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几个有趣的悖论的数学辨析

几个有趣的悖论的数学辨析

几个有趣的悖论的数学辨析 数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态 , 它是数学 体系中出现的一种尖锐的矛盾, 对于这一矛盾的处理与研究, 丰富了 数学的内容, 促进了数学的发展。作为一名数学教师, 学习有关这方 面的知识 , 并进行研究 , 既能 提高自己的专业水平 , 又能使授课内 容生动有趣 ; 作为学生了解这方面的内容 ,不但能扩大知识面 , 而且 能提高学习兴趣 1 芝诺悖论 在西方的数学史上有一个非常有名的数学悖论 ——芝诺悖论。 芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。 芝诺本人既不是一 位科学家, 更不是一位数学家, 芝诺的老师是埃利亚学派的创始人巴 门尼德。巴门尼德是个一神论者, 他认为世界的本原是“不生不灭、 完整、唯一和不动的”。但世界显然是丰富多彩、复杂纷繁的,怎么会 是“唯一” 的呢?一个完全不动的世界怎么可能呢? 于是引起同时 代 人的反驳。 芝诺为了捍为他老师的学说, 提出了一些论述。其中最 有名的有四个, 历史上称为芝诺悖论。 作为巴门尼德的继承人, 他力 图证明, 如果承认“ 多” 和“ 运动” , 就会招致更加荒谬的结果。 限 于篇幅 , 在此只辑录其二 。 二分法 : 你不能在有限的时间内穿过无穷的点。在你穿过一定 的距离的全部之前 , 你必须穿过这个距离的一半。这样做下去就会 陷入无止境, 所以在任何一定的空间中都有无穷个点, 你不能在有限 的时间中一个接一个地接触无穷个点。

阿喀琉斯追不上大乌龟: 阿喀琉斯是古希腊《荷马史诗》中一个 跑得最快的大英雄 , 他怎么会跑不过大乌龟呢? 假定他的速度是乌 龟的 10 倍 , 阿喀琉斯与乌龟赛跑的路程是 1 千米, 让乌龟先跑10 千 米, 然后让阿喀琉斯去追。 于是问题来了 。 当阿喀琉 斯追到10 千 1 1 米的地 方 , 乌 龟又向 前跑了100 千米 , 当阿喀琉斯又追到100 1 千米时 , 乌龟又向前跑了10000 千米, … …, 这样一来 , 一直追下 去, 阿喀琉斯会追上大乌龟吗 ? 之所以说这两个论证是悖论 , 是因 为我们知道 , 无论是谁 , 不 管身高身低 , 只要一迈步 , 都可以在有限的时间内越过无穷多个点 ; 无论是谁, 都不会相信大英雄阿喀琉斯竟 会跑不过大乌龟。然而在 当时的人们的知识范围内, 却找不出芝诺的论证错在什么地方 。 1 . 1 芝诺悖论的数学意义 芝诺的“二分法” 和“ 阿喀琉斯追不上大乌龟”的论证, 本意是要 用结论的荒谬性来否定其前提关于时空的可无限分割的观点 , 该两 个论证与另外两个论证 (“ 飞箭” 与 “ 运动场” ) 组合得出了时空既 是不可无限分割, 又是可以无限分割的矛盾结论。“ 芝诺悖论” 促进 了以严格的思维规律为研究对象的逻辑学和以严格的求证思想为基 础的数学的发展。 芝诺论 证问题 的方法 是我们今天数学中仍在使 用的反证法。可以说, 这是对反证法的最早的运用。大家知道, 当一 个数学命题无法直接证明时, 我们就求助于反证法。
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1. 2 “芝诺悖论” 的数学解释 芝诺关于 “ 二分法 ” 的实质问题是无穷多个无穷小之和是什么 ; “ 阿喀琉斯追龟”的实质是无穷级数求和的问题。 1 . 2. 1 关于“ 二分法” 的解释 “ 二分法 ” 的 实质问题是无 穷多个无穷小之和是什 么的问 题 。 这里我们对无穷小做一个讨论。 若无穷小是 0 , 则无穷多个 0 之和仍为 0。 也就是说此时的无穷是所谓的实无穷。 但若无穷小 是一个变量, 即不是一个恒为 0 的数(称为潜无穷) , 亦即无穷多个 无穷小的和。那么该问题相当于极限中的未定式 , 该极限可能存在, 也可能不存在; 可能等于 0, 可能是一个常数, 或者是无穷大。 但对同 一个问题, 不可能既等于零又可为无穷大。确定该极限的方法, 就是 用微分学中的罗必达法则 。 对于“ 二 分法” , 如果给定的距离一 1 1 定 , 不妨设为 1 , 那么先走一半即 2 ,再走剩下的一半即 4 , 再走 1 剩下的一半的一半即8 , … ,以此类推则在一定时间内走的距离为:

