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-不定积分及其计算-PPT课件_图文

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高等院校非数学类本科数学课程
高 等 数 学 A(1)
—— 一元微积分学
第二十四讲 不定积分及其计算
授课老师:彭亚新

第五章 一元函数的积分学
第三节 不定积分及其计算
一. 不定积分的概念 二.不定积分的计算

本讲学习要求
? 理解原函数与不定积分的概念与性质; ? 熟练掌握求不定积分的第一类换元法(凑微分法).

一. 不定积分的概念

定义

f (x) 在区间I 上的全体原函数的集合 { F ( x ) |F ? ( x ) ? f( x ) ,x ? I }

称为 f(x)在I上的不定 , 记 积为 分

?f(x)dx?F(x)?C (C为任)意常

其中 , F(x)为f(x)的一个原函数;

f(x)称为被积 , f函 (x)d数 x称为被积表达式

? 称为不定积分号;C 称为积分常数 .

习惯, 称 上求已知 f(x函 )的数 全部原函,数的过 为求函f(数 x)的不定.积分
求不定积分是求导的运逆算.

例如: ( x 2 ) ?? 2 x ,

?2 x d x ? x 2 ? C ;

每一个求导 公式, 反过 来就是一个

求原函数的

(x s ) ?? c ix n ,o ? c s x d o x ? s s x ? iC ; n

公式, 加上 积分常数C

(l|x n |)?? 1 , x

?1 xd x? l|n x|? C .

就成为一个 求不定积分 的公式.

基本积分公式
(1) ?kdx?k? xC (k为常 ) 数
(2) ?x?d x? ?1 ? 1x?? 1? C(??? 1 ) (3) ?1xdx?ln| x|?C
? (4) exdx?ex ?C
? (5) axdx?lanxa?C

(6) ?coxdx s?sixn ?C
(7) ?sixd n x?? co x? s C ? (8) se 2xc dx?taxn ?C ? (9) cs 2xd cx?? co x? C t
(10) ?se xc tx a d x n ? se x? c C
(11) ?cx sccx o d x t ? ? cx s? C c

1

? (12)

dx?arcsx?iC n

1?x2

(13)

1
?1?x2dx?arctxa?C n

(14) ?sh xdx?ch x?C

(15) ?ch xdx?sh x?C

不定积分与定积分是两个不同的概念.
? ?? 定积分是一 限 : 种 a bf(x)和 dx?式 ||? lx|i|? m 0i的 ? n1f(极 i)?xi.
不定积分是求 算:导 F?(的 x)?逆 f(x)运 ,则
? f(x)dx?F(x)?C.

二.不定积分的计算
利用不定积分的性质 换元法( 第一、第二 ) 分部积分法 部分分式法

1. 利用性质计算不定积分
首先介绍不定积分的基本性质.

性质 1

(?f(x)dx)??f(x),
d?f((x )dx )?f(x )dx ,
?f?(x)dx?f(x)?C , ?df(x)?f(x)?C .
逆运算

性质 2
? ? ? [ a 1 ( x ) ? b f 2 ( x ) d f x ? ] a f 1 ( x ) d x ? b f 2 ( x ) d x ,
其中 , a, b为常. 数 该性质可推广函 至数 有的 限和 个的 . 形式 线性性质

例1

? 求(2x3?1)3dx.

? ? 解

( 2 x 3 ? 1 ) 3 d x ? ( 8 x 6 ? 1 x 4 ? 6 2 x 2 ? 1 d x )

? 8 ? x 6 d x ? 1 ? x 4 2 d x ? 6 ? x 2 d x ? ? d x

?8x7?1x 2 5?2x3?x?C. 75

例2 解

求?2x2x??31x?1dx.

2x2?3x?1?2x?5?6 (除)法

x?1

x?1

?2 x2 x ? ? 3 1 x? 1 dx? ?(2 x? 5 ? x6 ? 1 )dx

??2xdx?5?dx?6?x1 ?1dx
? x 2 ? 5 x ? 6 l|n x ? 1 |? C . 绝对值

例3 解

? 求 x32x?21dx. ? ? ? ? x 3 2 x ? 2 1 d x ? 3 x x 2 2 ? ? 3 1 ? 3 d x ? 3 d x ? 3 1 ? 1 x 2 d x
? 3 x ? 3 arx c ? C t . an

利用加一项、减一项的方法.

