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2019版高中数学第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.3直线与圆的位置关系练习新人教B版必修2

2019版高中数学第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.3直线与圆的位置关系练习新人教B版必修2

2.3.3 直线与圆的位置关系

1.圆 x2+y2=1 与直线 y=kx+2 无公共点,则( B ) (A)k∈(-,) (B)k∈(-,) (C)k∈(-∞,-)∪(,+∞) (D)k∈(-∞,-)∪(,+∞)

解析:圆心到直线的距离 d=

>1,即 k2<3.

故 k∈(-,).

2.(2017·山西太原五中月考)过点(1,-2)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则

AB 所在直线的方程为( B )

(A)y=-

(B)y=-

(C)y=-

(D)y=-

解析:圆(x-1)2+y2=1 的圆心为(1,0),半径为 1,以 为(x-1)2+(y+1)2=1, 将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y+1=0,

=2 为直径的圆的方程

即 y=- ,故选 B. 3.如果直线 ax+by=4 与圆 x2+y2=4 有两个不同的交点,那么点 P(a,b)与圆的位置关系是 (A) (A)P 在圆外 (B)P 在圆上 (C)P 在圆内 (D)P 与圆的位置关系不确定

解析:由题意得

<2,

得 a2+b2>4,即点 P(a,b)在圆 x2+y2=4 外. 4.已知圆 M 与直线 x-y=0 及 x-y+4=0 都相切,圆心在直线 y=-x+2 上,则圆 M 的标准方程为. 解析:由题意,圆心在 y=-x+2 上,设圆心为(a,2-a), 因为圆 M 与直线 x-y=0 及 x-y+4=0 都相切,

则圆心到两直线的距离相等,即

=

,

解得 a=0,

即圆心(0,2),且 r=

=,所以圆的方程为 x2+(y-2)2=2.

答案:x2+(y-2)2=2 5.已知圆 C:x2+y2-2x-4y+1=0 内有一点 P(2,1),经过点 P 的直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,当弦

AB 恰被点 P 平分时,直线 l 的方程为

.

解析:圆 C:(x-1)2+(y-2)2=4,弦 AB 被 P 平分,故 PC⊥AB,由 P(2,1), C(1,2)得 kPC·kl=-1,可 得 kl=1,所以直线方程为 y=x-1. 答案:y=x-1 6.由点 P(m,3)向圆 C:(x+2)2+(y+2)2=1 引切线,则切线长的最小值为. 解析:设切点为 M, 则 CM⊥MP, 于是切线 MP 的长

|MP|=

=

,

显然,当 m=-2 时,MP 有最小值=2.

答案:2

7.若直线 l:ax+by+1=0 始终平分圆 M:x2+y2+4x+2y+1=0 的周长,则(a-2)2+(b-2)2 的最小值为

(B) (A) (B)5 (C)2 (D)10 解析:由题可知,圆心(-2,-1)在直线 ax+by+1=0 上, 故 2a+b=1, 所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(1-2a-2)2=a2-4a+4+4a2+4a+1=5a2+5≥5. 8.圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的距离的最大值与最小值的差为( C ) (A)36 (B)18 (C)6 (D)5 解析:圆 x2+y2-4x-4y-10=0 的圆心为(2,2),半径为 3,圆心到直线 x+y-14=0 的距离为

=5>3,故圆与直线相离,所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 2r=6. 9.已知点 A(-3,0),B(-1,-2),若圆(x-2)2+y2=r2(r>0)上恰有两点 M,N,使得△MAB 和△NAB 的 面积均为 4,则 r 的取值范围是.

解析:由题意可得|AB|=

=2,

根据△MAB 和△NAB 的面积均为 4,

可得两点 M,N 到直线 AB 的距离均为 2;

由于 AB 的方程为

=

,

即 x+y+3=0; 若圆上只有一个点到直线 AB 的距离为 2,

则有圆心(2,0)到直线 AB 的距离为 的距离为 2,

=r+2,解得 r= ;若圆上只有 3 个点到直线 AB

则有圆心(2,0)到直线 AB 的距离为

=r-2,解得 r= ;综上,r 的取值范围是

( , ).

答案:( , ) 10.在平面直角坐标系中,已知圆心 C 在直线 x-2y=0 上的圆 C 经过点 A(4,0),但不经过坐标 原点,并且直线 4x-3y=0 与圆 C 相交所得的弦长为 4. (1)求圆 C 的一般方程; (2)若从点 M(-4,1)发出的光线经过 x 轴反射,反射光线刚好通过圆 C 的圆心,求反射光线所 在的直线方程(用一般式表达). 解:(1)设圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2, 因为圆心 C 在直线 x-2y=0 上,所以有 a-2b=0, 又因为圆 C 经过点 A(4,0),所以有(4-a)2+b2=r2,

而 圆 心 到 直 线 4x-3y=0 的 距 离 为 d=

=

, 由 弦 长 为 4, 得 弦 心 距

d=

.所以有

=

,

联立成方程组解得



又因为(x-2)2+(y-1)2=5 通过坐标原点,

所以

舍去.

所以所求圆的方程为(x-6)2+(y-3)2=13,

化为一般方程为 x2+y2-12x-6y+32=0.

(2)点 M(-4,1)关于 x 轴的对称点 N(-4,-1),

反射光线所在的直线即为 NC,又因为 C(6,3),

所以反射光线所在的直线方程为 = , 所以反射光线所在的直线方程的一般式为 2x-5y+3=0. 11.(2017· 辽 宁 大 连 模 拟 ) 已 知 三 点 O(0,0),P(4,0),Q(0,2) 恰 好 被 面 积 最 小 的 圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2 所覆盖. (1)试求圆 C 的方程; (2)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A,B.若 CA⊥CB,求直线 l 的方程.

解:(1)由题意知△OPQ 是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆为其外接圆, 故圆心是(2,1),半径是, 所以圆 C 的方程是(x-2)2+(y-1)2=5. (2)设直线 l 的方程是 y=x+m. 因为 CA⊥CB,
所以圆心到直线 l 的距离是 ,



= ,解得 m=-1±.

即直线 l 的方程为 x-y-1-=0 或 x-y-1+=0.

12.已知圆 C:(x+2)2+y2=5,直线 l:mx-y+1+2m=0,m∈R. (1)求证:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 A,B; (2)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线. (1)证明:圆 C:(x+2)2+y2=5 的圆心为 C(-2,0),半径为, 所以圆心 C 到直线 l:mx-y+1+2m=0 的距离

|

|=|

|<.

所以直线 l 与圆 C 相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点.

(2)解:设中点为 M(x,y),

直线 l:mx-y+1+2m=0 恒过定点(-2,1),

当直线 CM 的斜率存在时,kMC=

,又 kAB=

,

因为 kAB·kMC=-1,所以

·

=-1,

化简得(x+2)2+

= (x≠-2).

当直线 CM 的斜率不存在时,x=-2,

此时中点为 M(-2,1),也满足上述方程.

所以 M 的轨迹方程是(x+2)2+

=,

它是一个以(-2, )为圆心,以 为半径的圆.


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