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等差数列的三种证法学习教育课件PPT

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介绍等差数列的三种证法 用户 hxlzabcdefg@163.com 河南 马守林 可考虑 2bn ? bn ?1 ? bn ?1 、数学归纳法、求通项 bn 等 例:已知数列 ?bn ? 满足, ? n ? 1? bn?1 ? nbn ? 2 ? 0 (n ? 1) (1) 求: b1 的值 (2)求证: ?bn ? 为等差数列 解:(1) b1 ? 2 (2)分析:可考虑 2bn ? bn ?1 ? bn ?1 、数学归纳法、求通项 bn 法一: (考虑数学归纳法) 由 ? n ? 1? bn?1 ? nbn ? 2 ? 0 (n ? 1) n ? 1, b1 ? 2 ; n ? 2, b3 ? 2b2 ? 2 ? 0 ? b3 ? 2 ? 2 ? b2 ? 2 ? 3 3 n ? 3, 2b4 ? 3b3 ? 2 ? 0 ? b4 ? b3 ? 1 ? ? 2 ? 2 ? b2 ? 2 ? ? ?1 ? ? 2 2 b4 ? 3 ? 3 ? b2 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? 3 ? b2 ? 2 ? 又 b2 ? 2 ? ? b2 ? 2 ? 猜想 bn ? 2 ? ? n ? 1?? b2 ? 2 ? n ? 1, n=2, 成 立 ; 假 设 n=k( k ? 2 ) 成 立 , 既 bk ? 2 ? ? k ? 1?? b2 ? 2 ? n=k+1 时;由 ? n ? 1? bn?1 ? nbn ? 2 ? 0 (n ? 1) ,得 k 2 k 2 bk ?1 ? bk ? ? 2 ? ? k ? 1?? b2 ? 2 ? ? ? ? 2 ? k ? b2 ? 2 ? ? ? ? k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 所以 bn ? 2 ? ? n ? 1?? b2 ? 2 ? (n ? 1) 成立,所以 ?bn ? 为等差数 列 法二: (考虑求通项 bn ) ? n ? 1? bn?1 ? nbn ? 2 ? 0 (n ? 1) , bn ?1 bn 2 1? ? 1 ? ?? ? ?2 ? ? ? 得 n ? 2 时, n n ?1 ? n ? 1? n ? n ?1 n ? bn b 2 1 ? ? 1 ? n ?1 ? ? ? ?2 ? ? ? n ?1 n ? 2 ? n ? 2 ?? n ? 1? ? n ? 2 n ?1 ? …………… b3 b2 2 ? 1? ? ?? ? ?2 ?1 ? ? 2 1 1? 2 ? 2? 累加: bn ?1 b2 ? 1? ? ? ?2 ?1 ? ? ? bn ?1 ? nb2 ? 2 ? n ? 1? ? ? b2 ? 2 ? n ? 2 ( n ? 2) n 1 ? n? bn ? ? b2 ? 2 ?? n ? 1? ? 2 ( n ? 3) ,验证对 n ? 1, n ? 2 成立 所以 bn ? ? b2 ? 2 ? n ? b2 ? 4(n ? 1) ,所以 ?bn ? 为等差数列 法三:(考虑 2bn ? bn?1 ? bn?1 ) n 2 ,………… bn ? ? n ? 1? bn?1 ? nbn ? 2 ? 0 (n ? 1) ? bn?1 ? n ?1 n ?1 ① ? n ? 2 ? bn ? ? n ? 1? bn?1 ? 2 ? 0 (n ? 2) ? bn?1 ? ……② n?2 2 ……… bn ? n ?1 n ?1 ①+② 2bn ? bn ?1 ? bn ?1 ,所以 ?bn ? 为等差数

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