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面对高考在高中数学课程中开展研究性学习的认识和实践

面对高考在高中数学课程中开展研究性学习的认识和实践


在高中数学课程中开展研究性学习的认识和实践
浙江省温州中学 徐芳芳

[摘要] 教学思想、方法的变革是推动以创新精神和实践能力为重点的素质教育的核心。本文依据现代 建构主义教学观、人本主义心理学和现代教育技术理论,从数学学科特点出发,论述了在高中数学课程中 开展研究性学习的基本思想,并通过初步的研究和实践,提出了研究性学习的几种不同的教学模式,以供 参考。 [关键词] 高中数学 研究性学习 创新精神 实践能力

为了全面推进素质教育,培养学生的创新精神和实践能力,按照国家规定的新课程计划,研究性学习 已作为一项全新的必修课程摆在我们面前,这是走向 21 世纪的数学教育所面临的机遇和挑战。研究性学 习课程在中小学的开设,其意义不仅仅是增设一门新的课程,而首先是教育观念、教与学方式的一场深刻 变革。 一、 研究性学习的基本思想和理论依据 研究性学习是指一种与接受式学习相对应的学习方式,强调学生主动探究、自主学习、解决问题,这 种学习方式可以在校内外的各种教育、教学活动中渗透运用。采取专题研究的方式进行的研究性学习,指 的是学生在教师的指导下,从自然、社会生活中选择确定研究专题,以独立或小组合作形式开展的主动获 取知识、应用知识、解决实际问题的学习活动。这种学习方式有利于培养学生的创新精神和实践能力,提 高学生的综合素质,为学生的终身发展打下基础。 [1] 建构主义认为,知识不是通过教师传授得到,而是学习者在一定的情境中,借助于其他人(包括教师 和学习伙伴) 的帮助, 利用必要的学习资料, 通过意义建构的方式而获得。 建构主义学习理论认为 “情境” 、 “协作”“会话”和“意义建构”是学习环境中的四大要素。学生是信息加工的主体,是意义的主动建构 、 者,而不是外部刺激的被动接受者和被灌输的对象。因此在学习过程中要充分发挥学生的主体作用: (1) 要用探索法、 发现法去建构知识的意义; (2) 在建构过程中要求学生主动去搜集并分析有关的信息和资料, 对所学习的问题要提出各种假设并努力加以验证; (3)把当前学习内容所反映事物尽量和已经知道的事物 相联系,并对这种联系加以认真的思考和研究。 人本主义心理学指出:学习的实质是形成与获得经验。 (1)学习即理解。学习不是机械的刺激和反应 之间的联结的总和。学习是个人对知觉的解释过程。因此,要了解外界情境或外界刺激显然是不够的,更 重要的是要了解学习者对外界情境或刺激的解释。 (2)学习即潜能的发挥。人类的学习是一种自发的、有 目的、有选择的学习过程。因此,教学过程中应该创设一种有利于学生发挥潜能的情境,使学生的潜能得 以充分的发挥。 (3)学习即“形成” 。最好的学习是学会如何进行学习,很多有意义的知识和经验不是从 现成的知识中学到的,而是在做和研究的过程中获得的。 [ 2 ] 二、 在高中数学课程中开展研究性学习的具体实施 研究性学习是一种创新性学习, 在教学实践中如何具体落实研究性学习的基本思想, 值得我们去思考、 尝试和探索。依据研究性学习的基本理论,我们在教学中一边实践探索,一边总结经验,从而加深了对研 究性学习以下几方面的认识: .. 1、研究性学习的目的是培养一种新的学习方式,鼓励学生通过动手、动脑,在做和实践的过程中形 成一种对知识的主动探求,并重视实际问题解决的积极的学习方式。 2、研究性学习建立了新型的师生关系,帮助教师更新教学观念和方法,不断完善自身的知识结构。
1

