9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5课件:本讲整合4_图文

2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5课件:本讲整合4_图文

本讲整合 -1- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 数学归纳法原理 整除问题 数学归纳法 几何问题 数学归纳法应用 等式问题 证明不等式 贝努利不等式 其他不等式 -2- 本讲整合 专题一 专题二 知识建构 综合应用 真题放送 专题一 正确使用数学归纳法 同学们在刚开始学习数学归纳法时,常常会遇到两个困难,一是 数学归纳法的思想实质不容易理解,二是归纳步骤的证明有时感到 难以入手.本专题将对两种常见的错误进行讨论、整理,以帮助学 生进一步理解数学归纳法的原理,弄清它的实质,从而明确如何正 确地使用数学归纳法. -3- 本讲整合 专题一 专题二 知识建构 综合应用 真题放送 (1)缺少数学归纳法的第二步. 有人觉得如果一个命题对于开头的一些自然数都成立,那么由 P(k)成立导出P(k+1)成立是必然的,因此第二步归纳步骤是流于形 式,证与不证似乎一样,显然这是不正确的.产生这种错误想法的原 因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用,如果没有递推性,那 么一个命题可能对于开头的许多自然数都成立,但是对于一般的自 然数并不成立,我们举几个例子来看看. -4- 本讲整合 专题一 专题二 知识建构 综合应用 真题放送 十七世纪法国卓越的数学家费尔玛考查了形如2 + 1 的数 ,n=0,1,2,3,4 时,它的值分别为 3,5,17,257,65 537.这 5 个数都是质数. 因此费尔玛就猜想:对于任意的自然数 n,式子22 + 1 的值都是质数. 但是在十八世纪另一位卓越的数学家欧拉指出 n=5 时, 22 + 1=4 294 967 297=641×6 700 417. 是个合数,费尔玛的猜想错了. 这就充分说明我们不能把不完全归纳法当成证明,用数学归纳 法证明时第二步不可缺少. 5 2 -5- 本讲整合 专题一 专题二 知识建构 综合应用 真题放送 (2)缺少数学归纳法的第一步. 也有人觉得既然第二步归纳步骤中有递推作用,而且k又可以任 意取值,这样就够了,有没有第一步P(1)无关紧要.这种认识也是错 误的,它忽视了第一步的奠基作用,因为如果没有P(1)成立,归纳假 设P(k)成立就没有了依据,因此递推性也就成了无源之水,无本之木, 下面我们看一个这样的例子. -6- 本讲整合 专题一 专题二 知识建构 综合应用 真题放送 例:证明(n+1)2+(n+2)2一定是偶数(n∈N+). 证明:假设当n=k时命题成立,即(k+1)2+(k+2)2是偶数.当n=k+1时, [(k+1)+1]2+[(k+1)+2]2=(k+2)2+(k+1)2+4(k+1)+4=(k+1)2+(k+2)2 +4(k+2). 由假设(k+1)2+(k+2)2是偶数,又4(k+2)也是偶数,所以上式是偶数, 这就是说当n=k+1时命题也成立. 由此,对于任意的正整数n,(n+1)2+(n+2)2一定是偶数. 这个结论显然是错误的,原因就在于证明中缺少第一步奠基步骤, 实际上,当n=1时,(1+1)2+(1+2)2=4+9=13不是偶数,这说明使用数 学归纳法时不可缺少第一步. -7- 本讲整合 专题一 专题二 知识建构 综合应用 真题放送 1 (+1) 应用 用数学归纳法证明,对于 n∈N+, 1×2 + 2×3 + 3×4 + ? + = . +1 1 1×2 1 , 右边 2 1 , 2 1 1 1 证明:(1)当 n=1 时,左边 = = = 所以等式成立. (2)假设当 n=k 时等式成立,即 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 + + + ?+ = , 1×2 2×3 3× 4 ( + 1) + 1 1 1 1 1 1 + + + ?+ + 1×2 2×3 3× 4 ( + 1) ( + 1)( + 2) 1 + 1 = + = . + 1 ( + 1)( + 2) + 2 由(1)(2)可知,对于任意的 n∈N+,所证等式都成立. -8- 本讲整合 专题一 专题二 知识建构 综合应用 真题放送 专题二 数学归纳法证题的几种技巧 在使用数学归纳法证明时,一般说来,第一步验证比较简明,而第 二步归纳步骤情况较复杂.因此,熟悉归纳步骤的证明方法是十分 重要的,其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题,归纳假设 “P(k)”是问题的条件,而命题P(k+1)成立就是所要证明的结论,因此, 合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键,下面简要分 析一些常用技巧. -9- 本讲整合 专题一 专题二 知识建构 综合应用 真题放送 1.分析综合法 用数学归纳法的假设证明关于正整数n的命题,从“P(k)”到 “P(k+1)”,常常可用分析综合法. 应用1求证:对任意正整数n,有13+23+33+…+n3=(1+2+…+n)2成 立. 提示:这是一个等式证明问题,它涉及全体正整数,用数学归纳法 证明.用数学归纳法证明恒等式,关键是第二步要用上假设,证明 n=k+1时,原等式成立. -10- 本讲整合 专题一 专题二 知识建构 综合应用 真题放送 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,所以原等式成立. (2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,等式成立, 即13+23+…+k3=(1+2+…+k)2. 则当n=k+1时,13+23+…+k3+(k+1)3 =(1+2+…+k)2+(k+1)3 = = = (+1) 2 3 + ( k+ 1) 2 +1 2 2 [k +4(k+1)] 2 (+1)(+2) 2 = [1+2+…+k+(k+1)]2, 2 即当n=k+1时,原等式也成立. 综合(1)(2)可知,对任何n∈N+,原等式都成立. -11- 本讲整合 专题一 专题二 知识建构 综合应用 真题放送 应用 2 设 a,b +

网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com