例4 解

求 ?1d?xex .

? ? ? ? 1 d ? x e x?1 ? 1 e ? x e ? x e xd x ?d x ?1 ? e x e xd x

?x?ln 1?(ex)?C .

?

利用加一项、减一项的方法.

例5

求 ?(x?ad)xx(?b) (a?b).



?(x? a d )x x (? b )? ?a1 ? b ? ? ?x? 1a? x? 1b ? ? ?dx

部分分式法

?a1 ?b? ? ??x? 1adx??x? 1bdx? ? ?
? 1 lnx?a?C. a?b x?b

例6

? 求coc2xsos2xsi2nxdx.



? ? cc 2 o xs 2 o x s2 ix sn d x?c c2 o 2 o x x ? s ss2 i2 ix x n n d x

??s1 i2nxdx??c1 o2xsdx

? ? c x ? o tx a ? t C . n
下面看另一种解法.

例6

? 求coc2xsos2xsi2nxdx.



? ? cc 2 o x s 2 o x s 2 ix s d n x? 44 cc 2 o x 2 o s x s 2 ix sd n x

?? ?

1 v

??? ?

?

?

v? v2

?2?(2scion2sx2)x2 dx

?? 2 ?C. sin2x

两个解法答案不有同何,想你法?

例7 解

求?1?dsxinx.

利用平方差公式
怎么做?

?1? d sxixn ??(1?s1? ixs )n 1 (? ixsnix)n dx

??1c?os2sinxxdx ??c1 o2xsdx??cso i2xx nsdx
? ta x ? s n x e ? C .c

想想它 是谁的 导数?

例8

? 求2xexdx.



? ? 2xexdx?(2e)xdx?(2 e)x ?C
ln2e()

(ax)??axlna

? 2xex ?C. 1?ln2

例9

? 求e?|x| dx.



? ? 当x?0时 ,

e ? |x | d x ? e ? x d x ? ? e ? x ? C 1 ,

? ? 当x?0时 ,

e ? |x |d x ?e xd x ? e x? C 2 ,

由于被积函数连其续原,函故数,连续

x l? 0 i ? (? m e ? x? C 1 )? x l? 0 i ? (e m x? C 2 ), 即C 有 1?C 2?2,从而

?e?|x|dx?? ? ??ee?xx? ?C 2? ,C,

x?0, x?0.

( C为积分常数.)

2. 不定积分的换元法
利用积分性质和简单的积分表可以求出 不少函数的原函数, 但实际上遇到的积分凭 这些方法是不能完全解决的.
现在介绍与复合函数求导法则相对应的 积分方法 —— 不定积分换元法. 它是在积分 运算过程中进行适当的变量代换, 将原来的 积分化为对新的变量的积分, 而后者的积分 是比较容易积出的.

(1) 不定积分的第一换元法 首先看复合函数的导 公数 式:
? 设可 y? 微 F (u ),u 函 ?(x )可 数构 I上 成

可微的复y合 ?F(?函 (x)数 )则 ,
? ?? ( F (( x ) ) ?? ) F ? (( x )? ( ) x ),
? ?? 它的微分形式为 d F (( ( x )? ) F ? ( ) ( x )? ( ) x ) d x

记 F ?(u )?f(u )则 , 看出点什么东西没有?

??? 原函数?

被积表达式?
d F ( ( x ) ( ? f ) ( ( x ) ) ? ( x ) ) d x ? f ( u ) d u ,

也是被积表达式?

定理

设F(u)是f(u)在区I上 间的一个, 原函
? f( u )? C (I)又 ,u ?(x )在 J 上 区 ,且 可 间微

?(J)?I,则在J区 上间 有
? f (?(x))??(x)dx?? f (u)du
?F(u)?C
?F(?(x))?C.

证明过程 请看书!

该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。

例10 求 ?si3n xco xdsx.
解 令 u ? sx , i则 n d u ? cx d o x ,故 s
?s3 ix n cx o d x s ? ?u 3d u
? 1u4 ?C 4
?1sin4 x?C 4

例11 求? sin3 xdx.

