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高一数学必修5知识点网络

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高中数学必修 5 知识点
1、正弦定理:在 ?ΑΒ C 中, a 、 b 、 c 分别为角 Α 、 Β 、 C 的对边, R 为 ?ΑΒC 的外接

a b c = = = 2R . sin Α sin Β sin C 2、正弦定理的变形公式:① a = 2 R sin Α , b = 2 R sin Β , c = 2 R sin C ; a b c , sin Β = , sin C = ; ② sin Α = 2R 2R 2R ③ a : b : c = sin Α : sin Β : sin C ; a+b+c a b c ④ = = = . sin Α + sin Β + sin C sin Α sin Β sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S ?ΑΒC = bc sin Α = ab sin C = ac sin Β . 2 2 2
圆的半径,则有 4、余弦定理:在 ?ΑΒC 中,有 a = b + c ? 2bc cos Α , b = a + c ? 2ac cos Β ,
2 2 2 2 2 2

c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C .
5、余弦定理的推论: cos Α =

b2 + c2 ? a2 a2 + c2 ? b2 a2 + b2 ? c 2 , cos Β = , cos C = . 2bc 2ac 2ab
2 2 2
o

6、设 a 、 b 、 c 是 ?ΑΒC 的角 Α 、 Β 、 C 的对边,则:①若 a + b = c ,则 C = 90 ; ②若 a + b > c ,则 C < 90 ;③若 a + b < c ,则 C > 90 .
2 2 2
o

2

2

2

o

7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列 {an } 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为 等差数列,这个常数称为等差数列的公差. 18、由三个数 a , Α , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 Α 称为 a 与 b 的 等差中项.若 b =

a+c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2
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19、若等差数列

{a n } 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

= a1 + ( n ?1) d .

20、通项公式的变形:① an = am +

( n?m) d ;② a1 = an ?( n?1) d ;③ d =

*

an ? a1 n ?1



④n=

an ? am an ? a1 +1;⑤ d = n?m d

21、若 {an } 是等差数列,且 m + n = p + q ( m 、 n 、 p 、 q ∈ Ν ) ,则 am + an ,则 2an 若 {an } 是等差数列,且 2n = p + q ( n 、 p 、 q ∈ Ν )
*

= ap +aq ;

= ap + aq .

22、等差数列的前 n 项和的公式:① Sn

=

n( a1 + an ) n ( n ?1) d. ;② Sn = na1 + 2 2

23、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ∈ Ν

(

*

) ,则 S2n = n( an + an+1 ) ,且

S偶 ?S奇 = nd ,

S奇 S偶

=

an an +1



* ②若项数为 2n ? 1 n ∈ Ν ,则 S 2 n ?1 = ( 2n ? 1) an ,且 S奇 ? S偶 = an ,

(

)

S奇 S偶

=

n (其中 n ?1

. S 奇 = n a n , S 偶 = ( n ? 1) a n ) 24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为 等比数列,这个常数称为等比数列的公比. 25、 a 与 b 中间插入一个数 G , a ,G ,b 成等比数列, G 称为 a 与 b 的等比中项. 在 使 则 若

G 2 = ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项.
26、若等比数列 {an } 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an = a1q 27、通项公式的变形:① an
n ?1


n ?1

= am q n?m ;② a1 = an q

? ( n ?1)

;③ q

=

an ;④ a1

q n?m =

an am



28、若 {an } 是等比数列,且 m + n = p + q ( m 、 n 、 p 、 q ∈ Ν * ) ,则 am ? an = a p ? aq ; 若 {an } 是等比数列,且 2n = p + q ( n 、 p 、 q ∈ Ν * ) ,则 an
2

= a p ? aq .

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?na1 ( q = 1) ? 29、等比数列 {an } 的前 n 项和的公式: S n = ? a1 (1 ? q n ) a ? a q . = 1 n ( q ≠ 1) ? 1? q ? 1? q
30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ∈ Ν

(

*

) ,则 S

S偶


=q.

② S n+ m

= Sn + q n ? Sm .

③ Sn , S 2 n ? S n , S3n ? S 2 n 成等比数列. 31、 a ? b > 0 ? a > b ; a ? b = 0 ? a = b ; a ? b < 0 ? a < b . 32、 不等式的性质: ① a > b ? b < a ; a > b, b > c ? a > c ; a > b ? a + c > b + c ; ② ③ ④ a > b, c > 0 ? ac > bc , a > b, c < 0 ? ac < bc ;⑤ a > b, c > d ? a + c > b + d ; ⑥ a > b > 0, c > d > 0 ? ac > bd ;⑦ a > b > 0 ? a > b
n n

( n ∈ Ν, n > 1) ;

⑧a > b > 0?

n

a > n b ( n ∈ Ν , n > 1) .

33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ? = b ? 4ac
2

?>0

?=0

?<0

二次函数 y = ax 2 + bx + c

( a > 0 ) 的图象
有两个相异实数根 一元二次方程 ax + bx + c = 0
2

x1,2 =

( a > 0 ) 的根
ax 2 + bx + c > 0

?b ± ? 2a

有两个相等实数根

x1 = x2 = ?

( x1 < x2 )

b 2a

没有实数根

一元二次 不等式的 解集

{ x x < x 或x > x }
1 2

( a > 0)
ax 2 + bx + c < 0

? b ? ?x x ≠ ? ? 2a ? ?

R

{x x

1

< x < x2 }

?

?

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( a > 0)
35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对

( x, y ) ,所有这样的有序数对 ( x, y ) 构成的集合.
38、在平面直角坐标系中,已知直线 Αx + Βy + C = 0 ,坐标平面内的点 Ρ ( x0 , y0 ) . ①若 Β > 0 , Αx0 + Βy0 + C > 0 ,则点 Ρ ( x0 , y0 ) 在直线 Αx + Βy + C = 0 的上方. ②若 Β > 0 , Αx0 + Βy0 + C < 0 ,则点 Ρ ( x0 , y0 ) 在直线 Αx + Βy + C = 0 的下方. 39、在平面直角坐标系中,已知直线 Αx + Βy + C = 0 . 则 Α ①若 Β > 0 , Αx + Βy + C > 0 表示直线 Αx + Βy + C = 0 上方的区域; x + Βy + C < 0 表 示直线 Αx + Βy + C = 0 下方的区域. ②若 Β < 0 , Αx + Βy + C > 0 表示直线 Αx + Βy + C = 0 下方的区域; x + Βy + C < 0 表 则 Α 示直线 Αx + Βy + C = 0 上方的区域. 40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条 件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ( x, y ) . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 41、设 a 、 b 是两个正数,则 几何平均数. 42、均值不等式定理: 若 a > 0 , b > 0 ,则 a + b ≥ 2 ab ,即 43、常用的基本不等式:① a + b ≥ 2ab ( a, b ∈ R ) ;② ab ≤
2 2

a+b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的 2 a+b ≥ ab . 2

a2 + b2 ( a, b ∈ R ) ; 2

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③ ab ≤ ?

a2 + b2 ? a + b ? ? a+b? a > 0, b > 0 ) ;④ ≥? ? ( a, b ∈ R ) . ? ( 2 ? 2 ? ? 2 ?
2 2

44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有 ⑴若 x + y = s (和为定值) ,则当 x = y 时,积 xy 取得最大值

s2 . 4

⑵若 xy = p (积为定值) ,则当 x = y 时,和 x + y 取得最小值 2 p .

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