0 , ,当
因此: 0 ? (1 ? 2 ) ? cmin ? 0, cmin ? 所以 c 的取值范围是

2 ?1

y

?

2 ? 1,??

?

x

5、已知函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) 满足 1 ? f (?1) ? 2 , 2 ? f (1) ? 5 ,求 f (?3) 的取值范围。
2

1

解:由习已知得: 1 ? a ? b ? 2,2 ? a ? b ? 5 设: f (?3) ? 9a ? 3b ? m(a ? b) ? n(a ? b) ? ?

?m ? n ? 9 ?m ? 3 ?? ?m ? n ? ?3 ?n ? 6

? f (?3) ? 6 * f (?1) ? 3 * f (1),?12 ? f (?3) ? 27
所以 f (?3) 的取值范围是 ?12,27 ?

6、已知: a 、 b 都是正数,且 a ? b ? 1, ? ? a ?
2

1 1 , ? ? b ? ,求 ? ? ? 的最小值 a b

1 1 ?a?b? 解:? a, b 是正数,? ab ? ? ? ? ,? ? 4 4 ab ? 2 ?

?? ? ? ? a ?

1 1 1 1 a?b 1 ? b ? ? ( a ? b) ? ( ? ) ? 1 ? ? 1? ?5 a b a b ab ab

(当且仅当 a ? b ? 1 / 2 时) 。 ?? ? ? 的最小值是 5,

7、已知集合 A ? x | x ? 5 x ? 4 ? 0 与 B ? x | x ? 2ax ? a ? 2 ? 0 ,若 B ? A ,求 a 的取值范围。
2 2

?

?

?

?

解: x ? 5 x ? 4 ? ( x ? 4)( x ? 1) ? 0,1 ? x ? 4,? A ? ?x | 1 ? x ? 4?
2

y
X1

设 y ? x ? 2ax ? a ? 2? (*)
2

当 B ? ?,即方程(*)无解,显然 B ? A 成立,由 ? ? 0 得

x2 4 x

o

1

4a 2 ? 4(a ? 2) ? 0 ,解得 ? 1 ? a ? 2?(1)
当 B ? ?,且 B ? A 成立,即: ?x | x1 ? x ? x2 ? ? ?x | 1 ? x ? 4? 根据图像得出:

? ?12 ? 2a *1 ? a ? 2 ? 0 ? 2 18 ?4 ? 2a * 4 ? a ? 2 ? 0 ,解得 1 ? a ? ? (2) 7 ? ? 2a ?1 ? ?4 ?2 ?
综合(1) (2)两式,得 a 的取值范围为 ?? 1,18 / 7? 。

8、若关于 x 的方程 4 ? a ? 2 ? a ? 1 ? 0 有实数解,求实数 a 的取值范围。
x x

解一:设 t ? 2 ,? 2 ? 0,? t ? 0 ,原题转换为求方程 t ? at ? a ? 1 ? 0 在 ?0,??? 上有解。
x
x

2

共有两种情况,一种是有两个根,一种是只 有一个根(如图所示) ,由二次函数的图像和
2

y

y

o

o x

x

性质,得方程 t 2 ? at ? a ? 1 ? 0 在 ?0,??? 上 有实数解的充要条件为:

?? ? a 2 ? 4(a ? 1) ? 0 ? ?? ? a 2 ? 4(a ? 1) ? 0 ? a ? ?0 或? ? ? f (0) ? a ? 1 ? 0 ? 2 ? f (0) ? a ? 1 ? 0 ?
解得 ? 1 ? a ? 2 ? 2 2或a ? ?1,即a ? 2 ? 2 2 所以 a 的取值范围是 ? ?,2 ? 2 2 解二:由方程 t ? at ? a ? 1 ? 0 得 a ? ?
2

注:两组不等式分别对应两个图

?

?

1? t 2 (t ? 0) 1? t

1? t 2 (t ? 0) 的值域就是 a 的取值范围。 函数 f (t ) ? ? 1? t
a?? 1 ? t 2 ? (t 2 ? 1) ? 2 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ?(t ? 1) ? ? ? ? ?(t ? 1) ? t ? 1 ? 2? 1? t 1? t t ? 1? ? ? ?

