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2018版高中数学第二章函数4二次函数性质的再研究学案北师大版必修1

2018版高中数学第二章函数4二次函数性质的再研究学案北师大版必修1

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4
2

二次函数性质的再研究
2 2

学习目标 1.理解 y=ax 与 y=a(x+h) +k(a≠0)及 y=ax +bx+c 的图像之间的关系 (重点);2.理解并掌握二次函数的定义域、值域、单调性、对称轴(重点);3.能利用配方法 或图像法掌握二次函数的重要性质(重、难点);4.会求二次函数在给定闭区间上的最大值、 最小值(重、难点).

预习教材 P41-47 完成下列问题: 知识点一 二次函数的定义 形如 y=ax +bx+c(a≠0)的函数叫作二次函数,其中 a、b、c 分别称为二次项系数、 一次项系数、常数项.解析式 y=ax +bx+c(a≠0)称为二次函数的一般式,二次函数的解 析式还有其他两种形式; 顶点式:y=a(x+h) +k(a≠0); 零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 说明: 所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式, 并不是所有二次函数的解析式均有 零点式,只有图像与 x 轴有交点的二次函数才有零点式. 【预习评价】 1.函数 y=x +2x-2 的图像的顶点坐标是________. 解析 y=x +2x-2=(x+1) -3,故所求顶点坐标为(-1,-3). 答案 (-1,-3) 2 .二次函数的图像过点 (0,1) ,对称轴为 x = 2 ,最小值为- 1 ,则它的解析式是 ______________ . 解析 依题意可设 f(x)=a(x-2) -1(a≠0), 又其图像过点(0,1), 1 ∴4a-1=1,∴a= . 2 1 2 ∴f(x)= (x-2) -1. 2 1 2 ∴f(x)= x -2x+1. 2 1 2 答案 f(x)= x -2x+1 2 知识点二 二次函数的图像变换
2 2 2 2 2 2 2

1

1.首先将二次函数的解析式整理成顶点式 y=a(x+h) +k(a≠0),再由二次函数 y=

2

x2 的图像经过下列的变换得到:
(1)将函数 y=x 的图像各点的纵坐标变为原来的 a 倍,横坐标不变,得到函数 y=ax 的图像. (2)将函数 y=ax 的图像向左(h>0)或向右(h<0)平移|h|个单位得到 y=a(x+h) 的图 像. (3)将函数 y=a(x+h) 的图像向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得到 y=a(x+h) +k 的图像. 2.一般地,二次函数 y=a(x+h) +k(a≠0),a 决定了二次函数图像的开口大小和方 向;h 决定了二次函数图像的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”,k 决定了二次函数图 像的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”. 【预习评价】 1.y=x 和 y=2(x+1) +3 的图像之间有什么关系? 提示 y=x 的图像各点纵坐标变为原来的 2 倍,可得 y=2x 的图像;再把 y=2x 的图 像向左平移 1 个单位,再上移 3 个单位,得 y=2(x+1) +3 的图像. 2.函数 y=3x -x+2 的图像向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,所得 图像对应的函数解析式是____________ . 解析 函数 y=3x -x+2 的图像向左平移 1 个单位长度, 得函数 y=3(x+1) -(x+1) +2 的图像,再向下平移 2 个单位长度,得函数 y=3(x+1) -(x+1)+2-2 的图像,即所 得图像对应的函数解析式是 y=3x +5x+2. 答案 y=3x +5x+2 知识点三 二次函数的图像和性质
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a>0
图像 定义域 值域

a<0

x∈R

?4ac-b ,+∞? ? 4a ? ? ?
在?-∞,- ?上递减, 2a? ?

2

?-∞,4ac-b ? ? 4a ? ? ?
在?-∞,- ?上递增, 2a? ? 在?- ,+∞?上递减 ? 2a ?
2

2

?

b?

?

b?

单调性

? ? 在?- ,+∞?上递增 ? 2a ?
b b ? b 4ac-b ? ①对称轴:x=- ;②顶点:?- , 4a ? 2a ? 2a ?

