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专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第一讲 集合、常用逻辑用语课时作业 文

专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第一讲 集合、常用逻辑用语课时作业 文


2017 届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻 辑用语、不等式、函数与导数 第一讲 集合、常用逻辑用语课时作业 文
A 组——高考热点基础练 1.(2016·高考全国Ⅲ卷)设集合 S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则 S∩T=( A.[2,3] C.[3,+∞) B.(-∞,2]∪[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞) )

解析:先化简集合 S,再利用交集的定义求解. 由题意知 S={x|x≤2 或 x≥3},则 S∩T={x|0<x≤2 或 x≥3}.故选 D. 答案:D 1 2.若 x∈R,则“x>1”是“ <1”的(

x

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

1 1 1 解析:当 x>1 时, <1 成立,而当 x<0 时, <1 也成立,所以“x>1”是“ <1”的充分不必

x

x

x

要条件,故选 A. 答案:A 3.(2016·高考浙江卷)已知集合 P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x ≥4},则 P∪(?RQ)= ( ) B.(-2,3] D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
2

A.[2,3] C.[1,2)

解析:根据补集和并集的概念进行运算,也可以借助数轴求解. ∵Q={x∈R|x ≥4}, ∴?RQ={x∈R|x <4}={x|-2<x<2}. ∵P={x∈R|1≤x≤3}, ∴P∪(?RQ)={x|-2<x≤3}=(-2,3]. 答案:B 4.命题“正数 a 的平方等于 0”的否命题为( A.正数 a 的平方不等于 0 B.若 a 不是正数,则它的平方等于 0 C.若 a 不是正数,则它的平方不等于 0 D.非正数 a 的平方等于 0
1
2 2

)

解析:依题意,命题可以写成:若 a 是正数,则它的平方等于 0,所以由否命题的概念可知, 其否命题为:若 a 不是正数,则它的平方不等于 0,故选 C. 答案:C 5.若集合 M={y|y=2 017 },S={x|y=log2 017(x-1)},则下列结论正确的是( A.M=S C.M∪S=S
x x

)

B.M∪S=M D.M∩S=?

解析:因为 M={y|y=2 017 }={y|y>0},S={x|y=log2 017(x-1)}={x|x>1},所以 M∪S =M,故选 B. 答案:B 6.(2016·高考四川卷)设 p:实数 x,y 满足 x>1 且 y>1,q:实数 x,y 满足 x+y>2,则 p 是 q 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

解析:根据充分条件、必要条件、充要条件的定义求解. ∵?
? ?x>1, ?y>1, ?

∴x+y>2,即 p? q.

而当 x=0,y=3 时,有 x+y=3>2,但不满足 x>1 且 y>1,即 q? \p.故 p 是 q 的充分不必 要条件. 答案:A 7.已知集合 A={x|x ≥4},B={m}.若 A∪B=A,则 m 的取值范围是( A.(-∞,-2) C.[-2,2] B.[2,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
2 2

)

解析:因为 A∪B=A,所以 B? A,即 m∈A,得 m ≥4,解得 m≥2 或 m≤-2,故选 D. 答案:D 8.对于原命题:“已知 a、b、c∈R,若 ac >bc ,则 a>b”,以及它的逆命题、否命题、逆 否命题,真命题的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.4
2 2

解析:原命题显然是真命题,所以逆否命题也是真命题.原命题的逆命题是“已知 a、b、c ∈R,若 a>b,则 ac >bc ”,是假命题,因为当 c=0 时,命题不成立,所以否命题也是假命 题,所以这 4 个命题中,真命题的个数为 2,故选 C. 答案:C π 9. 已知命题 p: “φ = ”是“函数 y=sin(x+φ )为偶函数”的充分不必要条件; 命题 q: 2
2 2

2

1 1 ? π? ? π? ? x∈?0, ?,sin x= 的否定为:“? x0∈?0, ?,sin x0≠ ”,则下列命题为真命题 2? 2? 2 2 ? ? 的是( ) B.(綈 p)∧q D.p∧q

A.p∧(綈 q) C.(綈 p)∨(綈 q)

π π 解析:若 y=sin(x+φ )为偶函数,则有 φ = +kπ ,k∈Z,所以“φ = ”是“函数 y 2 2 =sin(x+φ )为偶函数”的充分不必要条件, 所以命题 p 为真命题; 根据全称命题的否定的 1 ? π? 概念,可知綈 q 为:“? x0∈?0, ?,sin x0≠ ”,所以命题 q 为真命题,故选 D. 2? 2 ? 答案:D 10.(2016·高考浙江卷)已知函数 f(x)=x +bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与 f(x) 的最小值相等”的( )
2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:将 f(f(x))中的 f(x)看做整体,通过配方看出与 f(x)有相同的最小值,并利用条件 进行验证. ∵f(x)=x +bx=?x+ ? - ,当 x=- 时, 2 ? 2? 4
2

