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2016届高三数学一轮复习 第2篇 第3节 函数的奇偶性与周期性课件 理

2016届高三数学一轮复习 第2篇 第3节 函数的奇偶性与周期性课件 理


幻灯片 1 第3节 幻灯片 2 函数的奇偶性与周期性

最新考纲 1.结合具体函数,了解 函数奇偶性的含义. 2.会运用基本初等函 数的图象分析函数的 奇偶性.

3.了解函数周期性、 最小正周期 含义,会判断、应用简单函数的 周期性.

幻灯片 3 编写意图 函数的奇偶性与周期性同样是函数的基本性质,是函数知识的核心,是高考重点 考查的内容,本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出函数奇偶性的判定、函数的 奇偶性与周期性的应用,难点突破利用函数的单调性、奇偶性与周期性比较函数值的大小、 确定参数的取值或取值范围,函数与方程思想、转化与化归思想及数形结合思想的应用,多 维审题栏目突破了用函数解析式中参数值的求解方法,充分体现了方程思想的灵活应用.课 时训练以考查基础知识、基本方法和基本技能为主,选题新颖,思维含量较大、使用价值较 高,是一套不可多得的作业. 幻灯片 4 考点突破 夯基固本 多维审题 幻灯片 5 夯基固本 抓主干 固双基 知识梳理 1.奇函数、偶函数的概念及图象特征 奇函数 定 义 定义域 x f(x)与 f(-x) 的关系 结论 图象特征 原点 任意 函数 f(x)的定义域关于 对于定义域内 都有 f(-x)= -f(x) 函数 f(x)为奇函数 关于 对称 的一个 x 都有 f(-x)= f(x) 函数 f(x) 为偶函数 关于 对称 偶函数 对称

原点 y轴 幻灯片 6

质疑探究 1:如果函数 f(x)是奇函数,那么是否一定有 f(0)=0?

(提示:只有在 x=0 处有定义的奇函数,才有 f(0)=0)

2.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时, 都有 ,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中 的正数,那么这个最小正 数就叫做 f(x)的最小正周期. f(x+T)=f(x) 存在一个最小 质疑探究 2:周期函数 y=f(x)(x∈R)的周期唯一吗?

(提示:不唯一.若 T 是函数 y=f(x)(x∈R)的一个周期,则 nT (n∈Z,且 n≠0)也是 f(x)的周期,即 f(x+nT)=f(x))
幻灯片 7 基础自测

1.给出下列命题: ①函数 f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数. ②若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称. ③若函数 y=f(x+b)是奇函数,则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称. ④函数 f(x)为 R 上的奇函数,且 f(x+2)=f(x),则 f(2016)=2016. 其中正确的是( ) (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)③④
C 幻灯片 8

解析:①错误.因为函数 f(x)=0 的定义域 x∈(0,+≦)没有 关于原点对称,所以 f(x)=0,x∈(0,+≦)既不是奇函数又不 是偶函数.②正确.函数 y=f(x+a)关于直线 x=0 对称,则函 数 y=f(x)关于直线 x=a 对称.③正确.函数 y=f(x+b)关于点 (0,0)中心对称,则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称.④错 误.由已知条件可得 f(2016)=0.

幻灯片 9

2.(2014 高考湖南卷)已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的 偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=x3+x2+1,则 f(1)+g(1)等于 ( ) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3
C

解析:因为 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以 f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.

幻灯片 10

3.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是 ( (A)1 3

) (B)
1 3

(C)

1 2

(D)-

1 2

B

解析:依题意 b=0,且 2a=-(a-1),
1 1 ?a= ,则 a+b= . 3 3

幻灯片 11

4.若函数 f(x)是周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(8)-f(14)= .

解析:f(8)=f(5+3)=f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2, f(14)=f(15-1)=f(-1)=-f(1)=-1, 所以 f(8)-f(14)=-2-(-1)=-1.

答案:-1

幻灯片 12

5.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x, 则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是 .