教师是教学活动的组织者,专题研究的指导者,学生的主动学习过程是师生之间的“协作”“会话”和互 、 相交流的过程,通过共同的探讨使学生的思维能力得到发展。 3、研究性学习还需要良好的教学情境的创设,以利于学生潜能的发挥。这种学习环境可以是学科教 学领域的“问题”情境,有时需要媒体辅助,也可以是在开放的实践的情境中,让学生通过多种渠道主动 地获取知识。 我们在教学实践中主要做了这样一些有益的尝试: 1、 在数学学科教学领域开展了“问题探究课”“数学实验课”模式的研究性学习。 、 在数学学科教学领域开展了“问题探究课” 数学实验课”模式的研究性学习。 、 研究性学习首先要立足于课堂,让每一个学生在数学课学习的过程中,体验研究和探索的乐趣。问题 探究课模式的研究性学习,是以问题为中心,随着问题的提出、问题的探索,营造一种师生之间互动,学 生主动参与讨论的民主的研究氛围,这种对数学问题的主动探究最有利于培养学生的思维能力。而数学实 验课模式的研究性学习,则是在媒体的辅助下,通过学生亲自动手进行实验探究,在获得感性体验的基础 上,进一步思考探索主动获取知识。这种在数学学科教学领域开展的研究性学习,培养了学生进行数学研 究的基本素养。 2、 在综合实践活动中开展了“调查研究课”模式的研究性学习 、 在综合实践活动中开展了“调查研究课” 研究性学习还引导学生走出课堂,在实践中获取直接经验,运用所学的数学知识解决实际问题。在专 题研究过程中如何给现实问题建立数学模型,这本身就包含了创造的因素。以调查研究课模式开展的研究 性学习,促使学生在开放的情境中,综合运用多方面的知识解决实际问题,对培养学生的创新精神和实践 能力具有重要意义。 以下结合实例来说明开展研究性学习的实践过程: ...................... (一)问题探究课模式 这是在学科教学中实施的研究性学习模式。 从数学学科的特点来看,数学教育可以为发展学生的创新能力提供优良的环境。数学最有利于训练学 生的思维能力,这是创造性思维发展的基础。数学的发展总是伴随着问题的产生和问题的解决,层出不穷 的问题为师生的探索、创造提供了丰富的资源。 问题探究课模式材料 案例 1 课堂教学过程部分内容实录 时间:2001 年 12 月 18 日 地点:高三(4)班教室 由两相交圆的根轴引起的思考和探究 1、 问题引入: 我们在学习了圆系方程后, 知道了这样的结果: 已知圆 C1 : f 1 ( x, y ) = x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 = 0 和圆 C 2 : f 2 ( x, y ) = x 2 + y 2 + D2 x + E 2 y + F2 = 0 , 当两圆相交时,经过两圆公共点的圆的方程可表示为:

f 1 ( x, y ) + λf 2 ( x, y ) = 0 ,( λ ∈ R ) ,这里不包括圆 C 2 ,

图1

其中当 λ = ?1 时表示两圆的公共弦方程,即 ( D1 ? D2 ) x + ( E1 ? E 2 ) y + F1 ? F2 = 0 ,称为两相交圆的根 轴。 2、问题提出:当两圆相切时,上述直线(我们不妨也将它称为根轴)表示的点的轨迹与两圆有何关 系? 学生思考讨论后,纷纷提出自己的想法,猜想此时根轴表示两圆的公切线,寻找依据,验证如下:通 过计算两圆心连线 C1C 2 的斜率 k C1C2 ,发现恰为根轴的斜率的负倒数,又由于根轴经过两圆的公共点,因 此容易得到此时根轴确实为两圆的公切线。教师提示:还需验证斜率不存在时的情形。 3、问题的继续探讨:当两圆相离时,上述直线(我们不妨也将它称为根轴)表示的点的轨迹与两圆 有何关系?
2

y 学生讨论后,确定 研究途径:采用由特殊到一般的思想方法, 先从一些特例入手,再考虑一般情形 研究过程: (1) 两圆 C1 : x + y = 1 , C 2 : ( x ? 3) + y = 1
2 2 2 2

o

1

2

3

x

得根轴表示直线: x =

3 2

图2 y

学生猜想 1、根轴是两圆圆心连线段的中垂线 其他同学认为此例太特殊,不大可能推广到一般情形,再举例 (2)设两圆 C1 : x 2 + y 2 = 1 , C 2 : ( x ? 3) 2 + ( y ? 4) 2 = 4 得到根轴表示直线:3x+4y-11=0,两圆心连线段的中点为 ( o B A 图3 x

