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必修五第一章第1节《余弦定理》学案

必修五第一章第1节《余弦定理》学案


1.2《余弦定理》学案
预习要求 1、复习教材 1.1.1 正弦定理,完成“复习回顾”的问题 2、自主完成“探求新知” 谢谢你完成以上两点要求,请带上教材、笔、导学案及美好的心情,开始新的旅行吧!谢谢配合! 一、学习目标: 1.掌握余弦定理及其推论,并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 2.会证明余弦定理

二、重点难点:
重点:余弦定理的基本应用 难点:勾股定理、向量的数量积在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

三、教学过程
1.复习回顾: (1)正弦定理的文字叙述: (2)正弦定理的公式表示: (3)正弦定理的证明方法:构造直角三角形,用 的定义证明。 。 。

2. 提出问题:在修高速公路或铁路时,我们会遇到隧道工程设计的问 题(如图 1) ,经常需要测算隧道 AB 的长度。工程技术人员先在地面上选一 适当位置 C,量出 C 到隧道两端 A、B 的距离,再利用测角仪(量角器)测 出 C 对 A、B 的张角,最后通过计算求出隧道的长度 AB。 3.思考问题: 上面问题用数学语言就是, 在 ? ABC 中, 已知 BC=a, AC=b, ∠C,求边 c。这个问题能用正弦定理直接解决吗? 4.探求新知 已知三角形的两边及其夹角,由三角形全等的判定可知三角形是唯一存在的。联系已经学过的知识和 方法,可用什么途径来解决这个问题? (1)已知两边 a 、 b 及其夹角 C ,若夹角 C=900,可以用 定理来解决。 C 图1 C B A

(2)若是锐角或钝角三角形呢?从正弦定理的证明过程中,你能不能得到一些启发呢? (3)根据图 2 和图 3 请大家分组来研究,课堂上每种情形派一个代表给大家分享研究的成果。

1

C D C

D

A

图2

B

A 图3

B

大家相互交流一下,把你发现的结论说出来 ①余弦定理的文字叙述为: ②余弦定理的公式表示: ; 在上面三个公式中有几个量?从方程的角度看已知其中 三边求出一角?] (4)公式变形,获得推论: 从余弦定理的公式,你能不能利用三边求内角?如果能,请写出相应公式。
cos A ? cos B ? cos C ?

。 ; ;

个量,可以求出另一个量。那么,能否由

5.定理应用 (1)解决问题一:在 ? ABC 中,已知 b=8,c=3,∠A=600,求 a 边的长。

即时练习 1:在引例中,如果 BC=1500m,AC=1000m,∠C=600,求隧道 AB 的长(精确到 1m) 提示: 7 ? 2.6458

(2)解决问题二: (山东高考)在⊿ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 b=c,a2=2b2(1-sinA), 求∠A 的度数.

即时练习 2: 在⊿ABC 中, a ? 3 ? 1 , b ? 3 ?1 , c ? 10 ,求⊿ABC 最大角的度数。

2

四、自测反馈
1.a=4,b=3,∠C=60°,则 c= 2. a ? 2,b ? 7,c ?3 ,则∠B= . . ).

2 3.(全国高考Ⅰ)在△ABC 中,若 a ? 5,c ? 2,cos A ? ,则 b=( 3
A. 2 B. 3 C.2 D.3 ).

4.边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( A.900 B.1200 C.1350 D.1500

5.如果等腰三角形的周长是底边 长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值 为( A. 5 B. 3
4

).

18

C.

3 2

D. 7
8

6.已知 a,b, c 是 ?ABC 三边之长,若满足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab,求角 C 大小.

五、归纳小结
你掌握了余弦定理没有?你会证明它吗?它和勾股定理有什么联系?你会用它解决问题吗?

六、课后分层作业:
独立完成 A 组练习题,与其他同学合作完成 B 组练习题。 A 组: 1.在△ABC 中,若 a2>b2+c2,则△ABC 为 若 a2<b2+c2 且 b2<a2+c2 且 c2<a2+b2,则△ABC 为 2.在 ? ABC 中,已知:(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则角 C=_______ 3.在 ? ABC 中,已知 a=7,b=3,c=5,求最大角和 sinC。 4.研究学学习 1:探索余弦定理的其他证明方法,比如用向量法等。 B 组: 1.在△ABC 中,已知 sinB·sinC=cos2 ;若 a2=b2+c2,则△ABC 为 ;

王新敞
奎屯

新疆

A ,试判断此三角形的类型 2

王新敞
奎屯

新疆

tan A a 2 ? 2.在 ? ABC 中, ,试判断这个三角形的形状。 tan B b 2
3.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对 边分别为 a 、 b 、 c ,若 (a 2 ? c 2 ? b 2 ) tan B ? 3ac ,则角 B 的
3

值为( A.

) B.

? 6

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

4.研究学学习 2:已知三角形的两边和其中一边的对角求第三边,能不能使用余弦定理?

4


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