? ? ( 2 2 ? 2) ? 2 ? 2 2
所以 a 的取值范围是 ? ?,2 ? 2 2

?

?

二、解不等式
1、 ( x ? 2) x ? 2 x ? 3 ? 0
2

解:不等式 f ( x ) ? g ( x) ? 0 与 ?

? f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 同解,也可以这样理解: ? g ( x) ? 0

符号“ ? ”是由符号“>”“=”合成的,故不等式 f ( x ) ? g ( x) ? 0 可转化为 f ( x) ? g ( x) ? 0 或

f ( x) ? g ( x) ? 0 。
解得:原不等式的解集为 x | x ? 3或x ? ?1

?

?

2、

x 2 ? 3x ? 2 ?0. x2 ? 2x ? 3

?( x 2 ? 3 x ? 2)( x 2 ? 2 x ? 3) ? 0 x 2 ? 3x ? 2 ? ?0 ? ? 2 解: 2 ? x ? 2x ? 3 ?x ? 2x ? 3 ? 0 ?
3

?( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ,用根轴法(零点分段法)画图如下: ? ?( x ? 3)( x ? 1) ? 0
+ -1 1 + 2 3 +

?原不等式的解集为 ?x | ?1 ? x ? 1或2 ? x ? 3? 。

3、 x ? 1 ? ax ? 1, (a ? 0)
2

解:原式等价于

x 2 ? 1 ? 1 ? ax

? x 2 ? 1 ? 1,?1 ? ax ? 1 ,即 ax ? 0 注:此为关键

? x 2 ? 1 ? (1 ? ax) 2 解得: ? a ? 0,? x ? 0 ?原不等式等价于不等式组 ? ?x ? 0
? 2a ? ? ? ?当0 ? a ? 1时,原不等式解集为? x | 0 ? x ? 1? a2 ? ? ? ?当a ? 1时,原不等式解集为?x | x ? 0? ?
4、 ( x ? 2)( ax ? 2) ? 0 解:当 a ? 0 时,原不等式化为 x ? 2 ? 0 ,得 x ? 2 ; 当 a ? 0 时,原不等式化为 ( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,得

2 a

2 ? x?2; a
2 ; a

当 0 ? a ? 1时,原不等式化为 ( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,得 x ? 2或x ? 当 a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2) ? 0 ,得 x ? 2 ;
2

2 a

当 a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,得 x ?

2 a

2 或x ? 2 a

?? ? 综合上面各式,得原不等式的解集为: ?? ?? ?
5、关于 x 的不等式 ax ?b ? 0 的解集为 ?1,?? ? ,求 解:由题意得: a ? 0 ,且 a ? b 则不等式

ax ? b ? 0 的解集。 x?2

?( ax ? b)( x ? 2) ? 0 ax ? b 同解 ? 0 与不等式组 ? x?2 ?x ? 2 ? 0
4

得所求解集为 x | x ? ?1或x ? 2

?

?
x

6、已知 a ? 0 且 a ? 1 ,关于 x 的不等式 a ? 1 的解集是 x x ? 0 ,解关于 x 的不等式 log a ( x ? ) ? 0 的解 集。 解:? 关于 x 的不等式 a ? 1 的解集是 x x ? 0 ,? a ? 1 ,
x

?

?

1 x

?

?

? x ? 1 ?0 1 1? 5 x log a ( x ? ) ? 0 ? ? 1 ? ?1 ? x ? x 2 ? x ? x ?1

或1 ?

x?

1? 5 2

?