3 ,2) ,显然不在此直线上,故而猜想 1 不成立 2

学生猜想 2、根轴是两圆连心线段与两圆的交点 A、B 表示的线段的中垂线 求出线段 AB 中点,发现不在根轴上,因此猜想 2 也不成立 学生猜想 、 学生猜想 3、根轴与两圆连心线段的交点 P 的位置与两圆的半径有关,若两圆半径分别为 r,R,则点 P 会 在分线段 AB 所成的比为 r:R(或 R:r)之处 余超同学经过计算,提出自己的观点: 若两圆相离,以圆 C1 的圆心为原点, C1 C 2 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系,如图 设圆 C1 : x 2 + y 2 = r 2 圆 C 2 : ( x ? a) 2 + y 2 = R 2 则根轴表示的直线为 2ax ? a ? r + R = 0
2 2 2

y

T P A B

S

a2 + r 2 ? R2 即x = 2a

M

o

N x

图4 因此,根轴与两圆连心线段的交点 P 分线段 AB 所成的比为

x?r a 2 + r 2 ? R 2 ? 2ar (a ? r ) 2 ? R 2 a ? r + R = = = a ? R ? x 2a ( a ? R ) ? ( a 2 + r 2 ? R 2 ) ( a ? R ) 2 ? r 2 a ? R + r
它的几何意义是:

PA PB

=

AN BM

,其中 M,N 分别表示两圆与 x 轴的另外两个交点(如图 4)

由此说明猜想 3 不成立,但是学生对这个结果仍不满足,试图进一步找出根轴上的点的轨迹的特性,进一 步探究遇到困难 教师引导:联想圆的一些性质 叶娇娇同学想到:圆的切割线定理 李哲超同学发言:将余超同学得到的结果进一步整理,用等比定理可以得到:
3

PA PB

=

AN BM

=

PN PM

,因此 PA ? PM = PB ? PN ,
2

过 P 分别引圆 C1 与圆 C 2 的切线 PT、PS,则 PT 所以 PT
2

= PA ? PM , PS = PB ? PN ,
2

= PS ,即 PT = PS
2

至此,学生已经通过探究,发现了点 P 到两圆的切线长相等。 .. 教师进一步启发:根轴上除点 P 外的其它点是否有同样的性质?引导学生探索问题的本质,师生将研究结 果进行小结: 一般地,若圆 C1 : f 1 ( x, y ) = ( x ? a ) + ( y ? b) ? r = 0
2 2 2

与圆 C 2 : f 2 ( x, y ) = ( x ? c) 2 + ( y ? d ) 2 ? R 2 = 0 相离, 根轴表示直线为: f 1 x, y ) ? f 2 ( x, y ) = 0 ,即 f 1 ( x, y ) = f 2 ( x, y ) ( 设 P ( x0 , y 0 ) 为根轴上任一点,则 f1 ( x0 , y 0 ) = f 2 ( x0 , y 0 ) ,其中

f1 ( x0 , y 0 ) = ( x0 ? a ) 2 + ( y 0 ? b) 2 ? r 2 就是过 P 点引的圆 C1 的切线长的平方, PT , 即 同样 f 2 ( x 0 , y 0 )
2

表示过 P 点引的圆 C 2 的切线长的平方,即 PS ,故总有 PT = PS 。
2

由此可见,当两圆相离时,根轴是满足到两圆的切线长相等的点的轨迹。 课后教学反馈: 1、学生反映:他们喜欢这种讨论式、探究式的教学活动,在他们对数学问题的主动探究过程中,相 互交流加深认识,从而使解决问题的能力得到提高和发展。 2、教师的体会是:问题探究课模式的研究性学习,通过对问题的深入思考探索,让学生在讨论中暴 露思维过程,学会选择、怀疑和批判,了解探索的艰辛,体验研究的氛围,主动地获取知识。同时促使教 师更新教学观念,更加关注教学中学生的思维活动,不断完善自身的知识结构。 (二)数学实验课模式 这是在数学课中借助于媒体辅助实施的研究性学习模式。 数学产生于“直观”和实验,实验探究是数学发现的重要方法,是创造性思维的源泉。学生需要通过 动手参与,或是运用观察和猜测,实验计算的手段,获得对知识的感性认识,进而归纳或类比,揭示事物 的规律与本质。 1、朴素、直观的数学实验 数学实验可以利用一张纸,一根绳子等简单的器材。例如,在研究空间的角和距离问题时,可以让学 生通过折纸实验,发现平面图形翻折后的变化。又如,在研究推测球的体积时可做细沙实验,在一个半径 为 R 的半球形容器内装满细沙, 取两个底面半径和高均为 R 的圆柱和圆锥容器, 倒入细沙后进行实验比较, 可以推测半球的体积是圆柱和圆锥的体积之差。 2、运用现代教育技术,多媒体教学环境下的数学实验 多媒体教学环境下的数学实验,为学生的研究性学习创设了良好的情境,提供了许多发现知识、探究 知识的机会。由于运用了现代化的媒体,学生能在电脑上实际操作,图象界面清晰、直观,使学生可以观 察直线(或曲线)运动变化的过程,通过实验探索出一般规律。以数学实验课模式进行的研究性学习,正 是借助媒体通过学生动手实验的方式,主动探究、自主学习、解决问题。 数学实验课模式材料 案例 2
4

