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微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线_图文

微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线_图文

第二章
曲 面 论

§6 曲面上的测地线
1.曲面曲线的测地曲率; 2.曲面上的测地线; 3.曲面上的半测地坐标网; 4.曲面上测地线的短程性; 5.高斯-波涅(Gauss-Bonnet)公式; 6.曲面上向量的平行移动; 7.极小曲面.

主要内容

平面上,连接两点 P , Q的线段中直线段最短, 问题:

在曲面上,连接两点 P , Q的线段中哪条最短?

6.1 曲面上曲线的测地曲率
一.测地曲率的概念
? ? 1 2 ( S ) : r ? r (u , u ) ? ? n ? (C ) : u? ? u? ( s),(? ? 1,2) ? ? ? ? ? ? ? 令? ? n ? ? ? ? P ? ? ? ? ? ? ? ? 定义 曲线(C )在P点的曲率向量r ? k?在?上的投影 (也就是在S上P点的切平面?上的投影) 称为曲线(C )在P点的测地曲率. 记作 : k g ? ? ? ? 即 k ?? r? ? ? ? k? ? ?
g

? ? 1 2 ( S ) : r ? r (u , u ) ? ? n ? (C ) : u? ? u? ( s),(? ? 1,2) ? ? ? ? ? ? ? 令? ? n ? ? ? ? P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k g ? k? ? ? ? k? ? (n ? ? ) ? k ( ? , n, ? ) ? k (? , ? , n) ? ? ? ? ? ? ? k(? ? ? ) ? n ? k (? ? n) ? k cos( ? ? ) ? ? k sin? , 2 而kn ? k cos? , 于是有

命题1

2 2 k 2 ? kn ? kg

二.测地曲率的几何意义
? k ? k , 命题2 g (其中k ?是曲线(C )在切平面?上的投影曲线 (C ? )的曲率)

证:

? ? 1 2 ( S ) : r ? r (u , u ) ? ? n ? (C ) : u? ? u? ( s),(? ? 1,2) ? ? ? ? ? P ? ? ? (C ? ) ? ? 在柱面上应用梅尼埃定 理. ?是柱面在P的法向量, ? 平面?是柱面在点P沿切方向?的法截面, ? ? 柱面在点P沿切方向?的法截线是(C ? ), ? 由梅尼埃定理, 设kn是柱面在点P沿切方向 ? 的法曲率, ? ? ? ? ? kn ? ? k , 而kn ? k cos?(? , ? ) ? k( ? ? ? ) ? k g . ? k g ? k ? .

三.测地曲率的计算公式
? ? 1 2 ( S ) : r ? r (u , u ) ? ? n ? (C ) : u? ? u? ( s),(? ? 1,2) ? ? ? ? ? 1 ? 2 或 r ? r [ u ( s ), u ( s)] ? ? P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k g ? k (? , ? , n) ? (? , k? , n)? (r , r , n) i ? ? du ? 而r ? ? ri, ds i i j 2 i ? ? du du d u ? ? ? r ?? rij ? ? 2 ri ds i , j ds ds i 2 i ? ? dui du j d u ? k ?? [? ?ij rk ? Lij n] ? ? 2 ri ds i , j ds ds k i

2 i ? ? dui du j d u ? k ?? [? ?ij rk ? Lij n] ? ? 2 ri ds i , j ds ds k i i j i j 2 k ? ? du du du du d u ? k ? ? ?ij rk ? ? Lij n ? ? 2 rk ds ds ds ds ds i , j ,k i, j k i j i j ? ? d 2 uk du du du du k ? ? [ 2 ? ? ?ij ] rk ? ? Lij n ds ds ds ds ds k i, j i, j i ? ? du ? ? ? ? ?, ? r ?? ri ? k g ? (r r?, n) ds i i j 2 2 1 i j ? ? ? du1 d 2 u2 du du du d u du du 2 1 ?[ ( 2 ? ? ?ij )? ( 2 ? ? ?ij )]? (r1 , r2 , n) ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j

i j 2 2 1 i j du1 d 2 u 2 du du du d u du du 2 1 ? kg ? g[ ( 2 ? ? ?ij )? ( 2 ? ? ?ij )] ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j

? ?测地曲率的一般计算公 式.