原不等式的解集是 (?1,

1? 5 1? 5 ) ? (1, )。 2 2

三、证明题 1、已知 a ? b ? c ,求证: a b ? b c ? c a ? ab ? bc ? ca
2 2 2 2 2 2

证一: a

2

b ? b 2 c ? c 2 a ? ab2 ? bc 2 ? ca 2 ? ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? a)

? ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? b ? b ? a) ? ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(b ? c) ? ca(a ? b) ? a(a ? b)(b ? c) ? c(b ? c)(b ? a) ? (a ? b)(b ? c)(a ? c) ? 0, (? a ? b ? c)

? a 2 b ? b 2 c ? c 2 a ? ab2 ? bc2 ? ca 2 ,证毕。
证二: a
2

b ? b 2 c ? c 2 a ? ab2 ? bc 2 ? ca 2 ? a 2 (b ? c) ? b 2 (c ? a) ? c 2 (a ? b)

? a 2 (b ? c) ? b 2 (c ? b ? b ? a) ? c 2 (a ? b) ? (b ? c)( a 2 ? b 2 ) ? (a ? b)(c 2 ? b 2 )

? (b ? c)(a ? b)(a ? b) ? (a ? b)(b ? c)(b ? c) ? (a ? b)(b ? c)(a ? c) ? 0

? a 2 b ? b 2 c ? c 2 a ? ab2 ? bc2 ? ca 2 ,证毕。

2、设 a ? b ? 0 , n 为偶数,证明

b n ?1 a n ?1 1 1 ? n ? ? an b a b
.

证:

b n ?1 a n ?1 1 1 (a n ? b n )(a n ?1 ? b n ?1 ) ? n ? ? ? an b a b (ab) n
①当 a

? 0, b ? 0 时, (ab)n ? 0 , (a n ? b n )(a n?1 ? bn?1 ) ? 0

,

(a n ? b n )(a n ?1 ? b n ?1 ) ∴ ?0 (ab) n

b n ?1 a n ?1 1 1 ? ,故 n ? n ? a b a b
5

;

②当 a, b 有一个负值时,不妨设 a ∵ n 为偶数时,∴ ( a
n

? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 0 ,即 a ?| b |
,且 (ab)
n

.

? b n )(a n?1 ? bn?1 ) ? 0

?0
.

(a n ? b n )(a n ?1 ? b n ?1 ) ∴ ?0 (ab) n
综合①②可知,原不等式成立

b n ?1 a n ?1 1 1 ,故 n ? n ? ? a b a b

注:必须要考虑到已知条件 a ? b ? 0 ,分类讨论,否则不能直接得出 ( a

n

? b n )(a n?1 ? bn?1 ) ? 0

3、求证: 证:设向量

a 2 ? 16 ? (a ? 4) 2 ? 36 ? 2 29

? ? ? p ? (a, 4), q ? (4 ? a, 6)

,由

? ? ? ? ? ? | p | ? | q |?| p ? q | ,得

? ? ? ? ? ? a 2 ? 16 ? (a ? 4) 2 ? 36 ?| p | ? | q | ?| p ? q |

?| (a, 4) ? (4 ? a, 6) |?| (4,10) |? 16 ? 100 ? 2 29
注意:当

?? ? p ∥ q 时,即 a ? ?8 , p ? ( ?8,) , q ? (?12,6) , p 、 q 方向相同,取等号。 4

当利用公式 |

? ? ? p | ? | q |?| p ? q | 证明时,会得: a 2 ? 16 ? (a ? 4) 2 ? 36 ?| p | ? | q |

? ? ? ?| p ? q |?| (a, 4) ? (a ? 4, 6) |?| (4, ?2) |? 16 ? 4 ? 2 5 的错误结论,因为这里取等号
的条件是

?? ? ?? ? p ∥ q ,且 p 、 q 方向相反,根据题设条件, p ∥ q 时,方向相同,故取不到等号,

计算的结果也使不等式范围缩小了。

4、求证: 1 ?

1 1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ? 2 ? 2 2 3 n n

(n ? 2)

证一:?

1 1 1 1 ? ? ? (n ? 2) 2 n n(n ? 1) n ? 1 n

?1 ?

?原不等式成立,证毕。

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ? 1? ( ? ) ? ( ? ) ?? ? ? ? 2? 2 2 3 n 1 2 2 3 n ?1 n n
1 1 ? 2 ? ,显然成立; 2 2 2
1 1 1 1 成立,则 ? 2 ?? ? ? 2? 2 2 2 3 (k ? 1) k ?1

证二:当 n ? 2 时,原不等式为: 1 ?

