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新教材高中数学 第二章《函数的单调性》参考教案 北师大版必修1

新教材高中数学 第二章《函数的单调性》参考教案 北师大版必修1

(新教材)北师大版精品数学资料
高中数学 第二章《函数的单调性》参考教案 北师大版必修 1
一、教材分析-----教学内容、地位和作用 本课是北师大版新课标普通高中数学必修一第二章第 3 节《函数的单调性》的内容,函 数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一, 函数的单调性一节中的知识是今后研究具体 函数的单调性理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均 有着广泛的应用; 在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及; 同时在这一节中利用 函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 在学生现有认知结构中能根据函数的图象观察出 “随着自变量的增大函数值增大” 等变 化趋势,所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势; 在本节课是以函数的单调性的概念为主线, 它始终贯穿于整个课堂教学过程; 这是本节 课的重点内容。 利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点, 也是对函数单调性概念的深 层理解,且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。 学生刚刚接触这种证明方法,给出一定的步骤是必要的,有利于学生理解概念,也可以 对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外,这也是以后要学习的不等式证明的比 较法的基本思路,现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。 二、教学目标: 根据新课标的要求, 以及对教材结构与内容分析, 考虑到学生已有的认知结构及心理特 征 ,制定如下教学目标: (一)三维目标 1 知识与技能: (1) 使学生理解函数单调性的概念, 能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调 性。 (2) 通过函数单调性的教学,逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力; 2 过程与方法: (1) 通过本节课的学习,通过“数与形”之间的转换,渗透数形结合的数学思想。

(2) 通过探究活动,明白考虑问题要细致、缜密,说理要严密、明确。 3 情感,态度与价值观:在平等的教学氛围中,通过学生之间、师生之间的交流、合作与 评价,拉近学生之间、师生之间的情感距离,培养学生对数学的兴趣。。 (二)重点、难点 重点:函数单调性的概念: 为了突出重点,使学生理解该概念,整个过程分为: 作图象并观察图象→讨论:函数图象的变化趋势是什么?→ 在 这 种 变 化 趋 势 下 ,x与 函 数 值y 是 如 何 相 互 影 响 的 ?→你 能 从 量 的 角 度 出 一 个 缜 密 的 , 完 善 的 定 义 来 吗 ? 每个步骤都是在教师的参与下与引导下,通过学生与学生之间,师生之间的合作交流, 不断反省,探索,直到完善结论,最终达到一个严密,简洁的定义。 难点:函数单调性的判断与推证: 突破该难点的:通过对照、分析定义,引导学生,概括出证明方法及步骤:“取量定大 小,作差定符号,判断得结论”,并注意解题过程的规范性与严谨性。 四、教学方法: 合作学习认为教学是师生之间、生生之间相互作用的过程,强调多边互动,共同掌握知 识。视教学为师生平等参与和互动的过程,强调教师只是小组中的普通一员,起到一个引导 者, 管理者角色。 在课堂教学中要加强知识发生过程的教学, 充分调动学生的参与的积极性, 有效地渗透数学思想方法,发展学生个性品质,从而达到提高学生整体的数学素养的目的。 结合教学目标和学生情况我采用合作交流,探究学习相结合的教学方法。 五 .教学手段 六、教学过程 教学环 节 教学过程 设计意图 多媒体

Hermann Ebbinghaus

德国有一位著名的心理 学家名叫艾宾浩斯 (Hermann Ebbinghaus, 1850-1909),他在18791880年的记忆实验中用无 意义音节来进行记忆研究。 研究的中心问题之一就是 学习后记忆保持量的变化 规律。他以自己为实验对 象,共做了163次实验.

德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据
时间间隔
刚刚记忆完毕 20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后 1天后 2天后 6天后 一个月后 …

行为学习理论者强调 环境对学习产生的影响。 当学习者对某种特殊的 刺激做出反应时,就产生 了“学习”。 依据教材知识,渗透

记忆保持量
100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% …

1、艾宾浩斯遗忘曲线
记忆保持量(百分数)

新课标理念,通过与实际 问题的联系,揭示我们研 究此节内容的现实意义, 目的引发学生学习兴趣, 有利于学生学习动力的

( 一

100 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6

) 创 设 情 景 , 引 发 兴 趣

天数

产生。 要点:短,平,快。

从图像你能得到哪些信息?通过这个实验你打算以后如何对 待刚学过的知识? 师: 在生活中,我们关心很多数据的变化规律,了解了这些 数据的变化规律对我们的生活很有帮助。 问题:你能举出生活中其他的数据变化情况吗? 如:水位高低、股票价格、降雨量等 归纳:用函数的观点看,其实这些例子反映的就是随着自变 量的的变化,函数值是变大还是变小。也就是研究其中两个变 量如何相互影响的,这也是我们今天所要研究的主要课题。

