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高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第3节 三角恒等变换 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切

高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第3节 三角恒等变换 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切

必考部分

第三章
三角函数、解三角形

第三节

三角恒等变换

[考纲考情 ] 1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦 公式. 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正 切公式. 3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余 弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解 它们的内在联系. 4. 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化 和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).

主干知识· 整合
热点命题· 突破 课时作业

主干知识·整合 01
课前热身 稳固根基

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1.基本公式 sin(α± β)=________, cos(α± β)=________, tan(α± β)=________.

2.公式变形 (1)tanα ±tanβ =________. (2)函数 f(α)=asinα +bcosα (a,b 为常数),可以化为 f ( α) = a +b
2 2

a +b sin(α + φ)
? ·cos(α-φ)?其中tanφ ?

2

2

? ?其中tanφ ?

b? =a? 或 ?

f(α) =

a? =b?. ?

答案 1 . sin α cos β ± cos α sin β tanα ±tanβ 1?tanα tanβ 2.(1)tan(α± β)(1?tanα tanβ ) cos α cos β ? sin α sin β

1. (2015· 全国卷Ⅰ)sin20°cos10°-cos160°sin10°= ( ) 3 A.- 2 1 C.-2 3 B. 2 1 D.2

解析: sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10 1 °+cos20°sin10°=sin30°=2.
答案:D

1 1 2.(2015· 重庆卷)若 tanα =3,tan(α+β)=2,则 tanβ =( ) 1 A.7 5 C.7 1 B.6 5 D.6

解 析 : tan β = tan[(α + β) - α] = 1 1 tan(α+β)-tanα 2-3 1 = =7,故选 A. 1 1 1+tan(α+β)·tanα 1+2×3

答案:A

3.tan20°+tan40° + 3tan20°tan40°=________.

tan20°+tan40° 解析:∵tan60°=tan(20° +40° )= , 1-tan20° tan40° ∴tan20°+tan40° =tan60° (1-tan20° tan40° ) = 3- 3tan20°tan40°, ∴原式= 3- 3tan20°tan40°+ 3tan20°tan40°= 3.
答案: 3

二倍角的正弦、余弦、正切公式

1.基本公式 sin2α =________. cos2α =________=________=________. tan2α =________.

2.有关公式的逆用、变形等 (1)cos2α =________,sin2α =________. (2)1+sin2α =(sinα +cosα )2, 1-sin2α =(sinα -cosα )2, sinα ±cosα =
? 2sin? ?α ?

π? ? ± 4 ?. ?

答案 1.2sinα cosα α 2tanα 1-tan2α 1+cos2α 2.(1) 2 1-cos2α 2 cos2α -sin2α 2cos2α -1 1-2sin2

tan7.5° 4.计算: =________. 1-tan27.5°

tan7.5° 2tan7.5° 1 1 解析: = × = tan15° 1-tan27.5° 2 1-tan27.5° 2 1 1 tan45°-tan30° =2tan(45°-30°)=2× 1+tan45°tan30° 3 1- 3 2- 3 1 =2× = 2 . 3 1+ 3
2- 3 答案: 2

? π? 2 2? 5.已知 sin2α = ,则 cos ?α + ? =________. ? 3 4? ?

? ? ? π? π? ? ?? ? 1? 解析:cos ?α+ ?= ?1+cos?2α+ ?? 2 ?? 4 ? 2? ? ?
2?

?

1 1 =2(1-sin2α)=6.

1 答案:6

第一课时

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

热点命题· 突破 02
课堂升华 强技提能

三角公式的直接运用
?π α∈? ?2 ? ? ? ?,sinα ?

【例 1】 已知 (1)求 (2)求
?π sin? ?4 ?

,π

5 =5.

? ? +α?的值; ? ? ? -2α?的值. ?

?5π cos? ? 6 ?

【解】

(1)因为

?π ? ? α∈? ,π? ?,sinα= 2 ? ?
2

5 , 5

2 5 所以 cosα=- 1-sin α=- 5 . 故
?π ? π π ? ? sin? +α?=sin cosα+cos sinα 4 4 ?4 ?

? 2 ? 2 5 10 ? 2 5? = 2 ×?- ?+ 2 × 5 =- 10 . 5 ? ?

? 5 ? ? 2 5? (2)由(1)知 sin2α=2sinαcosα=2× ×?- =- 5 ? 5 ? ? ? 5? 4 ? ?2 3 2 ,cos2α=1-2sin α=1-2×? ? = , 5 5 ? 5 ?

所以

?5π ? 5π 5π ? ? cos? -2α?=cos 6 cos2α+sin 6 sin2α ? 6 ?

? =? ?- ?

4+3 3 4? 3? ? 3 1 ? ? ? ×5+2× -5 =- 10 . 2? ? ? ?

【小结归纳】 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广, 可用 α、β 的三角函数表示 α±β 的三角函数,在使用两角和 与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完 成统一角和角与角转换的目的.

已知函数 f(x)= (1)求
? π f? ?- 6 ?

? π? ? 2cos?x- ? ?,x∈R. 12 ? ?

? ? ?的值; ?

?3π ? ? π? 3 ? ? ? (2)若 cosθ =5,θ ∈? ,2π ?,求 f?2θ + ? . ? 3? ? 2 ? ?

π π π 解:(1)f(- )= 2cos(- - ) 6 6 12 π π = 2cos(- 4 )= 2cos 4 =1. π π π π (2)f(2θ + 3 ) = 2cos(2θ + 3 - 12 ) = 2cos(2θ + 4 ) = 3π 3 cos2θ-sin2θ.因为 cosθ= ,θ∈( ,2π),所以 sin 5 2 4 θ=-5.