关于圆锥曲线中一个有趣命题的探索 抛物线有一个有趣的命题:过原点 O 作抛物线 y 2 = 2 px (p>0)的两条互相垂直的弦 OP、OQ,则 直线 PQ 恒过定点 M(2p,0) 。 该命题还可进一步推广为:设 L( x0 , y 0 ) 是抛物线 y 2 = 2 px (p>0)上的一个定点,过 L 作抛物线的 两条互相垂直的弦 OP、OQ,则直线 PQ 恒过定点

N ( x 0 + 2 p, ? y 0 ) 。
提出问题:其他圆锥曲线是否具有类似的性质? 以椭圆为例,设计实验探索如下: 1、 先让学生通过画图尝试, 在椭圆上取一个定点 M, (如图 5) ,以 M 为直角顶点作出多个椭圆的内接直角 三角形,发现这些直角三角形的斜边近似地交于一点, 猜想这些直角三角形的斜边会经过某一定点。 2、 让学生借助于媒体进一步探索实验, 利用几何画 板,作出椭圆,固定椭圆上一点,经过该点作两条互相 垂直的弦,用鼠标拖动弦的一个端点,使它在椭圆上运 动,这样就看到一系列直角三角形运动变化的过程,仔 细观察寻找规律。

y M

o

x

图5
动动
5

x2 例如,在椭圆 + y 2 = 1 上取定点 A(0,1) A 作椭圆 ,过 4
的两条互相垂直的弦 AB、AC,经过学生实验,发现直线 BC 总是过一定点,在此基础上,引导学生进行理论证明,用代 数方法可以证明直线 BC 恒过定点(0, ?

3 ) 。将此问题推 5

5

5-

广到一般情形,或将条件稍做改变探索更一般的情况,将会 有更多有趣的结果。由此可见,现代化媒体的有效辅助,使 抽象的数学问题变得直观形象, 让学生在做和实验的探索过 程中获得直接的体验,从而有所发现和创新。

5-

图6 (三)调查研究课模式 这是在综合实践活动中实施的研究性学习模式。 数学是与人们生活密切相关的一门科学,数学知识在实际生活中有着广泛的应用。采用课题研究方式 进行的数学学习能使学生更深入地了解自然、走向社会,通过学生亲身参与的实践活动获取直接的经验, 养成科学的精神和态度,提高综合运用所学的数学知识解决实际问题的能力。 调查研究课模式材料 案例 3 时间:2001 年 7 月——2002 年 3 月 高一(1)班课题研究第五小组 投资银行和投资人寿保险的分析比较 教师的指导过程: 教师的指导过程: 1、引导学生关心实际生活中的数学问题,选择确定自己感兴趣的研究课题 2、在课题研究方法上的指导: 让学生深入实际调查研究,收集资料,进行数据处理,绘制图表,建立数学模型,研究两组数的变化 趋势,进行比较分析,提出一些判断与分析,以供人们选择、参考。 (1)选择具体的切入点,搜集数据真实。
5

银行投资可用等比数列公式计算复利,保险投资考虑到险种的多样性与复杂性,可以假定投保人的年 龄,选择一些具有代表性的险种加以研究比较。 (2)课题组成员有分工、有协作,确定负责人,研究小组定期聚会讨论课题进程,做研究日记记录。 (3)搜集、整理资料,处理数据,绘制图表,建立数列等模型,计算比较两组数,结果分析。 (4)拟写课题研究小结,交指导老师审阅,修改成文。将课题结题报告制作成网页,各研究小组之间 交流。 3、成果评价 研究性学习重视过程的探索,通过课题研究,同学们获得亲身参与实践活动的体验,培养了收集、分 析和利用信息的能力,学会了合作和分享,得到的研究结果引起了银行及保险界人士的关注,值得投资者 的参考。 学生的研究情况: (见附录) 学生的研究情况: 总之,以问题探究课、数学实验课和调查研究课这些不同模式开展的研究性学习,最终的目的是帮助 学生形成一种对知识主动探究、重视实际问题解决的积极的学习方式,促使教师转变教学观念,更加关注 学生思维能力和实践能力的培养,使他们能对所学知识加以选择、判断、解释、运用,从而有所发展,有 所创造。这种教育思想、方法给我们带来的启迪和思考是深远的,有待于在今后的教学实践中总结更多的 经验,以便更好地推广实施。