(对每一个问题,小组 多媒体展示在上节课所做的几个函数图象,并据此讨论下列 成员先独立做,再分别说出 问题, 问题 1、说一说所画函数的图象的变化趋势。 自己的想法,然后讨论,形 成集体的意见。) 1、通过一系列的问题, ︵ 二 ︶ 合 作 交 流 , 建 构 数 学 观察得到:随着 x 值的增大,函数的函数图象有的呈逐渐上升 的趋势,有的呈下降的趋势,有的在一个区间内呈上升趋势, 在另一个区间内呈逐渐下降的趋势。 (注意一定要提醒:是从左到右的看) 问题 2:你能明确的说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思 吗? 讨论得到: 在某一个区间内,当 x 值增大时,函数值 y 也增大 ? 图 象在该区间内呈上升趋势。 在某一个区间内, 当 x 值增大时, 函数值 y 也反而减小 ? 图象在该区间内呈下降趋势。 在众多的函数中,很多函数都具有这种性质,因此我们有 必要对函数的这种性质做进一步的讨论与研究。这就是我们今 天这一节课的主题。 函数的这种性质,我们就称为函数的单调性。
O

y

y

引发对概念的全面思考。从 具体到抽象,再从抽象到具

y ? x ?1

1
O

y ? ?2x ? 2

2
1
O

-1

x

x

体,并通过合作交流,增强 学生对概念的理解,不断的 修正、完善结论,达到建构
x

y

y ? ?x

2

y

1 y? x
O

x

数学的目的。 2、教学实践证明,小组 内成员合作,组间成员竞争 的讨论是一种有效的教学 策略,使得整个评价的重心 同个人之间竞争转为团体 合作达标。并能使教师与学 生、学生与学生之间有更多 的交往、互动的机会。

问题 3: 如何用数学语言表述一个函数是在整个定义域内是 增加的呢? 我们刚才已经对函数的单调性,做了定性的分析,我们如何 从量的角度来刻画这种性质。你能给出一个确切的定义来吗? 请用你自己的话表达出来,并说给你的小组成员听,并与他交 ︵ 二 ︶ 合 作 交 流 , 建 构 数 学 流后,形成集体意见,再展示给大家。 教师巡视,视小组讨论情况,可提示:

它也是引导学生积极 参与教学过程的重要措施, 是培养学生合作精神和激 发学生创新意识的重要手 段,也是促使每个学生得到 充分发展的有效途径 3、重点:学生能否抓住定

(1)对于某函数,若在其定义域上,当 x=1 时, y=1; 义中的关键词 “给定区间” 、 当 x=2 时,y=3 ,能否说在其定义域上 y 随 x 的增大而 增大呢? (2)若 x=1,2,3,4,时,相应地 y=1,3,4,6, 能否说在其定义域上,y 随 x 的增大而增大呢? (3)若有 n 个正数 x1< x2<x3<···< xn,它们的函数值 满足: “任意”和“都有”,是能 否正确,深入透彻地理解和 掌握概念的重要一环。 分析定义,使学生把定义 与图形结合起来,使新旧知

y1< y2<y3<···< yn.能否就说在其定义域 上 y 随 识 融为一体,加深对概念
的理解,渗透数形结合的分 析问题的数学思想方法。
y f(x2) f(x1) f(x1) f(x2) x

着 x 的增大,而增大呢?
y

增函数

减函数

a

x1

x2

b

x

a

x1 x2

b

定义:对于函数 f(x)的定义域内的任意两个值 x1 , x 2 ⑴若当 x1 < x2 时,都有 f( x1 )<f( x2 ),则说 f(x)在定义 域内是增加的(递增的),即称这个函数为增函数; ⑵若当 x1 < x2 时,都有 f( x1 )>f( x2 ),则说 f(x) 在定义 域内是减少的(递减的),即称这个函数为减函数。 增函数的本质是在整个定义域上,较大的自变量对应较大

的函数值,减函数反之。 单调区间 ;如果函数 y=f(x)在定义域内某个区间 I 上是 增加的或是减少的,那么就说函数 y=f(x)在区间 I 上具有单调 性. 单调增区间和单调减区间统称为单调区间.