24 所以 sin2θ=2sinθcosθ=- , cos2θ=cos2θ-sin2 25 π 7 7 24 θ=-25.所以 f(2θ+ 3 )=cos2θ-sin2θ=-25-(-25)= 17 25.

三角公式逆用

【例 2】

3π (1)若 α+β= 4 ,则(1-tanα )(1-tanβ )的

值是________. 1 2cos x-2cos x+ 2 (2)化简: ?π ? ?π ?=________. ? ? 2? 2tan? sin - x + x ?4 ? ?4 ? ? ? ? ?
4 2

3π tanα+tanβ 【解析】 (1)-1=tan =tan(α+β)= , 4 1-tanαtanβ ∴tanαtanβ-1=tanα+tanβ, ∴1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2, 即(1-tanα)(1-tanβ)=2.

1 (4cos4x-4cos2x+1) 2 (2)原式= ?π ? ? sin? -x? ? ? ? ?4 ? ? 2?π 2× ? · cos ? 4 -x? ? π ? ? ? ? cos? -x? ?4 ? (2cos2x-1)2 cos22x = ?π ? ?π ?= ?π ? ? ? ? ? ? 4sin? -x?cos? -x? 2sin? -2x? ? ?4 ? ?4 ? ?2 ? cos22x 1 =2cos2x=2cos2x. 1 【答案】 (1)2 (2)2cos2x

【小结归纳】 运用两角和与差的三角函数公式时, 不但要熟练、 准确, 而且要熟悉公式的逆用及变形,如 tanα + tanβ= tan(α + β)· (1-tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.

sin110°sin20° (1) 2 的值为( 2 cos 155°-sin 155° 1 A.-2 3 C. 2 1 B.2 3 D.- 2

)

(2) 若 (4tan α + 1)(1 - 4tan β ) = 17 ,则 tan(α - β) 等于 ( ) 1 A.4 C.4 1 B.2 D.12

sin70°sin20° sin110°sin20° 解析:(1) 2 = cos310° cos 155°-sin2155° 1 cos20°sin20° 2sin40° 1 = = = . cos50° sin40° 2 (2)由已知得 4tanα-16tanαtanβ+1-4tanβ=17, ∴tanα-tanβ=4(1+tanαtanβ), tanα-tanβ ∴tan(α-β)= =4. 1+tanαtanβ
答案:(1)B (2)C

角的变换

【例 3】 (1)已知 ________.

? tan? ?α ?

? π? π? ? ? 则 tan?α- ? - ?=2, ?的值为 12? 3 ? ?

(2)已知
? cos? ?β ?

? π α∈? ?- 4 ?

? ? ,0?,β ?

?π ∈? ?2 ?

,π

? 4 ? ?,cos(α+β)=-5, ?

? π? π? 5 ? ? ? - 4 ?=13,则 cos?α + 4 ?=( ? ? ?

)

56 A.- 65 16 C.65

16 B.- 65 56 D.65

【解析】

? π? ? (1)∵tan?α- ? ?=2, 12 ? ?

?? ? ? 2-1 π? π? 1 ? ? ?? ? π? ∴tan?α- ?=tan??α- ?- ?= =3. 4 3 12 1 + 2 × 1 ? ? ? ?? ?

(2)因为

? π ? ?π ? ? ? ? α∈?- ,0?,β∈? ,π? , ? 4 ? ? ?2 ?

?π ? ? ? ? π? ? ? ? ? ?π 3π? 所以(α+β)∈? ,π?,?β- ?∈? , ?. 4 4 4 4 ? ? ? ? ? ? ? π? 4 5 ? ? 又因为 cos(α+β)=-5,cos?β- ?=13, 4? ?

? π? 3 ? ? 12 所以 sin(α+β)= ,sin?β- ?= , 5 4 ? 13 ?

所以

? ? ? ? π? π? ? ? ?? ? ? cos?α+ ?=cos?(α+β)-?β- ?? 4 ?? 4? ? ? ?

? ? π? π? ? ? ? =cos(α+β)cos?β- ?+sin(α+β)sin?β- ? 4? 4? ? ? ?

4 5 3 12 16 =- × + × = . 5 13 5 13 65

1 【答案】 (1)3 (2)C

【小结归纳】 (1)当“已知角”有两个时, “所求角”一般表示为两个 “已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时, 此时应着眼于“所求角”与 “已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把 “所求 角”变成“已知角”.

(3)常见的配角技巧:

α=2· 2 ;α=(α+β)-β;α=β-(β-α);
1 1 α=2[(α+β)+(α-β)];β=2[(α+β)-(α-β)];
? π π ? ?π +α= -? -α? ?. 4 2 ?4 ?

α

3 1 已知 α,β 均为锐角,且 sinα = ,tan(α-β)=- . 5 3 (1)求 sin(α-β)的值; (2)求 cosβ 的值.

? π? ? 解:(1)∵α,β∈?0, ? ?, 2 ? ?

π π 从而- 2 <α-β< 2 . π 1 又∵tan(α-β)=- <0,∴- <α-β<0. 3 2 10 ∴sin(α-β)=- 10 .

3 10 (2)由(1)可得,cos(α-β)= 10 . 3 4 ∵α为锐角,且 sinα=5,∴cosα=5. ∴cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+ sinαsin(α-β) 4 3 10 3 ? 10? ? ? 9 10 =5× 10 +5×?- ? = 50 . 10 ? ?

三角函数的化简与求值要遵循“三看” 原则: (1)一看“角”,这是最重要的一环, 通过看角之间的差别与联系,把角进行合 理地拆分,从而正确使用公式.

(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而 确定使用的公式,常见的方法有“切化弦”. (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们 找到变化的方向,常见的方法有“通分”“去根号”“降 幂”等.


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