参考文献 [1]李建平. 为学生终身发展打基础——普通高中课程改革纪实. 普通高中新课程方案学习资料汇编,浙 江省教育厅教研室. 2000,11:15 [2]杨帆. 运用多媒体技术,开展研究性学习的认识和实践. 现代教育论坛(杭州第二中学) ,2000,6: 71

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附录: 附录 调查研究课模式材料

投资银行和投资人寿保险的分析比较

学生的研究情况摘录: 学生的研究情况摘录: 暑假期间, 我们开始了一项课题研究, 我们研究的课题是: “投资银行和投资人寿保险的分析比较”。 关于课题所涉及的两个问题,我们所知甚少,于是我们拟定了一个研究计划,投入到紧张的准备工作中: 我们先到新华书店查看并阅读相关资料,然后分别到保险公司访问保险业务员,到银行调查存款利率,采集 资料。研究小组成员还商定每周一次进行小组讨论,其余时间个人进行资料整理、分析,绘制图表,处理 数据。期间,我们多次与指导老师交流,汇报课题研究进展,明确研究方向。研究小组成员还在市区五马 街、府前街、胜利路一带对过路行人或商店营业员进行社会问卷调查。 问卷调查结果比例显示图

下面举例比较说明,首先我们决定将假想中的投保人王某定为 30 岁,以下是我们调查得到的《国寿 福馨两全保险投资价格一览表》 : 三十岁时投资 投资金额:一万元 趸交 投资方式 十年交 约满期限 五十周岁 744 6831 五十五周岁 六十周岁 六十五周岁 662 593 534 6082 5441 4905

按上表提供的金额进行人寿保险与银行双向投资。 投资人寿保险: 据保险责任可知,被保险人在生存至满约期时或在约期内身故,保险公司都会提供保险金额一万元。 以五十周岁约期为例,我们不难得出以下结果:王某十年交投资 7440 元,趸交投入 6831 元,在五十 周岁时或途中死亡可得一万元。 至此,投资人寿保险结束。 接着计算银行投资: 我们知道“十年交” ,即指每年交一定金额,分十年交清,为了便于双向对比,投资银行也应采用每 年投资一定金额的方式。又因为利滚利是最赚钱的投资银行方式,所以我们以活期一年储蓄作为准则,每 年取本息,再投资,获得最大的利益。我们得到如下算式(以五十周岁约期为例) : 第一年:744×(1+0.018)
2 第二年:744× (1 + 0.018) +744×(1+0.018)

7

第三年:744× (1 + 0.018) +744× (1 + 0.018) +744×(1+0.018)
3 2

…… 第十年:744× (1 + 0.018) +744× (1 + 0.018) +…+744×(1+0.018)
10 9

明显,这是一个等比数列求和,可用等比数列求和公式套用得: 第十年:744×

1 ? 1.01810 =8072.5 1 ? 1.018

因为十年一过,不必再一年一年地增加投资,所以以后的几年内可用复利方式进行计算。 则五十周岁约期时,王某投资银行 7440 元,获得 8072.5× 1.018 =9649.1 元。 趸交相对简单,复利计算即可:则得王某投资 6831 元,获得 9759.8 元。 为了更清楚地比较银行投资和人寿保险投资所得利益的差异,我们以该险种(五十周岁约期十年交) 为例,作图比较如下:
10

投资银行与投资保险总资产比较图
12000 10000 8000 6000 4000 2000 0

第一年

第三年

第五年

第七年

第九年

第十一年

第十三年

第十五年

第十七年

由此我们得出该险种的投资前景比银行投资要来得开阔。 在整个研究过程中,我们共调查了 13 个险种。发现仅国寿金色夕阳养老金保险(B) 、国寿松鹤养老金保 险、康宁终身保险、国寿福馨两全保险投资保险获利大以外,其余险种均小于投资银行所得的利润(以现 今中国人均寿命 70 周岁作为主要依据,随年龄变化总体趋势来看) the modern time, mainly in small and 。In medium-sized enterprises, Foshan steel industry is the speed development by leaps and bounds, and have made remarkable achievements in upstream, but also face factors of production such as energy, raw material cost, continuously high indirectly lead to cost pressures in iron and steel

8

第十九年

银行总 资产 保险总 资产


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