F ? 0, 此时, 特别地, 在正交坐标网下,
1 11

Ev Ev Eu 1 1 2 , , ?12 ? ?21 ? ? ? , ?11 ? ? 2E 2G 2E Gu G u ? 2 ? Gv , 2 2 1 ?12 ? ?21 ? , ?22 ? ? , 22 2G 2G 2E

i j 2 2 1 i j du1 d 2 u2 du du du d u du du 2 1 ? kg ? g[ ( 2 ? ? ?ij )? ( 2 ? ? ?ij )] ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j du d 2v 2 du du 2 du dv 2 dv du 2 dv dv ? g [ ( 2 ? ?11 ? ?12 ? ?21 ? ?22 ) ds ds ds ds ds ds ds ds ds ds dv d 2 u 1 du du 1 du dv 1 dv du 1 dv dv ? ( 2 ? ?11 ? ?12 ? ?21 ? ?22 )] ds ds ds ds ds ds ds ds ds ds Gu du 2 dv Gv du dv 2 du d 2v Ev du 3 ? g[ ? ( ) ? 2? ( ) ? ( ) ) 2 ds ds 2G ds 2G ds ds 2G ds ds Ev du dv 2 Gu dv 3 dv d 2 u E u dv du 2 ? ? ( ) ? 2? ( ) ? ( ) )] 2 ds ds 2 E ds ds 2 E ds ds 2 E ds

? ? 令曲线的切方向 ?与ru的夹角为?, v坐标曲线 ? ? ? ? rv dr ? ru rv C ?? ? cos? ? sin? , S 则 ? ? P ? ds E G ru ? dr ? ? du ? dv 又 ? ? ? ru ? rv , ds ds ds u坐标曲线 du cos? dv sin? 比较以上两式得: ? , ? , ds E ds G

d 2u sin? ? 2 ?? ds E sin? ?? E sin? ?? E

d? 1 d E ? cos? (? ) ds E ds d? cos? 1 du dv ? [ ( Eu ? Ev ) ds E 2 E ds ds d? cos? 1 cos? sin? ? [ ( Eu ? Ev ) ds E 2 E E G

sin? d? cos? 1 cos? sin? ?? ? [ ( Eu ? Ev ) E 2 E E ds E G

sin? d? Eu cos2 ? Ev sin? cos? ?? ? ? , 2 2E E ds 2 E EG d 2v cos? d? Gu sin? cos? Gv sin2 ? ? ? , 同理, 2 ? 2 ds 2G G ds 2G EG

代入上面kg的表达式整理得: Ev Gu d? kg ? ? cos? ? sin? ds 2 E G 2G E
d? 1 ? ln E 1 ? lnG ? ? cos? ? sin? ds 2 G ?v 2 E ?u

d? 1 ? ln E 1 ? ln G ? kg ? ? cos ? ? sin ? ds 2 G ?v 2 E ?u ? ?柳维尔 ( Liouville)公式 1 ? ln E ? ? 0, k gu ? ? 对于u ? 曲线, 2 G ?v ? k ? 1 ? lnG ? ? , gv 对于v ? 曲线, 2 E ?u 2 d? ? kg ? ? k gu cos? ? k gv sin? . ds

. 注 测地曲率是内蕴量

6.2 曲面上的测地线
一.测地线及其性质
果它上面每一点的测地 曲率 定义 曲面上的一条曲线,如 均为零,则称为测地线 .



曲面上的直线一定是测 地线.
的点以外,曲线的主法 线重合于曲面的法线 .

测地线 ? 除了曲率为 0 命题3 曲面上非直线的曲线是

证:" ? " 若曲线(C )是测地线, 由定义可知,
对曲线(C )上任意一点, k g ? ? k sin? ? 0, ?k , ? sin? ? 0, 故? ? 0或? , ?? 0 ? ? ? // n, 即曲线的主法线重合于 曲面的法线.

? " ?" 若曲线的主法线重合于 曲面的法线, 即? // n,

?

则? ? 0或? , ? kg ? ?k sin? ? 0, ?曲线(C )是测地线. ? ? ? ? )的曲线是测地线? r // n. 推论1 曲面上(不含逗留点 切, 并且此曲线是其中 推论2 如果两曲面沿一曲线相 一个曲面的测地线, 那么它也是另一个曲面 的测地线. 则它必是另一个曲面的 测地线. 证:(1)若该曲线是直线, 由已知, (2)若该曲线非直线, 两曲面沿这条曲线有公 共的切平面, 它们的法线重合, 因而沿这条曲线, 而曲线在一点的主法线 只有一条, 所以当这条曲线的主法 线与两曲面之一的法线 重合时, 由命题3知, 同时必与另一曲面的法 线重合, 这条曲线也是另一个曲 面的测地线.

