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【同步测控】高二数学北师大版选修2-1课件3.2.2 抛物线的简单性质_图文

【同步测控】高二数学北师大版选修2-1课件3.2.2 抛物线的简单性质_图文

2.2 抛物线的简单性质 课程目标 1.了解抛物线的轴、顶点、离心率、通径的 概念. 2.掌握抛物线上的点的坐标的取值范围,抛 物线的对称性、顶点、离心率等简单性质. 3.会用顶点及通径的端点画抛物线的草图. 学习脉络 抛物线的简单性质 标准方 程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 标准方程 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 开口 通径 y2=2px(p>0) p ,0 2 x=p 2 y2=-2px(p>0) p - ,0 2 x= p 2 x2=2py(p>0) 0, y=p 2 x2=-2py(p>0) 0,y= p 2 p 2 p 2 几 何 性 质 x≥0,y∈R x轴 (0,0) e=1 向右 x≤0,y∈R y≥0,x∈R y轴 y≤0,x∈R 向左 向上 向下 经过焦点且垂直于对称轴的弦,通径长为 2p 思考 1 一条直线与一个圆相切的充要条件是这条直线与这个圆 有且只有一个公共点,但不能说一条直线与一条抛物线相切的充要条件是 这条直线与这条抛物线有且只有一个公共点,为什么? 提示:当一条直线与一条抛物线只有一个公共点时,这条直线未必与该 抛物线相切,例如平行于抛物线的对称轴的直线与该抛物线只有一个公共 点,但这条直线并不与这条抛物线相切.当直线不与抛物线的对称轴平行时, 可以根据公共点的个数来判断直线与抛物线相离、 相切或相交的位置关系 . 思考 2 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是一条抛物线,如 何确定这条抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程? 提示:对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),由于其方程不是抛物线的标准 方程的形式(也不能转化为标准方程形式),因此要求其顶点坐标、焦点坐 标、准线方程就不能简单地利用课本中的相关结论.但我们可以考虑通过 图像的平移,从而借助于标准方程达到目的. 由 y=ax +bx+c(a≠0),得 2 2 b 2 x+ 2a 2 = 1 a 4ac-b y4a 2 .由此可见,要得到抛物 2 线 y=ax +bx+c(a≠0),可以将 x 1 = y 按向量 a b 4ac-b - , 2a 4a 平移而得到,所以抛 物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标、焦点坐标、准线方程分别为 b 4ac-b - , 2a 4a 2 , b 4ac-b +1 - , 2a 4a 2 4ac-b -1 ,y= . 4a 2 探究一 探究二 探究三 探究四 求抛物线方程 1.用待定系数法求抛物线的标准方程,其主要解答步骤归结为 探究一 探究二 探究三 探究四 2.抛物线标准方程的设法: (1)顶点在原点,对称轴为 x 轴时的抛物线方程可设为 y2=ax(a≠0).当 a>0 时,抛物线开口向右,当 a<0 时,抛物线开口向左; (2)顶点在原点,对称轴为 y 轴时的抛物线方程可设为 x2=ay(a≠0),当 a>0 时,抛物线开口向上,当 a<0 时,抛物线开口向下. 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 1】 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为 x 轴,且与圆 x2+y2=4 相交的公共弦长等于 2 3,求这条抛物线的方程. 思路分析:因为圆和抛物线都关于 x 轴对称,所以它们的交点也关于 x 轴对称,即公共弦被 x 轴垂直平分,于是由弦长等于 2 3,可知交点纵坐标为 ± 3. 探究一 探究二 探究三 探究四 解:设所求抛物线方程为 y2=2px 或 y2=-2px,p>0. 设交点 A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0), 则|y1|+|y2|=2 3,即 y1-y2=2 3, 由对称性,知 y2=-y1,代入上式,得 y1= 3. 把 y1= 3代入 x2+y2=4,得 x=± 1. ∴ 点 A(1, 3)在抛物线 y2=2px 上,点 A'(-1, 3)在抛物线 y2=-2px 上. ∴ 3=2p 或 3=-2p× (-1).∴ p= . ∴ 所求抛物线方程为 y2=3x 或 y2=-3x. 3 2 探究一 探究二 探究三 探究四 反思因为抛物线是轴对称图形,所以与对称轴垂直的弦一定被对 称轴平分. 探究一 探究二 探究三 探究四 抛物线的焦半径和焦点弦 1.焦半径:抛物线 y2=2px(p>0)上任一点 M(x0,y0)到焦点 F |MF|叫作焦半径,且|MF|=x0+ (只与横坐标 x0 有关). 2.焦点弦:若直线过 y2=2px(p>0)的焦点与抛物线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),F 为抛物线的焦点,则|AF|=x1+ ,|BF|=x2+ ,所以 |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,这是过焦点的弦的弦长公式. p 2 p 2 p 2 p ,0 2 的距离 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 2】 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作倾角为 45° 的直线 交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的长为 8,则 p= p ,0 2 p 2 . 解析:(方法 1)运用焦半径公式(实质上是抛物线的定义). 由 y2=2px 知 F ,直线 AB 的方程为 y=x- . y 2 = 2px, p2 2 由 p 得 x -3px+ =0, 4 y = x- , 2 ∴ xA+xB=3p. 由焦半径公式知, |AB|=|AF|+|BF|= xA + =xA+xB+p=4p=8. ∴ p=2. p 2 + xB + p 2 探究一 探究二 探究三 探究四 (方法 2)运用弦长公式. 同方法 1,得方程 x k=1,由弦长公式知, |AB|= 1 + k 2 · (xA + xB )2 -4xA xB

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