例 1、 如图是定义在闭区间[-5, 5]上的函数 y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间, 以及在每一单调区间上, y=f(x)是增加的还是减 少的。

让学生进一步理解一 般函数单调区间的定 义,

[-2,1)
︵ 三 ︶ 数 学
-5 -2 -1

[3,5]
1 3 5

(1)区间的端点要不 要? (2)在这里一定要强 调单调性只是函数的 “局部性质”它与区间 密不可分。-----不能把

o

解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2), [-2,1), [1,3),[3,5],其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)上是减少 的,在区间[-2,1), [3,5]上是增加的。

例 2、画出下列函数图象,并写出单调区间:
运 用 , 巩 固 新 知 函数的单调区间写成

(1) y ? ? x 2 ? 2
单调增区间为? ??, 0?

y

2 1

?? ?,0? ? (0,??)
1 2

单调减区间为?0, ???

-2

-1 O

x

(2) y ?

1 ( x ? 0) x

y x2
O

两个单调减区间? ??,0? 和? 0, ? ??

? ? ?? 思考能否写成 ?? ?,0? ? ?0,
两区间之间用和或用逗号隔开 .

x1

x

例3、 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。 证明: (一)设量定大小
设 x1,x2是 R上的任意两个实数, x1<x2 , (二)作差定符号
则f ( x1) ? f ( x2) ? (3 x1 ? 2) ? (3 x2 ? 2)
? 3( x1 ? x2)
︵ 三 ︶ 数 学 运 用 , 巩 固 新 知

2、由于例 2 难度较大, 学生难以从中归纳出 证明方法及步骤,因而 有必要先详细讲解,通 过分析、引导学生抽象、 概括出方法及步骤,提 示学生注意证明过程的 规范性及严谨性。 归纳证明方法并加以 比较说明;使学生突破 本节的难点,掌握重点

由 x1 ? x2 , 得 x1 ? x2 ? 0

于是 即

f(x1)-f( x2)<0, f(x1)<f(x2)

(三)判断定结论
所以,函数 f(x)=3x+2在R上是增函数。

练习:证明函数

f ( x) ? x2 ? 2x

内容。

证明:设x1, x2是区间?-?,1? 上任意两实数,且x1 ? x2. 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? 2 x1 ) ? ( x2 ? 2 x2 ) (设量定大小 )
? ( x1 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ? 2)
2 2

在区间? ??,1?上是递减的.

基本步骤: “取量定大小,作差定 符号,判断定结论”其 中第二环节是难点“作 差→变形→判断正负”。

2 故函数 f (x) ? x ? 2 x在区间(- ? ,1) 上是递减的.

x1 ? x2 ? 1, ? x1 ? x2 ? 0, x2 ? x1 ? 2 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 (作差定符号) 即f ( x1 ) ? f ( x2 )

(判断定结论)

练习的设定也是由浅

课堂练习:填表
y ? kx+b(k ? 0)
︵ 三 ︶ 数 学 运 用 , 巩 固 新 知

入深层层推进的。

y?

k (k ? 0) x

函数

k >0

k <0

k >0

k <0

单调区间 (??, ??) (??, ??)

(??,0),(0, ??) (??,0),(0, ??)

单调性

增函数 减函数

减少的

增加的

练习:填表(二)
y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0)

函数
a?0 a?0
(??, ? b ) 2a
(? b , ??) 2a

单调区间

(??, ?

b ) (? b , ??) 2a 2a

单调性 减少的 增加的

增加的

减少的

请同学小结一下这节课的主要内容,有哪些是词语特别注 意的?(请一个思路清晰,善于表达的学生口述,教师可从中给 ( ) ( ) 课后知识性内容总 结,把课堂内容转化为学 生的素质

四 回 顾 总 结 , 加 深 理 解

予提示) 1、函数单调性的定义,注意定义中的关键词。 2、证明函数单调性的一般步骤; 3、在写单调区间时,不要轻易用并集的符号连接;

必做:习题 2.3:A 组第 2、3、4 题

1、针对学生个体的差 异设置分层练习。既注重

选做: 研究

1 y ? x ? ( x ? 0) x

的单调性, 并给出严格证明,

课内基础知识掌握,又兼 顾了有余力的学生的能 力的提高。 2、提出新的课题是想 把问题研究引向课外,激 发学生兴趣,为以后学习 “最值”作好充分的准 备。

五 兼 顾 差 异 , 分 层 练 习

你能求出该函数的值域吗?

特别说明: 增函数和减函数的概念新旧教材有所不同,本教案以新教材为准。 旧教材:如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , x2 ,当 x1 < x2 时, 都有 f( x1 )<f( x2 ),那么就说 f(x)在这个区间上是增函数; 当 x1 < x2 时, 都有 f( x1 )>f( x2 ), 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数。 新教材:如果函数 y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的,我们分别称这个函数为 增函数或减函数。


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