?

b?2 b2

b

b?2 b b ? f(x)min=- , 又 f(f(x))=(f(x)) +bf(x)=?f?x?+ ? - , 当 f(x)=- 时, f(f(x))min 2? 4 4 2 ?
2

b2

2

=- ,当- ≥- 时,f(f(x))可以取到最小值- ,即 b -2b≥0,解得 b≤0 或 b≥2, 4 2 4 4 故“b<0”是“f(f(x))的最小值与 f(x)的最小值相等”的充分不必要条件.选 A. 答案:A 11 . 用

b2

b

b2

b2

2

C(A) 表 示 非 空 集 合

A

中 的 元 素 个 数 , 定 义
2

A*B =
2

? ?C?A?-C?B?,C?A?≥C?B? ? ?C?B?-C?A?,C?B?≥C?A? ?

,若 A={x|x -ax-1=0,a∈R},B={x||x +bx+ )

1|=1,b∈R},设 S={b|A*B=1},则 C(S)等于( A.4 C.2
2

B.3 D.1
2

解析:因为二次方程 x -ax-1=0 满足 Δ =a +4>0,所以 C(A)=2,要使 A*B=1,则 C(B) =1 或 C(B)=3,函数 f(x)=x +bx+1 的图象与直线 y=1 或 y=-1 相切,所以 b =0 或
2 2

b2-8=0,可得 b=0 或 b=±2 2,故 C(S)=3.
答案:B

3

12.(2016·广东五校联考)以下有关命题的说法错误的是(
2

)
2

A.命题“若 x -3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x -3x+2≠0” B.“x=1”是“x -3x+2=0”的充分不必要条件 C.若 p∨q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.对于命题 p:? x∈R,使得 x +x+1<0,则綈 p:? x∈R,均有 x +x+1>0 解析:选项 D 中綈 p 应为:? x∈R,均有 x +x+1≥0.故选 D. 答案:D 13.若集合 A={x|lg x<1},B={y|y=sin x,x∈R},则 A∩B=________. 解析:A={x|lg x<1}={x|0<x<10},B={y|y=sin x,x∈R}={y|-1≤y≤1},所以 A∩B ={x|0<x≤1}=(0,1]. 答案:(0,1] 14.命题“? x∈R,4x -3x+2>0”的否定是________. 解析:命题“? x∈R,4x -3x+2>0”是全称命题,∴其否定为特称命题:? x∈R,4x -3x +2≤0. 答案:? x∈R,4x -3x+2≤0 15.已知 i 是复数,集合 A={z|z=1+i+i +?+i ,n∈N },则集合 A 的子集个数为 ________. 解析:∵i =1,i 共 4 个元素, ∴集合 A 的子集个数为 2 =16. 答案:16 16.在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为________. ①函数 y=2x -3x+1 的图象关于点(0,1)成中心对称; ②? x,y∈R,若 x+y≠0,则 x≠1,或 y≠-1; ③若实数 x,y 满足 x +y =1,则
2 2 3 4 4n 4n+1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n

*

=i,i

4n+2

=-1,i

4n+3

1-i =-i,则由 z= ,得 A={0,1,1+i,i}, 1-i

n+1

y 3 的最大值为 ; x+2 3

④若△ABC 为钝角三角形,则 sin A<cos B. 解 析 : 由 函 数
3 3

f(x) = 2x3 - 3x + 1

可 得

f?x?+f?-x?
2



?2x -3x+1?+?-2x +3x+1? =1,所以函数图象关于点(0,1)成中心对称,所以①正 2 确;②的逆否命题是“若 x=1 且 y=-1, 则 x+y=0”,显然命题成立,所以②正确;
2 2

y

x+2

表示点(-2,0)和圆 x +y =1 上某一点连线的斜率, 画出图象(图略), 易知③正确; 对于④,

4

如果 A 为锐角,B 为钝角,则 sin A>0>cos B,所以④不正确. 答案:①②③

B 组——12+4 高考提速练 1. (2016·高考天津卷)已知集合 A={1,2,3,4}, B={y|y=3x-2, x∈A}, 则 A∩B=( A.{1} C.{1,3} B.{4} D.{1,4} )