解析:画草图,由 f(x)为奇函数知 f(x)>0 的 x 的取值范围为(-1,0)∪ (1,+≦).

答案:(-1,0)∪(1,+∞)
幻灯片 13 考点突破 考点一 函数奇偶性的判定 剖典例 找规律

【例 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= (2)f(x)=
9 ? x2 + x2 ? 9 ;
4 ? x2 ; x?3 ?3

2 ? ? x ? x, x ? 0, (3)f(x)= ? 2 ? ? x ? x, x ? 0,
幻灯片 14

2 ? ?9 ? x ? 0, 解:(1)由 ? 2 ? ? x ? 9 ? 0,

得 x=±3. ?f(x)的定义域为{-3,3},关于原点对称. 又 f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0. 即 f(x)=±f(-x). ?f(x)既是奇函数,又是偶函数.

幻灯片 15

2 ? ?4 ? x ? 0, (2)由 ? 得-2≤x≤2 且 x≠0. ? ? x ? 3 ? 3 ? 0,

?f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称.
4 ? x2 4 ? x2 ?f(x)= = . x ? 3 ? 3 ? ? x

?f(x)=-f(-x),?f(x)是奇函数.
(3)易知函数的定义域为(-≦,0)∪(0,+≦),关于原点对称. 又当 x>0 时,f(x)=x2+x,则当 x<0 时,-x>0, 故 f(-x)=x2-x=f(x); 当 x<0 时,f(x)=x2-x,则当 x>0 时,-x<0, 故 f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.
幻灯片 16

反思归纳
(1)定义法:

判断函数奇偶性的两个方法

幻灯片 17

(2)图象法:

幻灯片 18

提醒:(1)确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域 是否关于原点对称.若对称,再验证 f(-x)=±f(x)或其 等价形式 f(-x)±f(x)=0 是否成立.

(2)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内 x 取值的 任意性,应分段讨论,讨论时可依据 x 的范围取相应的 解析式化简,判断 f(x)与 f(-x)的关系,得出结论,也可 以利用图象作判断.
幻灯片 19

【即时训练】 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
lg ?1 ? x 2 ? x?2 ?2

;

(2)f(x)=(x+1)

1? x ; 1? x

? x 2 ? 2, x ? 0, ? (3)f(x)= ?0, x ? 0, ? 2 ?? x ? 2, x ? 0.
幻灯片 20

2 ? ?1 ? x ? 0, 解:(1)由 ? ? ? x ? 2 ? 2 ? 0,

得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称. f(x)=
lg ?1 ? x 2 ?

? ? x ? 2? ? 2

=-

lg ?1 ? x2 ? x

.

2 lg ?1 ? ? ? x ? ? lg 1 ? x2 ? ? ≧f(-x)===-f(x). ?x ?x

?

?

?f(x)为奇函数.
幻灯片 21

?1 ? x ? 0, ? (2)由 ?1 ? x 得-1<x≤1. ? ?1 ? x ? 0,

≧f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称. ?f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

(3)f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 2 2 当 x>0 时,f(-x)=-(-x) -2=-(x +2)=-f(x); 当 x<0 时,f(-x)=(-x) +2=-(-x -2)=-f(x); 当 x=0 时,f(0)=0,也满足 f(-x)=-f(x). 故该函数为奇函数.
2 2

幻灯片 22 考点二 函数周期性的应用

【例 2】 (1)(2013 年高考湖北卷)x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 f(x)=x-[x]在 R 上为( (A)奇函数 (B)偶函数 (C)增函数 (D)周期函数 (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=当 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(105.5)=
幻灯片 23

)

1 , f ? x?

.

解析:(1)作出函数 f(x)的图象,由图象可知选 D.

(2)由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-

1 1 ==f(x). 1 f ? x ? 2? ? f ? x?

故函数的周期为 4.?f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5). ≧2≤2.5≤3,由题意,得 f(2.5)=2.5. ?f(105.5)=2.5.
答案: (1)D (2)2.5 幻灯片 24 反思归纳 (1)判断函数周期性的两个方法 ①定义法.②图象法.