?

b

?

图像特点

【预习评价】
2

1.函数 y=2x+1 在[1,2]上的最大值是( A.3 C.5

) B.4 D.1

解析 因为 y=2x+1 为增函数, 所以 y=2x+1 在[1,2]上递增, 所以 ymax=2×2+1=5. 答案 C 2.函数 f(x)=x -4x+3,x∈[1,4]的最小值为________. 解析 因为 f(x)在[1,2]上是减函数,在[2,4]上是增函数,所以 f(x)的最小值为 f(2) =-1. 答案 -1
2

题型一 求二次函数的解析式 【例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值为 8, 求二次函数的解析式. 解 法一 利用二次函数的一般式.设 f(x)=ax +bx+c(a≠0),由题意得
2

4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, ?4ac-b ? ? 4a =8,
2

a=-4, ? ? 解得?b=4, ? ?c=7.
2

故所求二次函数的解析式为 f(x)=-4x +4x+7. 法二 利用二次函数的两根式. 由已知 f(x)+1=0 的两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即 f(x)=ax -ax-2a-1(a≠0). -4a 又函数有最大值 8,所以 解得 a=-4. 故所求二次函数的解析式为 f(x)=-4x +4x+7. 法三 利用二次函数的顶点式. 设 f(x)=a(x+m) +n(a≠0). ∵f(2)=f(-1), 2+ - ∴抛物线的对称轴为 x= 2 1 即 m=- . 2 又∵f(x)的最大值为 8,∴n=8.
3
2 2 2

a+ 4a

-a

2

=8.

1 = , 2

? 1?2 ∴f(x)=a?x- ? +8. ? 2?
∵f(2)=-1,

? 1?2 ∴a?2- ? +8=-1,解得 a=-4. ? 2? ? 1?2 2 ∴f(x)=-4?x- ? +8=-4x +4x+7. ? 2?
故所求二次函数的解析式为 f(x)=-4x +4x+7. 规律方法 求二次函数的解析式,应根据已知条件的特点,灵活运用解析式的形式,选 取最佳方案,利用待定系数法求解. (1)一般式:y=ax +bx+c(a,b,c 为常数,且 a≠0). 当已知抛物线上任意三点时, 通常将函数的解析式设为一般式, 然后列出三元一次方程 组并求解. (2)顶点式:y=a(x+h) +k(a,h,k 为常数,且 a≠0). 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时,通常将函数的解析式设为顶点式. (3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2 是常数,且 a≠0). 当已知抛物线与 x 轴的交点或交点的横坐标时,通常将函数的解析式设为两根式. 【训练 1】 已知二次函数 f(x)的图像的对称轴是直线 x=-1,并且经过点(1,13)和 (2,28),求二次函数 f(x)的解析式. 解 设 f(x)=a(x+1) +k(a≠0), 由题意得 f(1)=13,f(2)=28,
? ?4a+k=13, 则有? ?9a+k=28, ?
2 2 2 2 2

解得 a=3,k=1,
2

所以 f(x)=3(x+1) +1,即 f(x)=3x +6x+4. 题型二 二次函数的对称性 【例 2】 如果函数 f(x)=x +bx+c 关于 x=2 对称,那么( A.f(2)<f(1)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1)
2 2

)

B.f(1)<f(2)<f(4) D.f(4)<f(2)<f(1)

