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2018年最新 湖南省2018年高中数学竞赛试卷及解答02018 精品

2018年最新 湖南省2018年高中数学竞赛试卷及解答02018 精品

湖南省 2018 年高中数学奥林匹克竞赛试题 (9 月 7 日上午 9:00-11:00) 注意事项:本试卷共 18 题,满分 150 分 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分) 1.定义在实数集 R 上的函数 y=f(-x)的反函数是 y=f (-x),则 (A)y=f(x)是奇函数 (C)y=f(x)既是奇函数,也是偶函数 2 -1 (B)y=f(x)是偶函数 (D)y=f(x)既不是奇函数,也不是偶函数 2.二次函数 y=ax +bx+c 的图象如右图所示。记 N=|a+b+c|+|2a-b|,M=|a-b+c|+|2a+b|, 则 (A)M>N (B)M=N (C)M<N (D)M、N 的大小关系不能确定 3.在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异 面的正方体的棱的条数是 (A) 4 或 5 或 6 或 7 (C) 6 或 7 或 8 (B) 4 或 6 或 7 或 8 (D) 4 或 5 或 6 -1 0 1 x y 4.Δ ABC 中,若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC,则 (A)Δ ABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)Δ ABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)Δ ABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)Δ ABC 既是等腰三角形也是直角三角形 5.Δ ABC 中,∠C=90°。若 sinA、sinB 是一元二次方程 x +px+q=0 的两个根,则下列关系中正确的 是 (A)p= ? 1? 2q 且 q> ? 1 (B)p= 1? 2q 且 q> ? 1 2 2 2 (C)p=- 1? 2q 且 q> ? 1 2 (D)p=- 1? 2q 且 0<q≤ 1 2 6.已知 A(-7,0) 、B(7,0) 、C(2,-12)三点,若椭圆的一个焦点为 C,且过 A、B 两点,此椭圆的 另一个焦点的轨迹为 (A)双曲线 (C)椭圆的一部分 (B)椭圆 (D)双曲线的一部分 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分) 7. 满足条件{1,2,3}? X ?{1,2,3,4,5,6}的集合 X 的个数为____。 8. 函数 f (x) ? a 2 ? x 2 为奇函数的充要条件是____。 | x ? a | ?a 9. 在如图所示的六块土地上,种上甲或乙两种蔬菜(可只种其中一种,也可两种都种) ,要求相邻两块 土地上不都种甲种蔬菜,则种蔬菜的方案数共有____种。 10. 定义在 R 上的函数 y=f(x),它具有下述性质: (i)对任何 x∈R,都有 f(x )=f (x), (ii)对任何 x1、x2∈R,x1≠x2,都有 f(x1)≠f(x2), 则 f(0)+f(1)+f(-1)的值为____。 11. 已知复数 z 满足 z ? z ? z ? z ? 3 ,且 arg(z ?1) ? ? ,则 z=____。 3 3 3 12. 已知动点 P(x,y)满足二次方程 10x-2xy-2y+1=0,则此二次曲线的离心率为____。 三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 78 分) 13.(本题满分 12 分) 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 AB 与 BC 的中点。 (Ⅰ)求二面角 B-FB1-E 的大小; (Ⅱ)求点 D 到平面 B1EF 的距离; (Ⅲ)在棱 DD1 上能否找到一点 M,使 BM⊥平面 EFB1? 若能,试确定点 M 的位置;若不能,请说明理由。 A1 D1 B1 C1 D F A E B C 14.(本题满分 13 分) 关于 x 的一元二次方程 2x ―tx―2=0 的两个根为α 、β (α <β )。 (Ⅰ)若 x1、x2 为区间[α ,β ]上的两个不同的点,求证:4x1x2-t(x1+x2)-4<0; 2 ? t ,f(x)在区间[α ,β ]上的最大值和最小值分别为 fmax 和 fmin,g(t)=fmax-fmin, (Ⅱ)设 f (x) ? 4x 2 x ?1 求 g(t)的最小值。 15.(本题满分 13 分) 已知 a1=1,a2=3,an+2=(n+3)an+1-(n+2)an,若当 m≥n 时,am 的值都能被 9 整除,求 n 的最小 值。 16.(本题满分 13 分) 一台计算机装置的示意图如图,其中 J1、J2 表示数据入口,C 是计算 结果的出口。计算过程是由 J1、J2 分别输入自然数 m 和 n,经过计算后得 计算机装置 自然数 K 由 C 输出。若此装置满足以下三个性质:①J1、J2 分别输入 1,则 输出结果 1; ②若 J1 输入任何固定自然数不变,J2 输入自然数增大 1,则输出结果 比原来增大 2; ③若 J2 输入 1,J1 输入自然数增大 1,则输出结果为原来的 2 倍,试问: (Ⅰ)若 J1 输入 1,J2 输入自然数 n,则输出结果为多少? C K m J1 n J2 (Ⅱ)若 J2 输入 1,J1 输入自然数 m,则输出结果为多少? (Ⅲ)若 J1 输入自然数 2018,J2 输入自然数 9,则输出结果为多少? 17.(本题满分 13 分) 以 A 为圆心,以 2cosθ ( ? <θ < ? )为半径的圆外有一点 B,已知|AB|=2sinθ 。设过点 B 且与 4 2 圆 A 外切于点 T 的圆的圆心为 M。 (Ⅰ)当θ 取某个值时,说明点 M 的轨迹 P 是什么曲线; (Ⅱ)点 M 是轨迹 P 上的动点,点 N 是圆 A 上的动点,把|MN|的最小值记为 f(θ )(不要求证明) , 求 f(θ )的取值范围; (Ⅲ)若将题设条件中的θ 的范围改为(0<θ < ? =,点 B 的位置改为圆内,其它条件不变,点 M 4 的轨迹记为 P。试提出一个和具有相同结构的有意义的问题(不要

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