解析:利用已知解析式求值,解出集合 B,再找出集合 A、B 的公共元素. 因为集合 B 中,x∈A,所以当 x=1 时,y=3-2=1; 当 x=2 时,y=3×2-2=4; 当 x=3 时,y=3×3-2=7; 当 x=4 时,y=3×4-2=10. 即 B={1,4,7,10}. 又因为 A={1,2,3,4},所以 A∩B={1,4}.故选 D. 答案:D 2.(2016·吉林达标测试)已知命题 p:? x0∈R,x0-2>0,命题 q:? x∈R,2 >x ,则下列说 法中正确的是( ) B.命题 p∧q 是真命题 D.命题 p∨(綈 q)是假命题
4 2

x

2

A.命题 p∨q 是假命题 C.命题 p∧(綈 q)是真命题

解析:显然命题 p 是真命题,又因为当 x=4 时,2 =4 ,所以命题 q 是假命题,所以命题 p ∧(綈 q)是真命题. 答案:C 3.若命题“p 且 q”是假命题,“綈 p”也是假命题,则( A.命题“綈 p 或 q”是假命题 B.命题“p 或 q”是假命题 C.命题“綈 p 且 q”是真命题 D.命题“p 且綈 q”是假命题 解析:由“綈 p”是假命题,可得 p 为真命题.因为“p 且 q”是假命题,所以 q 为假命题, 所以命题“綈 p 或 q”是假命题,即选项 A 正确;“p 或 q”是真命题,即选项 B 错误;“綈 )

p 且 q”是假命题,即选项 C 错误;“p 且綈 q”是真命题,即选项 D 错误,故选 A.
答案:A 4.定义一种新的集合运算△:A△B={x|x∈A,且 x?B},若集合 A={x|x -4x+3<0},B= {x|2≤x≤4},则按运算△,B△A=( A.{x|2<x≤4} ) B.{x|3≤x≤4}
5
2

C.{x|2<x<3}

D.{x|2≤x≤4}

解析:∵A={x|1<x<3},B={x|2≤x≤4},∴B△A={x|3≤x≤4}. 答案:B 5.(2016·广州模拟)下列说法中正确的是( )

A.“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的充要条件 B.若 p:? x0∈R,x0-x0-1>0,则綈 p:? x∈R,x -x-1<0 C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 π 1 π 1 D.命题“若 α = ,则 sin α = ”的否命题是“若 α ≠ ,则 sin α ≠ ” 6 2 6 2 解析:f(0)=0,函数 f(x)不一定是奇函数,如 f(x)=x ,所以 A 错误;若 p:? x0∈R,x0-
2 2 2 2

x0-1>0,则綈 p:? x∈R,x2-x-1≤0,所以 B 错误;p,q 只要有一个是假命题,则 p∧q
为假命题,所以 C 错误;否命题是将原命题的条件和结论都否定,D 正确. 答案:D 6.已知命题 p:? x∈R,2 >0;命题 q:在曲线 y=cos x 上存在斜率为 2的切线,则下列 判断正确的是( A.p 是假命题 C.p∧(綈 q)是真命题 ) B.q 是真命题 D.(綈 p)∧q 是真命题
x

解析:易知,命题 p 是真命题,对于命题 q,y′=-sin x∈[-1,1],而 2?[-1,1],故 命题 q 为假命题,所以綈 q 为真命题,p∧(綈 q)是真命题.故选 C. 答案:C 7.(2016·高考四川卷)设 p:实数 x,y 满足(x-1) +(y-1) ≤2,q:实数 x,y 满足
2 2

y≥x-1, ? ? ?y≥1-x, ? ?y≤1,

则 p 是 q 的(

)

A.必要不充分条件 C.充要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:画出 p 和 q 确定的平面区域,根据图形进行判断.

p 表示以点(1,1)为圆心, 2为半径的圆面(含边界),如图所示.q 表示的平面区域为图中
阴影部分(含边界).

由图可知,p 是 q 的必要不充分条件.故选 A.

6

答案:A 1 8.(2016·河北五校联考 ) 如图,已知 R 是实数集,集合 A = {x|log (x - 1)>0} , B = 2
? 2x-3 ? ? ?x? ? ? ? x

<0?,则阴影部分所表示的集合是(
? ?

? ?

)

A.[0,1] C.(0,1)

B.[0,1) D.(0,1]
? ? ?,且图中阴影部分表示的是 ? ?

? ? ? 3 解析:由题可知 A={x|1<x<2},B=?x?0<x< 2 ? ? ?

B∩(?RA)=

{x|0<x≤1},故选 D. 答案:D 1? a ? ?1 ? ? ? 9.(2016·唐山模拟)命题 p:? a∈?-∞,- ?,使得函数 f(x)=?x+ ?在? ,3?上单 4? ? ? x+1? ?2 ?