解析 法一 ∵f(x)=x +bx+c 关于 x=2 对称, 又抛物线开口方向向上, 由该二次函 数 的 特 征 可 知 , 自 变 量 离 对 称 轴 越 远 , 函 数 值 越 大 , 又 4 - 2>|1 - 2|>2 - 2 , 故 有

f(4)>f(1)>f(2).
法二 ∵f(x)=x +bx+c 关于 x=2 对称, ∴b=-4,又 f(4)=4 -4×4+c=c,
2 2

f(2)=22-4×2+c=c-4,f(1)=12-4×1+c=c-3,
∴f(4)>f(1)>f(2).
4

答案 A 规律方法 对称轴是二次函数的一个重要性质,一般地函数关于 x=a 对称,有以下几 种等价说法: (1)f(a+x)=f(a-x)?f(x)关于 x=a 对称; (2)f(x)=f(2a-x)?f(x)关于 x=a 对称; (3)f(m+x)=f(n-x)(其中 m+n=2a)?f(x)关于 x=a 对称. 【训练 2】 二次函数 f(x)=x +ax 对任意 x∈R,总有 f(1-x)=f(1+x),则实数 a =________. 解析 ∵对任意 x∈R,总有 f(1-x)=f(1+x), ∴函数 f(x)的对称轴是 x= 则- =1,∴a=-2. 2 答案 -2 题型三 二次函数的单调性 【例 3】 函数 y=x +bx+c 在区间(-∞,1)上单调递减,则 b 的取值范围是( A.b≤-2 C.b>-2
2 2 2

1-x+1+x =1, 2

a

)

B.b≥-2 D.b<-2

解析 ∵f(x)=x +bx+c 的对称轴为 x=- ,由题意得- ≥1,∴b≤-2. 2 2 答案 A 规律方法 二次函数的单调性取决于两点:①图像的开口方向;②对称轴的位置.在解 题时可借助图像进行分析. 【训练 3】 已知函数 f(x)=x +(a+1)x+1 在[-1,1]上为单调函数,则实数 a 的取 值范围是________. 解析 由题意得-
2

b

b

a+1
2

≤-1,或-

a+1
2

≥1,得 a≥1 或 a≤-3.

答案 (-∞,-3]∪[1,+∞) 典例 迁移 题型四 闭区间上二次函数的最值

【例 4】 已知函数 f(x)=x -4x-4.若函数定义域为[3,4],求函数的最值. 解

2

f(x)=(x-2)2-8 开口向上,对称轴为 x=2,所以当 x∈[3,4]时,f(x)为增函数,

最小值为 f(3)=-7,最大值为 f(4)=-4. 【迁移 1】 (变换条件)典例中将定义域“[3,4]”改为“[-3,4]”,其他条件不变,
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求 f(x)的最值. 解 =-8. 又因为 f(-3)=17,f(4)=-4.所以最大值为 17. 【迁移 2】 (改变问法)典例中函数不变,将问题变为:若函数 f(x)=x -4x-4 在(- ∞,1]上单调,求 f(x)的最值. 解 因为 f(x)为开口向上的抛物线,对称轴为 x=2,
2

f(x)=(x-2)2-8 在[-3,2]上是减函数, 在[2,4]上是增函数, 所以最小值为 f(2)

所以 f(x)在(-∞,1]上单调递减. 所以 f(x)min=f(1)=1 -4×1-4=-7,f(x)无最大值. 综上,f(x)的最小值为-7. 【迁移 3】 (变换条件、改变问法)将本例变为:已知函数 f(x)=
2

x2+2x+a ,若对任 x

意的 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 解 立. 设 y=x +2x+a,x∈[1,+∞),则 y=(x+1) +a-1 在[1,+∞)上是增函数,从而
2 2

法一 f(x)>0 对 x∈[1,+∞)恒成立,等价于 x +2x+a>0 对 x∈[1,+∞)恒成

2

ymin=3+a.
于是当且仅当 ymin=3+a>0,即 a>-3 时,f(x)>0 对 x∈[1,+∞)恒成立,故实数 a 的取值范围是(-3,+∞). 法二 f(x)>0 对 x∈[1,+∞)恒成立,等价于 x +2x+a>0 对 x≥1 恒成立,即 a>-x -2x 对 x≥1 恒成立. 令 μ =-x -2x=-(x+1) +1,其在[1,+∞)上是减函数,所以当 x=1 时,μ -3.因此 a>-3. 故实数 a 的取值范围是(-3,+∞). 规律方法 求二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)在区间[m,n]上的最值的类型 (1)若对称轴 x=- 在区间[m,n]内,则最小值为 f?- ?,最大值为 f(m),f(n)中 2a ? 2a? 较大者(或区间端点 m,n 中与 x=- 距离较远的一个对应的函数值为最大值) 2a (2)若- <m,则 f(x)在[m,n]上是增函数,最大值为 f(n),最小值为 f(m). 2a (3)若- >n,则 f(x)在[m,n]上是减函数,最大值为 f(m),最小值为 f(n). 2a
2 2 2 max 2 2



b

?