解 由 s3 x i? 于 s n 2 x i sn x i ? ( 1 n ? c2 x o ) sx s i , n
故 u ? c 令 x o ,则 s d u ? ? sx id x n ,从 得 而,

?s3 x id x n ? ?( 1 ? c2 x o ) sx s i d x n ? ?( 1 ? u 2 )? d ( u )

??(u2? 1 )du??u2du??du

? 1 u 3? u? C ? 1 c3 o x? s cx o ? C s.

3

3

? 例12 计算 si1n0xco3xsdx.
解 令 u ? sx i,则 nd u ? cx o d x ,s 于是
? ? s1 ix n 0c3 o xd sx?u 1(0 1 ? u2)du ?? (u10?u12)du
?1u11?1u13?C 11 13
?1si1n 1 x?1si1n 3 x?C. 11 13

例13

计算 ?

dx co4sx

.



令 u?tax, n d则 u?cdo x 2xs ,于是

? ? ? c d x 4 x o ?s c 1 2 x o ?c 1 s 2 x o d x ? ss2 e x ?c c 1 2 x o d x s

? ? ? (1?ta2nx)cdox2sx? (1?u2)du

? u? 1 u 3? C ? tax? n 1 ta 3xn ? C .

3

3

例14 求? secxdx. 一般 :?ff?((x 有 x))dx?ln |f(x)|?C



?sx e d x c ? ?(tx a ? s sn x e x e )s c cx ed x c

??(ttaaxxnn ? ?sseexxc)c?dx

? l|n ta x ? s n x e |? C c .

此题若按下面 则方 有式做,

?sexcdx??

? ? coxsdx
co2sx

?

1c?osxsidn2xx?

du 1?u2

???1lnu?1?C?1lnsinx?1?C 2 u?1 2 sinx?1

例15 ? 计算 ta5nxse3xcdx.

? ? 解

ta 5x s n 3 e x d x c ?ta 4x s n 2 e x ?tc a x sn x e d x c

? ?(s2? e1 )c se 2xc ?taxs ne xd c x

? 令u?sexc ? (u2?1)2u2du

? ? (u6?2u4?u2)du
?1u7?2u5?1u3?C 753
?1se 7xc ?2se 5xc ?1se 3xc ?C 753

例16

求?

dx . xlnx

解 令u?lnx, 则 du?1, 于是
x
?xd lxnx??duu?ln|u|?C

? ln |ln x|? C .

一般 : 公式
?f(lxn )dxx??f(u)du

(u?ln x).

例17

求?

x 1?x4

dx.

解 令 u ? x 2 ,则 d u ? 2 x d x ,故

?1?xx4dx?1 2?1? du u2

?1arc u? tC a?1 narcx2t?C a.n

2

2

一般 : 公式为
? ? f(xn)xn? 1dx?1 f(u)du (u?xn). n

例18

? 求 e2exx?1dx.

解 令 u ? e x ,则 d u ? e xd x ,故

? ? e2exx?1dx?

du u2?1

? aru c ? C t? ar n e c x? C t.an

一般:公式为
? ? f(ek)xexdx? f(uk)du (u?ex).

例19

计算?

xdx . 1?x4

解 令 u ? x 2 , d u 则 ? 2 x d x ,故

?

x1d ?xx4?1 2?

du 1?u2

?1ln|u? 1?u2|?C 2
?1lnx2(? 1?x4)?C. 2

例20 计?算 a a? ?x xdx (a?0).



?

a a? ?x xdx??

a?x dx
a2?x2

? ? ? adx ? xdx

a2?x2

a2?x2

? ? ? adx(/a) ?1 da(2?x2) 1?(x/a)2 2 a2?x2

?aarcxs ?ia n 2?x2?C. a

例21 计算 ? axr(c1?taxx)ndx.

解 令u? x,d 则 u?dx,故
2x

?axr(1 c?txxa)dnx??2a1?ruc2utdaun

令 v?arcu, tand 则 v?1? du u2,从而

?axr(c1?txax)dnx??2vdv

换元法可以连续使用

?v2 ?C

? (aru )c 2? C t? a(n arx c)2? tC a.n

作业
练习册 P48~P51: 1, 2, 3


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