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2018-2019学年高中数学人教A版选修4-1学案创新应用:第二讲四弦切角的性质-含解析

2018-2019学年高中数学人教A版选修4-1学案创新应用:第二讲四弦切角的性质-含解析


数学 四 弦切角的性质 [对应学生用书 P28] 弦切角定理 (1)文字语言叙述: 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. (2)图形语言叙述: 如图,AB 与⊙O 切于 A 点,则∠BAC=∠D. [说明] 弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半, 圆周角的度数等于它所对的弧的度数 的一半,圆心角的度数等于它所对弧的度数. [对应学生用书 P29] 弦切角定理 ? , [例 1] (2010· 新课标全国卷)如图, 已知圆上的弧 ? 过C AC = BD 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明: (1)∠ACE=∠BCD; (2)BC2=BE· CD. [思路点拨] 利用弦切角定理. ? , [证明] (1)因为 ? AC = BD 所以∠BCD=∠ABC. 又因为 EC 与圆相切于点 C, 故∠ACE=∠ABC, 所以∠ACE=∠BCD. (2)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, 所以△BDC∽△ECB. 数学 故 BC CD = , BE BC 即 BC2=BE· CD. 利用弦切角定理进行计算、证明,要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角,有时与圆的 直径所对的圆周角结合运用,同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切 角. 1. 如图, AB 为⊙O 的直径, 直线 EF 切⊙O 于 C, 若∠BAC=56° , 则∠ECA=________. 解析:连接 BC, ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90° . ∴∠B=90° -∠BAC=90° -56° =34° . 又∵EF 与⊙O 相切于点 C,由弦切角定理,有∠ECA=∠B=34° . 答案:34° 2.如图,AB 是⊙O 的弦,CD 是经过⊙O 上的点 M 的切线,求证: (1)如果 AB∥CD,那么 AM=MB; (2)如果 AM=BM,那么 AB∥CD. 证明:(1)∵CD 切⊙O 于 M 点, ∴∠DMB=∠A,∠CMA=∠B. ∵AB∥CD,∴∠CMA=∠A. ∴∠A=∠B,故 AM=MB. (2)∵AM=BM,∴∠A=∠B. ∵CD 切⊙O 于 M 点,∠CMA=∠B, ∴∠CMA=∠A.∴AB∥CD. 3.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于点 C,AC 平 分∠DAB. (1)求证:AD⊥CD; (2)若 AD=2,AC= 5,求 AB 的长. 解:(1)证明:如图,连接 BC. ∵直线 CD 与⊙O 相切于点 C, 数学 ∴∠DCA=∠B. ∵AC 平分∠DAB, ∴∠DAC=∠CAB. ∴∠ADC=∠ACB. ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90° . ∴∠ADC=90° ,即 AD⊥CD. (2)∵∠DCA=∠B,∠DAC=∠CAB, ∴△ADC∽△ACB. ∴ AD AC = , AC AB ∴AC2=AD· AB. 5 ∵AD=2,AC= 5,∴AB= . 2 运用弦切角定理证明比例式或乘积式 [例 2] 如图,PA,PB 是⊙O 的切线,点 C 在 ? AB 上,CD⊥ AB,CE⊥PA,CF⊥PB,垂足分别为 D,E,F. 求证:CD2=CE· CF. [思路点拨] 连接CA、CB,∠CAP=∠CBA、 → ∠CBP=∠CAB Rt△CAE∽Rt△CBD CE CD → = → 结论 CD CF Rt△CBF∽Rt△CAD [证明] 连接 CA、CB. ∵PA、PB 是⊙O 的切线, ∴∠CAP=∠CBA, ∠CBP=∠CAB. 又 CD⊥AB,CE⊥PA,CF

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