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2018年秋高中数学第一章导数及其应用1-1变化率与导数1-1-1变化率问题1-1-2导数的概念学案新人教A版选修2-2

2018年秋高中数学第一章导数及其应用1-1变化率与导数1-1-1变化率问题1-1-2导数的概念学案新人教A版选修2-2

2019 年精心整理试题、试卷、学案、教案 2018 年秋高中数学第一章导数及其应用 1-1 变化率与导数 1-1-1 变化率问题 1-1-2 导数的概念学案新人教 A 版选修 2-2 1.1.1 1.1.2 变化率问题 导数的概念 学习目标:1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到 瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点 附近的平均变化率. (重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导 数.(重点、难点)4.理解函数的平均变化率,瞬时变化率及导数的概 念.(易混点) [自 主 预 习·探 新 知] 1.函数的平均变化率 (1)函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为=,其中 Δ x=x2 -x1 是相对于 x1 的一个“增量”, Δ y=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δ x) -f(x1)是相对于 f(x1)的一个“增量”. (2)平均变化率的几何意义 设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线 y=f(x)上任意不同的两 点,函数 y=f(x)的平均变化率==为割线 AB 的斜率,如图 1?1?1 所示. 图 1?1?1 思考:Δ x,Δ y 的值一定是正值吗?平均变化率是否一定为正 值? [提示] Δ x, Δ y 可正可负, Δ y 也可以为零, 但 Δ x 不能为零. 平 均变化率可正、可负、可为零. You and your fa mily are invited to join the YM CA for a Hallowee n hike up Badger Mountain! Make sure to wear your Hallowee n 1/9 2019 年精心整理试题、试卷、学案、教案 2.瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. (2)函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是函数 f(x)从 x0 到 x0+ Δ x 的平均变化率在 Δ x→0 时的极限即 = . 3.导数的概念 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数就是函数 y=f(x)在 x=x0 处的 瞬时变化率,记作 f′(x0)或 y′| x=x0,即 f′(x0)= . [基础自测] 1.思考辨析 (1) 函数 y = f(x) 在 x = x0 处的导数值与 Δ x 值的正、负无 关.( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的物 理量.( ) ) (3)在导数的定义中,Δ x,Δ y 都不可能为零.( 提示: (1)由导数的定义知, 函数在 x=x0 处的导数只与 x0 有关, 故正确. (2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量,故错误. (3)在导数的定义中,Δ y 可以为零,故错误. [答案] (1)√ (2)× (3)× 2.函数 y=f(x),自变量 x 由 x0 改变到 x0+Δ x 时,函数的改 变量 Δ y 为( ) 【导学号:31062000】 A.f(x0+Δ x) C.f(x0)·Δ x D B.f(x0)+Δ x D.f(x0+Δ x)-f(x0) [Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0),故选 D.] You and your fa mily are invited to join the YM CA for a Hallowee n hike up Badger Mountain! Make sure to wear your Hallowee n 2/9 2019 年精心整理试题、试卷、学案、教案 3.若一质点按规律 s=8+t2 运动,则在一小段时间[2,2.1]内 的平均速度是 ( A.4 C.0.41 B [====4.1,故选 B.] B.4.1 D.-1.1 ) 4.函数 f(x)=x2 在 x=1 处的瞬时变化率是________. [解析] ∵f(x)=x2.∴在 x=1 处的瞬时变化率是 lim Δ x→0 = = +Δ Δx -12 = (2+Δ x)=2. [答案] 2 5.函数 f(x)=2 在 x=6 处的导数等于________. [解析] f′(6)= = =0. [答案] 0 [合 作 探 究·攻 重 难] 求函数的平均变化率 已知函数 f(x)=3x2+5,求 f(x): (1)从 0.1 到 0.2 的平均变化率; (2)在区间[x0,x0+Δ x]上的平均变化率. 【导学号:31062001】 [解] (1)因为 f(x)=3x2+5, 所以从 0.1 到 0.2 的平均变化率为 3×0.22+5-3×0.12-5 =0.9. 0.2-0.1 (2)f(x0+Δ x)-f(x0)=3(x0+Δ x)2+5-(3x+5) =3x+6x0Δ x+3(Δ x)2+5-3x-5=6x0Δ x+3(Δ x)2. You and your fa mily are invited to join the YM CA for a Hallowee n hike up Badger Mountain! Make sure to wear your Hallowee n 3/9 2019 年精心整理试题、试卷、学案、教案 函数 f(x)在区间[x0,x0+Δ x]上的平均变化率为=6x0+3Δ x. [规律方法] 1.求函数平均变化率的三个步骤 第一步,求自变量的增量 Δ x=x2-x1; 第二步,求函数值的增量 Δ y= 第三步,求平均变化率= 2.求平均变化率的一个关注点 用的形式. [跟踪训练] 1.如图 1?1?2,函数 y=f(x)在 A,B 两点间的平均变化率等于 ( ) 图 1?1?2 A.1 C.2 B B.-1 D.-2 求点 x0 附近的平均变化率,可 - ; [平均变化率为=-1.故选 B.] 2.已知函数 y=f(x)=2x2 的图象上点 P(1,2)及邻近点 Q(

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