假设当 n 取 k -1 时,原不等式成立,即 1 ?

1 1 1 1 1 1 k 2 ? k ?1 1? 2 ? 2 ?? ? ? ? 2? ? ? 2? 2 3 (k ? 1) 2 k 2 k ?1 k 2 (k ? 1)k 2

6

? 2?

k (k ? 1) 1 1 1 1 ? ? 2? ? ? 2 ? ,即 n 取 k 时原不等式也成立。 2 2 2 (k ? 1)k (k ? 1)k k (k ? 1)k k
综上,对于任意 n ( n ? 2 )原不等式成立,证毕。 注意:此类证明方法称为数学归纳法

5、设

f ? x ? ? x 2 ? x ? 13 ,实数 a 满足 x ? a ? 1 ,求证: f ? x ? ? f ? a ? ? 2 ? a ? 1?

证: |

f ( x) ? f (a) |?| x 2 ? x ? 13 ? a 2 ? a ? 13 |?| x 2 ? a 2 ? ( x ? a) |

= | ( x ? a)( x ? a ? 1) |?| ?当 x ? a ? 0 , | ?当 x ? a ? 0 , | ?当 x ? a ? 0 , |

x ? a ? 1 |?| ( x ? a) ? 2a ? 1 |

f ( x) ? f (a) |?| ( x ? a) ? 2a ? 1 |?| 2a |? 2(| a | ?1) f ( x) ? f (a) |?| ( x ? a) ? 2a ? 1 |?| 2a ? 1 |? 2(| a | ?1) f ( x) ? f (a) |?| ( x ? a) ? 2a ? 1 |?| 2a ? (1? | x ? a |) |? 2(| a | ?1)

综合???式情况,原不等式成立。证毕 注:??式的最后一步省略了对 a

? 0, a ? 0, a ? 0 的详细分析,正式解题时不能省。分析过程用

a, b 同号 ?| a ? b |?| a | ? | b |?|| a | ? | b ||?| a ? b |; a, b 异号 ?| a ? b |?| a | ? | b |?|| a | ? | b ||?| a ? b |

6、已知: x

? 0, y ? 0, x ? y, 且x ? y ? x 2 ? y 2 ? xy ,求证: 1 ? x ? y ?
y ? ( x ? y ) 2 ? xy ,即 xy ? ( x ? y) 2 ? ( x ? y) ? ?
2

4 3

证:由已知得: x ?

? x? y? ? x ? y ,及基本不等式? xy ? ? ? ? 2 ?
解得 x ?

? x? y? 2 ,代入式?得: ? ? ? ( x ? y) ? ( x ? y) 2 ? ?

2

y?

4 ; 3

? x ? 0, y ? 0,? xy ? 0 ,由式?得 ( x ? y ) 2 ? ( x ? y ) ? 0 ,? x ? y ? 1
综上得: 1 ?

x? y ?

4 。 3

证毕。

7、已知 a, b, c

? 0, abc ? 1,证明:

1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ? ( ? ? ) a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b) 2 a b c
3

证:?

1 abc bc 1 1 , ? 3 ? 2 ? 2? a (b ? c) a (b ? c) a (b ? c) a 1 ? 1 b c
3

7

1 1?1 1? 1 1 1?1 1? 1 ? ? ? ?? 2 ? ? ? ? ?? , a (b ? c) 4 ? b c ? a 1 ? 1 4 ? b c ? a b c
3

?, ? a, b, c (

? 0 )同理得:

1 1 1 1 1 ? ( ? )? b (c ? a ) 4 a c b
3

?,

1 1 1 1 1 ? ( ? )? ? c ( a ? b) 4 a b c
3

???式两边相加,得

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ? ( ? ? )? ? ? a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b) 2 a b c a b c
3

?

1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ? ( ? ? ) a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b) 2 a b c
3

所以原不等式成立,证毕。

注: “

1 1 1 k ?1 1? ”的来由:不等式 2 ? ? k? ? ? ? 2 a 1?1 a 4 ?b c? b c

当且仅当 a ? b ? c 时取等号,得 k

?

1 。 4

8


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