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2018_2019学年高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积1.3.2球的体积和表面

2018_2019学年高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积1.3.2球的体积和表面


1.3.2 球的体积和表面积

A 级 基础巩固 一、选择题 1.若一个球的体积扩大到原来的 27 倍,则它的表面积扩大到原来的( )

A.3 倍

B.3 3 倍

C.9 倍

D.9 3 倍

解析:由 V′=27 V,得 R′=3R,RR′=3

则球的表面积比 S′∶S=???RR′???2=9.

答案:C

2.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得截面圆的面积为π ,则球的表面积为( )

A.8π3

B.323π

C.8π

D.8

2π 3

解析:设球的半径为 R,则截面圆的半径为 R2-1,

所以截面圆的面积为 S=π ( R2-1)2=(R2-1)π =π , 所以 R2=2, 所以球的表面积 S=4π R2=8π . 答案:C 3.如图所示,是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )

A.9π +42

B.36π +18

-1-

C.92π +12

D.92π +18

解析:由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体,其体积 V=43π ???32???3+3×3×2

=92π +18.

答案:D

4.设长方体的长、宽、高分别为 2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )

A.3π a2 C.12π a2 解析:设该球的半径为 R,

B.6π a2 D.24π a2

所以(2R)2=(2a)2+a2+a2=6a2,

即 4R2=6a2.

所以球的表面积为 S=4π R2=6π a2.

答案:B

5.下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得几何体的表面积是( )

A.4π +24

B.4π +32

C.22π

D.12π

解析:由三视图可知,该几何体上部分为半径为 1 的球,下部分为底边长为 2,高为 3 的正

四棱柱,几何体的表面积为 4π +32.

答案:B

二、填空题

6.(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为 18,

则这个球的体积为________.

解析:设正方体的棱长为 a,则 6a2=18,所以 a= 3.

设球的半径为 R,则由题意知 2R= a2+a2+a2=3,

-2-

所以 R=32. 故球的体积 V=43π R3=43π ×???32???3=92π . 答案:92π 7.两个球的表面积之差为 48π ,它们的大圆周长之和为 12π ,则这两个球的半径之差为 ________. 解析:由题意设两球半径分别为 R、r(R>r), 则:???4π R2-4π r2=48π 即???R2-r2=12,
??2π R+2π r=12π ??R+r=6. 所以 R-r=2. 答案:2 8.(2017·江苏卷)如图,在圆柱 O1O2 内有一个球 O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱 O1O2 的体积为 V1,球 O 的体积为 V2,则VV12的值是________.

解析:设球 O 的半径为 R,

因为球 O 与圆柱 O1O2 的上、下底面及母线均相切,

所以圆柱 O1O2 的高为 2R,底面半径为 R.

所以VV12=π

R2·2R 3

4 3π

R3

=2.

答案:32

三、解答题

9.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中 r=1,l

=3,试求该组合体的表面积和体积.

解:组合体的表面积 S=4π r2+2π rl=4π ×12+2π ×1×3=10π .
-3-

因为圆柱的体积 V 圆柱=π r2l=π ×12×3=3π ,

又两个半球的体积

2V

4 半球=3π

r3=43π



因此组合体的体积 V=3π +43π =133π .

10.如图,一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为 3 cm,瓶里所装的水深为 8 cm,将一个钢球完

全浸入水中,瓶中水的高度上升到 8.5 cm,求钢球的半径.

解:设球的半径为 R,由题意可得43π R3=π ×32×0.5,

解得:R=1.5 (cm),

所以所求球的半径为 1.5 cm.

B 级 能力提升

1.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 π ,则球的体积为( )

A.8π3

B.8

2π 3

C.8 2π

D.323π

解析:截面面积为 π ,则该小圆的半径为 1,设球的半径为 R,则 R2=12+12=2,

所以 R=

2,V=43π R3=8

2π 3

.

答案:B

2.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天

池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆府直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深

九寸,则平地降雨量是________寸.

(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)

解析:圆台的轴截面是下底长为 12 寸,上底长为 28 寸,高为 18 寸的等腰梯形,雨水线恰

π 3

(102+10×6+62)×9

为中位线,故雨水线直径是 20 寸,所以降水量为

π ×142

=3(寸).

答案:3

3.体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的表面积分别是 S1,S2,S3, 试比较它们的大小.

解:设正方体的棱长为 a,球的半径为 R,等边圆柱的底面半径为 r, 则 S1=6a2,S2=4π R2,S3=6π r2.

-4-

由题意知,43π R3=a3=π r2·2r,

3 所以 R=

3 4π

a,r=

3

1 2π

a,

所以

S2=4π

? ?

3

?

3 4π

?2 a? =4π ?

·

3

9 16π

2a2= 3

36π

a2,

S3=6π

? ?

3

?

1 2π

?2 a? =6π ?

·

3

1 4π

2a2= 3

54π

a2,

所以 S2<S3.

3 又 6a2>3

1 2π

a2= 3

54π

a2,即

S1>S3.

所以 S1,S2,S3 的大小关系是 S2<S3<S1.

-5-


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