地线. 例1. 球面上的大圆一定是测 因而重合于球面的法线 . 因为大圆的主法线通过 球心, 线的测地线是曲率线 例2. 证明曲面上一条异于直 ? 它是平面曲线. ? ? ? ? 则? // n, 即? ? ? n, 证: 设曲线(C )是异于直线的测地线, ? ? ? ?, 两边对弧长s求导得:? ? ? n ? ? ? ? (?) ? k? ? ?? ? ? n 即
" ? " 若曲线(C )又是曲率线, 由罗德里格定理得: ? ? dn ? ? k N dr ? ? ? ? ? n ? ?k N r ? ? k N ? 即 ? ? ? 代入(?)式得: ? k? ? ?? ? ? k N? ? 两边点乘?得:? ? 0,?曲线(C )是平面曲线.

则? ? 0, " ?" 若曲线(C )是平面曲线, ? ? ? 代入(?)式得: ? k? ? ? n ? ? ? ? ? // n 或dn // dr , 即 ?曲线(C )是曲率线.

二.测地线的方程

? ? ? ? ? // n, 而n ? rl ? 0, (l ? 1,2) 由测地线的特征: ? ? ? ? ? rl ? 0 ? ? ? ? r ? rl ? 0 从而 2 k i j i j ? ? ? d u du du du du k ? ? ? r ? ?[ 2 ? ? ?ij ] rk ? ? Lij n ds ds ds ds ds k i, j i, j 2 k i j d u du du ? k g [ ? ? ] ? 0 ( l ? 1,2) 两边点乘rl 得: ? ? kl ij 2 ds ds ds k i, j

i j d 2 uk du du k g [ ? ? ] ? 0 ( l ? 1,2) ? ? kl ij 2 ds ds ds k i, j 解, ? g ? det(gkl ) ? 0, 于是以上方程组只有零

i j d 2uk du du k ? 2 ? ? ?ij ?0 ds ds ds i, j

( k ? 1,2)

这就是一般坐标网下测 地线的微分方程. 对于正交坐标网, 由柳维尔 ( Liouville)公式, 测地线的微分方程为: 1 ? ln E 1 ? ln G ? d? ? cos ? ? sin ? ?
ds 2 G ?v ? 1 ? du ? cos ? ? E ? ds ? dv ? 1 sin ? ? G ? ds 2 E ?u

1 ? ln E 1 ? ln G ? d? ? cos ? ? sin ? ? ds 2 G ?v 2 E ?u ? 1 ? du ? cos ? ? E ? ds ? dv ? 1 sin ? ? G ? ds

这是关于三个变数 u, v,?和自变量s的一阶线性微分方程组 .
若给定初始条件: u( s0 ) ? u0 , v( s0 ) ? v0 ,? ( s0 ) ? ?0 , 则方程组有唯一一组解 : u ? u( s), v ? v( s),? ? ? ( s).

例1. 曲面的第一基本形式为 I ? E(u)du2 ? G(u)dv2 求证: (1) u ? 曲线是测地线; (2) v ? 曲线是测地线? Gu (u) ? 0. ? ( s ) ? 0, 证: (1) 对u ? 曲线而言,
? l n E ( u) ? 0, 由已知, ?v 代入柳维尔公式得:

k gu

d? 1 ? ln E 1 ? lnG ? ? cos? ? sin? ? 0. ds 2 G ?v 2 E ?u

? u ? 曲线是测地线 .

? ( s) ? (2) 对v ? 曲线而言,
? l n E ( u) ? 0, 由已知, ?v 代入柳维尔公式得:

?
2

,

d? 1 ? ln E 1 ? lnG k gv ? ? cos? ? sin? ds 2 G ?v 2 E ?u 1 ? lnG 1 1 ? ? Gu 2 E ?u 2 E G

? v ? 曲线是测地线? k gv ? 0
? Gu (u) ? 0.

P0及曲面的一个切方向 (d ), 定理1 给定曲面上任一点

则存在唯一一条过点 P0的测地线切于该方向 (d ). 证: 测地线的微分方程为:
i j d 2uk du du k ? ? ? 0 ( k ? 1,2) ? ij 2 ds ds ds i, j

1 2 给定曲面上一点 P0 (u0 , u0 )和点P0处的一个切方向 (d ),

?? du1 ? ? du2 ? ? 即?? ? ds ? ? ,? ? ds ? ? ?, ? ?0 ? ?0 ? ?? ?