?1 ? 调递增;命题 q:函数 g(x)=x+log2x 在区间? ,+∞?上无零点.则下列命题中是真命题 ?2 ?
的是( A.綈 p C.(綈 p)∨q 解析:设 h(x)=x+ ) B.p∧q D.p∧(綈 q) 1 ?1? 1 .当 a=- 时,函数 h(x)为增函数,且 h? ?= >0,则函数 f(x)在 x+1 2 ?2? 6

a

?1,3?上必单调递增,即 p 是真命题;∵g?1?=-1<0,g(1)=1>0,∴g(x)在?1,+∞?上 ?2 ? ?2? ?2 ? 2 ? ? ? ? ? ?
有零点,即 q 是假命题,故选 D. 答案:D 1 1 10.若 a,b∈R,则 3> 3成立的一个充分不必要条件是(

a b

)

A.a<b<0 C.ab>0
3 3 2

B.b>a D.ab(a-b)<0
2

1 1 b -a ?b-a??b +ab+a ? 1 1 解析: 3- 3= ,选项 A 可以推出 3> 3.故选 A. 3= 3 a b ?ab? ?ab? a b 答案:A 11.不等式组?
?x+y≥1, ? ?x-2y≤4 ?

的解集记为 D,有下面四个命题:

7

p1:? (x,y)∈D,x+2y≥-2; p2:? (x,y)∈D,x+2y≥2; p3:? (x,y)∈D,x+2y≤3; p4:? (x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中的真命题是( A.p2,p3 C.p1,p4 ) B.p1,p2 D.p1,p3

解析:不等式组表示的区域 D 如图中阴影部分所示,设目标函数 z=x+2y,根据目标函数 的几何意义可知,目标函数在点 A(2,-1)处取得最小值,且 zmin=2-2=0,即 x+2y 的取 值范围是[0,+∞),故命题 p1,p2 为真,命题 p3,p4 为假.故选 B.

答案:B 12.已知集合 A={x|2x +3x-2<0},集合 B={x|x>a},如果“x∈A”是“x∈B”的充分不 必要条件,则实数 a 的取值范围是( A.a≤-2 C.a>-2 ) B.a<-2 D.a≥-2
2

1 1 2 解析:由 2x +3x-2<0,解得-2<x< ,即 A={x|-2<x< },因为“x∈A”是“x∈B”的充 2 2 分不必要条件,所以 A? B,所以 a≤-2,即实数 a 的取值范围是 a≤-2. 答案:A 13.设集合 M={2,0,x},集合 N={0,1},若 N? M,则 x=________. 解析:∵N? M,∴1∈M,故 x=1. 答案:1 14.(2016·沈阳二中阶段验收)设[x]表示不大于 x 的最大整数,集合 A={x|[x] -2[x]=
? ? ?1 3},B=?x? ? ?8 ?
2

<2 <8?,则 A∩B=________.
? ?
2

x

? ?

解析:因为 A={x|[x] -2[x]=3},所以[x]=-1 或 3,所以-1≤x<0 或 3≤x<4,由 B=
? ? ?1 x ?x? <2 <8 ? ?8 ? ? ? ?得 B={x|-3<x<3},则 A∩B={x|-1≤x<0}. ? ?

答案:{x|-1≤x<0} 15.已知? x∈R,不等式 ax +ax+1>0 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.
8
2

解析:因为不等式 ax +ax+1>0 对一切 x∈R 恒成立,当 a=0 时,不等式即 1>0,显然满足 对一切 x∈R 恒成立;当 a>0 时,应有 Δ =a -4a<0,解得 0<a<4.综上,0≤a<4.即实数 a 的取值范围是[0,4). 答案:[0,4) 16.(2016·高考北京卷)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出 19 种商 品,第二天售出 13 种商品,第三天售出 18 种商品;前两天都售出的商品有 3 种,后两天都 售出的商品有 4 种.则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有________种; ②这三天售出的商品最少有________种. 解析:借助集合的运算求解. 设三天都售出的商品有 x 种,第一天售出,第二天未售出,且第三天售出的商品有 y 种,则 三天售出商品的种类关系如图所示.
2

2

由图可知: ①第一天售出但第二天未售出的商品有 19-(3-x)-x=16(种). ②这三天售出的商品有(16-y)+y+x+(3-x)+(6+x)+(4-x)+(14-y)=43-y(种). 16-y≥0, ? ? 由于?y≥0, ? ?14-y≥0,

所以 0≤y≤14.

所以(43-y)min=43-14=29. 答案:①16 ②29

9


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