显然 n

时 , 该式的极限为 1 , 那么只要距离一定 , 人们可以在一

定的时间内穿过无穷个点 。 1 . 2. 2 关于“ 阿喀琉斯追龟” 的解释 按照该问题的条件,让乌龟先跑10 千米 , 那么阿喀琉斯要追上乌
1

龟, 得先跑10 千米, 由于乌龟的速度是阿喀琉斯的10 , 则在阿喀琉斯
1 1 1 追到10 千米时 , 乌龟又跑了100 千米 , 当阿喀琉斯追到 100 千米时 , 乌

1

1

1 龟又跑了10000 千米, …, 这样一来 , 阿喀琉斯一共跑的距离是下列 无穷级数的和 :

对该式在 n

1 1 时取极限, 显然其极限是9 , 所以只要阿喀琉跑够9 千

米, 就能追上乌龟 。 2 贝特朗奇论 2 . 1 “贝特朗奇论” 的 数学表示 在单位圆内随机取一条弦,弦 长超过 3(单位圆内 接等 边三角形的边长)的概率是多少? 这个问题 有三种解法, 答案互相矛盾 。 解法一:设弦 AB 的一端 A 固定于圆周上,另一端 B 任意(图 1)。 对于等边三角形 ACD , 若 B 落在劣弧 CD 上,则 AB > 3 , P= CD弧长 1 = 3 圆周长 解法二 : 设弦 AB 垂直于直径 EF , C D = DO( 图 2) , 若 AB CD 1 的中点落在线段 C D 上 , 则 AB> 3 , 故 P = EF = 2 。 解法三 : 作半径为 1/ 2 的 同心圆( 图 3) 。 若 A B 的中 点 小圆面积 1 落在此圆内 , 则 AB> 3 , 故 P = = 4 。 大圆面积

2. 2 “贝特朗奇论” 的数学辨析 同一问题有三种不同的答案, 究其原因, 是在取弦时采用了不同 的等可能性的假定。解法一假定端点在圆周上的落点处处等可能 , 解法二假定中点在直径上的落点处处等可能 , 解法三假定中点在圆 内的落点处处等可能。三种答案对于各自的假定都是正确的。这样的 解释显得似是而非, 但又找不到反驳的理由, 故名奇论。其实弊病出 在概率定义本身。 我们先看看有关概率的三个定义 : 概率的统计定义: 在条件相 同的 n 次试验中事件 A 出现 m 次 , 如果加大 n 时 , A 的频率 m n 逐渐稳定在一个常数附近 , 就把这个常数叫做事件 A 的概率。 概率的古典定义:如果一个试验满足两条: (1)试验只有有限个基本 结果; (2)试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。 这样的试 验,成为古典试验。 对于古典试验中的事件 A ,它的概率定义 m 为: P(A)= n ,n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。 m 表示事件 A 包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概 率的古典定义。概率的几何定义:若试验结果只能出现于区域Ω 内的