b?

b

b b

课堂达标

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1.已知一元二次函数 y=-x +2x+4,则函数( A.对称轴为 x=1,最大值为 3 B.对称轴为 x=-1,最大值为 5 C.对称轴为 x=1,最大值为 5 D.对称轴为 x=-1,最小值为 3

2

)

解析 由 y=-x +2x+4=-(x-1) +5,知对称轴为 x=1,最大值为 5. 答案 C 2.函数 f(x)=x +mx+1 的图像关于直线 x=1 对称,则( A.m=-2 C.m=-1
2 2

2

2

)

B.m=2 D.m=1

解析 函数 f(x)=x +mx+1 的图像对称轴为 x=- , 且只有一条对称轴, 所以- =1, 2 2 即 m=-2. 答案 A 3.函数 y=-2x +x 为增函数的区间是________. 解析 1 ? 1?2 1 2 函数 y=-2x +x=-2?x- ? + 的图像的对称轴是直线 x= ,图像的开口向 4 ? 4? 8
2

m

m

1 下,所以函数值在对称轴 x= 的左边是增加的. 4 1? ? 答案 ?-∞, ? 4? ? 4.函数 f(x)=2x -6x+1 在区间[-1,1]上的最小值是________,最大值是________.
2

? 3?2 7 解析 ∵f(x)=2?x- ? - 在[-1,1]上为减少的,∴当 x=1 时,f(x)min=-3;当 x ? 2? 2
=-1 时,f(x)max=9. 答案 -3 9 5.试求函数 y=2x +2,x∈N 的最小值. 解 因为 x∈N ,所以 x ≥1,所以 y=2x +2≥4,即 y=2x +2 在 x∈N 上的最小值为
* 2 2 2 * 2 *

4,此时 x=1. 课堂小结 1.画二次函数的图像,抓住抛物线的特征“三点一线一开口”.“三点”中有一个点 是顶点,另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点,常取与 x 轴的交点:“一线”是指 对称轴这条直线:“一开口”是指抛物线的开口方向. 2.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值,且它们只能在区间的端点或二次函数 图像的对称轴上取到.

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3.解决含参数的二次函数的最值问题,首先将二次函数化为 y=a(x+h) +k 的形式, 再依 a 的符号确定抛物线开口的方向,依对称轴 x=-h 得出顶点的位置,再根据 x 的定义 区间结合大致图像确定最大或最小值. 对于含参数的二次函数的最值问题,一般有如下几种类型: (1)区间固定,对称轴变动(含参数),求最值; (2)对称轴固定,区间变动(含参数),求最值; (3)区间固定,最值也固定,对称轴变动,求参数. 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论. 4.对于二次函数 f(x)=a(x-h) +k(a>0)在区间[p,q]上的最值问题可作如下讨论: (1)对称轴 x=h 在区间[p,q]的左侧,即当 h<p 时,f(x)max=f(q),f(x)min=f(p). (2)对称轴 x=h 在区间[p,q]之间,即当 p≤h≤q 时,f(x)min=f(h)=k. 当 p≤h< 当 h= 当
2

2

p+q
2

时,f(x)max=f(q);

p+q
2

时,f(x)max=f(p)=f(q);

p+q
2

<h≤q 时,f(x)max=f(p).

(3)对称轴 x=h 在区间[p,q]的右侧,即当 h>q 时,f(x)max=f(p),f(x)min=f(q). 当 a<0 时,可类似得到结论.

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