(2)判断函数周期性的三个常用结论 若对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x 都有: ①f(x+a)=-f(x)(a≠0,f(x)≠0),则函数 f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期; ②f(x+a)=

1 (a≠0,f(x)≠0),则函数 f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期; f ? x? 1 (a≠0,f(x)≠0),则函数 f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期. f ? x?

③f(x+a)=-

(3)函数周期性的重要应用 利用函数的周期性,可将其他区间上的求值,求零点个数,求解析式等问题, 转化为已知区间上的相应问题,进而求解.
提醒:应用函数的周期性时,应保证自变量在给定的区间内. 幻灯片 25

【即时训练】 (1)已知 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,对任意
的实数 x,f(x-2)=f(x+2),当 x∈(0,2)时,f(x)=-x2,则 f( ( (A))
9 4
3

13 )等于 2

(B)-

1 4

(C)

1 4

(D)

9 4

(2)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时, f(x)=x -x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个 数为(
幻灯片 26

)

(A)6 (B)7 (C)8 (D)9

解析:(1)由 f(x-2)=f(x+2),可知函数 f(x)的最小正周期 T=4,又 由于该函数是奇函数, 故 f(
13 5 3 3 3 9 )=f( )=f(- )=-f( )=-[-( )2]= .故选 D. 2 2 2 2 2 4

(2)≧f(x)是最小正周期为 2 的周期函数,且 0≤x<2 时, f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1), ?当 0≤x<2 时,f(x)=0 有两个根,即 x1=0,x2=1. 由周期函数的性质知,当 2≤x<4 时,f(x)=0 有两个根,即 x3=2,x4=3; 当 4≤x<6 时,f(x)=0 有两个根, 即 x5=4,x6=5;x7=6 也是 f(x)=0 的根. 故函数 f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴交点的个数为 7.故选 B.
幻灯片 27 考点三 函数奇偶性的应用

【例 3】 (1)(2014 西安模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,2]时,f(x)=e -1,则 f(2013)+f(-2014)等于(
x

)

(A)1-e (B)e-1 (C)-1-e (D)e+1 2 2 (2)(2014 济南模拟)若函数 f(x)=ax +(2a -a-1)x+1 为偶函数,则实数 a 的值为 ( (A)1 (C)1 或1 2

) (B)(D)0
1 2

(3)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,若 f(a)≥f(2),则 实数 a 的取值范围是
幻灯片 28

.

解析:(1)由于 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若对于 x≥0,都有 x f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,2]时,f(x)=e -1,所以 f(2013)=f(1)=e-1,f(-2014)=-f(2014)=-f(0)=0,故可知 f(2013)+f(-2014)=e-1.故选 B.

(2)因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)-f(-x)=0, 2 2 2 2 即 ax +(2a -a-1)x+1-[ax -(2a -a-1)x+1]=0. 亦即(2a -a-1)x=0,又因为对 x∈R 恒成立, 所以 2a -a-1=0,解得 a=1 或幻灯片 29
2 2

1 .故选 C. 2

(3)由已知 f(x)在[0,+≦)上为增函数,且 f(a)=f(|a|), ?f(a)≥f(2)? f(|a|)≥f(2), ?|a|≥2,即 a≥2 或 a≤-2.

答案:(1)B (2)C (3){a|a≥2 或 a≤-2}
幻灯片 30 反思归纳 函数奇偶性应用的常见题型及求解策略 题型 求函数值 求函数解析 式中参数的值 求 解 策 略 将待求函数值或不等式利用奇偶性转化为已 知区间上的函数值求解 利用待定系数法求解,根据 f(x)±f(-x)=0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等 性得参数的值或方程(组),进而得出参数的 值 利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在 对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区 间上的单调性相反,转化到同一单调区间上 求解 将待求区间上的自变量转化到已知区间上, 再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造 关于 f(x)的方程(组),从而得到 f(x)的解析 式

比较函数值 的大小或解 函数不等式 求函数解 析式

幻灯片 31

【即时训练】 (1)(2015 日照月考)若函数 f(x)=
奇函数,则 a 等于( (A)
1 2

x 为 ? 2x ? 1?? x ? a ?