某一点 ,且出现于每一点的可能性相等 ,又区域 A 包含于区域Ω 中 , 那么试验结果出现于区域 A 的概率,即事件 A R 的概率 P( A ) =区域 A 的测度/区域Ω 的测度。 概率的统计定义虽然直观, 但据此计算某事件的概率是困难的 , 仅能以 A 的频率作为 P( A) 的近似值。 然而 n 要多大,准确到什么程 度 ,都没有确切的说明 ,在概率的古典定义中 ,不需要试验即可直接根 据公式求出事件的概率, 这是它的最大优点, 但是它也有局限性, 因 为它要求试验的全部可能结果的数目是有限的 , 而且每个试验结果 出现的可能性相等 。 如果试验的全部可能结果是无限的,古典定义 就不适用了。概率的几何定义虽然不要求试验结果有限,但同样强调 试验结果的等可能性。可是怎样才算等可能性 ? 这都无从回答。即 便古典定义的提出者拉普拉斯本人对此也是含糊其词: “ 如果找不到 可能性大小不等的任何理由, 就可以看作是等可能的。” 当然这种说 法欠妥, 并且招致许多矛盾。如果进一步分析,所谓“等可能性” 就是 “等概率”。 这无异于用概率去定义概率, 逻辑上出现了循环。 正是因 为这种矛盾的存在 , 人们希望找一个一 般的概型, 以便更广泛更确 切地描述随机现象 , 通过对随机现象的数学本质的研究和对上述三 个定义的分析知道了概率具有一些基本性质并由此得到概率的公理 化定义 3 理发师悖论 “理发师悖论” 是“罗素悖论” 的通俗说法。说的是在很早以前的 一个村庄里, 只有一个理发师 , 他规定只替而且一定替不给自己理

发的人理发。这就引出一个问题: 他该不该给自理发? 或者问: 他的头发应由谁理? 要是他给自己理发 , 那么他就违反了 自己的规定; 因为按规定, 他不应该为自己理发。 要是他不给自己理 发 , 他也违反了自 己的规定 ; 因为按规定 , 他一定得给自己不 理发的人理发, 所以他也得给自己理发。 理发师发难了: 他不论怎么 做“都自己打自己的耳光” 。 3 . 1 “理发师悖论”的数学表示设要回答的问题是 : “ 一切不包 含自身的集合所组成的集合” 是否包含自身的问题。如果说它不包 含自身, 那么他就应当是这个集合的元素, 即包含自身 ; 如果说它 包含自身, 即属于这个集合那么它又不应包含自身。用符号表示就 是 :R ∈ R ≡R R 即命题 R ∈ R 等价于它的否命题 R R 。

3 . 2 “ 罗素悖论” 的辨析及历史意义 “ 罗素悖论 ” 产生的原因在于集合的辩证性与数学方法的形式 特性或者形而上学思维方法的矛盾。 集合既是一种完成了的对象 , 又具有无限扩张的可能性, 它是完成与过程的统一。而人们在认识 集合这种辩证性时, 由于形式逻辑的驱使或者形而上学的思维方法 往往是片面强调矛盾的一方 , 且把它推向极端 , 然后又把对立的双 方机械的重新联结起来 , 这样出现矛盾就不可避免了 , 在 “罗素悖 论”的形成中,它一方面肯定的是集合本身无限扩张的可能性 , 即强 调集合的过程性。另一方面,又对不能再予以扩张的集合即全集的绝 对肯定,即又强调了集合的完成性。这样一来, 把绝对化了的双方又 机械的联系起来,就必然构成了悖论。

“罗素悖论” 来自作为数学基础的集合论的内部, 推理简单明了, 毫不含糊, 一针见血地指出了当时集合论中存在的矛盾。大家知道, 数学是科学的基础,而集合论又是公认的现代数学的基础, 正如一个 宏伟大厦的地基出现了问题一样, “罗素悖论” 的提出, 使人们如闻 霹雳, 震惊不已, 从而引发了第三次数学危机,但正 是这一 次数学 危机, 促进了公理化集合论的诞生。


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