) (C)
3 4

(B)

2 3

(D)-

1 2

2 ? ? x ? 1, x ? 0, (2)已知函数 f(x)= ? 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的 ? ?1, x ? 0,

取值范围是
2

. .

(3)(2014 北京模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x -x,则 f(x)的解析式为
幻灯片 32

解析:(1)因为函数 f(x)为奇函数, 所以 f(-x)+f(x)=0 恒成立, 即
?x x + =0 恒成立, ? ?2 x ? 1?? ? x ? a ? ? 2x ? 1?? x ? a ?

可化为(2x+1)(x-a)=(2x-1)(x+a)恒成立, 整理得 2(1-2a)x=0 恒成立, 所以 1-2a=0,所以 a=
幻灯片 33

1 . 2

2 ? ? x ? 1, x ? 0, (2)画出 f(x)= ? 的图象, ? ?1, x ? 0

由图象可知,若 f(1-x )>f(2x),
2 ? ?1 ? x ? 0, 则? 2 ? ?1 ? x ? 2 x,
2

? ??1 ? x ? 1, 即? ? ??1 ? 2 ? x ? ?1 ? 2,

得 x∈(-1, 2 -1).
幻灯片 34

(3)由已知得 f(0)=0,当 x<0 时,则-x>0,而 x>0 时, f(x)=x -x,所以 f(-x)=x +x,又 f(x)为奇函数,所以 2 f(x)=-f(-x),所以得 f(x)=-x -x,
?? x 2 ? x, x ? 0, ? 综上可知 f(x)= ?0, x ? 0, ? 2 ? x ? x, x ? 0.
2 2

答案:(1)A (2)(-1,
?? x 2 ? x, x ? 0, ? (3)f(x)= ?0, x ? 0, ? 2 ? x ? x, x ? 0.
幻灯片 35 助学微博

2 -1)

1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题 (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必 要条件;

(2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.
2.奇偶函数的性质 (1)若奇函数在原点处有意义,一定有 f(0)=0.
(2)f(x)是偶函数?f(-x)=f(x)=f(|x|).

(3)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原 点对称的区间上的单调性相反.
幻灯片 36

3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,反之也成 立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断 函数的奇偶性.

4.若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(x+a)=-f(x) 或 f(x+a)=

1 1 或 f(x+a)=(a 是常数且 a≠0),则 f(x)是一个 f ? x? f ? x?

周期为 2|a|的周期函数.

幻灯片 37 多维审题

拓思维 明思路 求函数解析式中参数的值

【典例】 (2014 郑州模拟)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a= .

?审题? 视角一:由 f(x)=f(-x)利用方程思想求解;

视角二:由函数图象的平移变换利用数形结合思想求解.

解析:法一 因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(-x), 即 x2-|x+a|=(-x)2-|-x+a|? |x+a|=|x-a|恒成立,所以 a=0. 2 法二 函数 y=x 为偶函数,函数 y=|x+a|是由偶函数 y=|x|向左 或向右平移了|a|个单位得到的,要使整个函数为偶函数,则需 a=0.
答案:0 幻灯片 38

点评

对于含参函数的奇偶性问题,可利用方程思想求

解,也可利用数形结合思想求解.

幻灯片 39

【即时训练】 设函数 f(x)= k= .

? x ? 2?? x ? k ? 为奇函数,则
tan x

解析:法一

≧f(x)为奇函数,

?f(-x)=-f(x),

? x ? 2?? ? x ? k ? x ? 2?? x ? k ? ? ? ? =, tan x tan ? ? x ?
?(x+2)(x+k)=(2-x)(k-x), x2+2x+kx+2k=2k-kx-2x+x2, ?k=-2.
幻灯片 40

法二 ≧f(x)为奇函数, ?f(-2)=-f(2), ?0=4?2 ? k ? tan 2

,

?k=-2.
答案: -2


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