相当于给出了上述微分 方程组的一个初始条件 :
k k ? ? du du k k ? s ? s0时, u ? u0 , ?? , k ? 1,2 ? ? ds ? ds ? 0

由二阶微分方程组解的 存在唯一性定理, 满足这个初始条件的解 是唯一存在的 . 也就是说,存在唯一一条曲线 (C ) : uk ? uk ( s)

过点P0 ( u1 ( s0 ), u 2 ( s0 )),并且切于切方向 ?? du1 ? ? du2 ? ? (d ) ? ?? ? ds ? ? ,? ? ds ? ? ?. ? ?0 ? ?0 ? ?? ?

同切方向的一切曲线中 , 命题 在曲面上同一点具有相

以测地线的曲率为最小 , 测地线的曲率等于同方 向的法截线的曲率 . 由定理1, 证: 在曲面上过同一定点沿 已知切方向必有唯一的 测地线,

而曲面上同一点具有相 同切方向的一切曲线中 , 它们都有相同的法曲率 kn,
2 2 ? k 2 ? kn ? kg , k才最小, 所以测地线的曲率最小 . ?只有kg ? 0时,

此时k ? k n . 而后者正是同方向的法 截线的曲率.

曲面上, 既是渐近曲线又是测地 线的曲线是什么曲线? 问题:

6.3 曲面上的半测地坐标网
定义 曲面上的一个坐标网, 其中一族是测地线, 另一族是这族测地线的 正交轨线, 则称这个坐标网为 半测地坐标网 . 注 (1)测地线的正交轨线也称 为测地平行线 . ( 2) 半测地坐标网

是平面上的极坐标网 在曲面上的推广 .
O

? ? 曲线族
r ? 曲线族
x

总存在一个半测地坐标 网, 命题 给定曲面上一条曲线, 它的非测地坐标曲线族 中包含给定的一条曲线 . 证: 问题: 在半测地坐标网下, 曲面的第一基本形式将 怎样? ?半测地坐标网是正交网 , ? F ? 0, 于是 ds 2 ? Edu2 ? Gdv 2 (C ) 今取u ? 曲线族为测地线族, v ? 曲线族为测地平行线族 , 则u ? 曲线(v ? 常数)应满足测地线方程:
i j d 2uk du du k ? ? ? 0 ( k ? 1,2) ? ij 2 ds ds ds i, j

由u ? 曲线满足的第二个方程 u2 ? v ? 常数, 但k ? 2时, i j d 2u2 du du 2 ? ? ?0 ? ij 2 ds ds ds i, j
2 2 2 2 ?? ? ?11 ?u ? ? ?12 ?v ? ? ?21 ?u ? ? ?22 ?v ??0 v u u v v 2 ?11 ?0 得: Ev 2 ? 0, 从而Ev ? 0. ? F ? 0, ? ?11 ? ? 2G 即E仅是u的函数 : E ? E(u) ? 0. ? u ? ? ? (u)du 在曲面上引进新的参数 u , v ,使得 ? ?v ? v 于是du ? ? (u)du, dv ? dv,



曲面的第一基本形式为 : ds 2 ? du 2 ? G (u , v )dv 2 (其中v ? v )

对u ? 曲线(v ? v ? 常数), 有ds 2 ? du 2, 故u 是u ? 曲线的弧长. 再设u ? c1和u ? c2 是测地线v ? 常数的任意两条测地平 行线, 则沿任一条 u ? 曲线
s?

?

c2

c1

du ? c2 ? c1 ? 常数.

命题 如果曲面S上的坐标网为半测地坐 标网,

u ? c1 u ? c2

则曲面S的第一基本形式可写为 : ds 2 ? du 2 ? G (u , v )dv 2 (C ) 此时参数u 是u ? 曲线的弧长, 且u ? 曲线(测地线)族被任意两条测地平行 线截得
的弧长相等 .

如果再设确定半测地坐 标网的曲线 (C )的参数方程为 u ? u0,
再在曲面上引进新的参 数u , v ,使得
?u ?u ? ? v ? ? G ( u0 , v )dv (其中v ? v )

于是du ? du , dv ? G ( u0 , v )dv ,

曲面的第一基本形式为 :
2 2 2

(C )
2

? ? d v ? ds ? du ? G (u , v )dv ? du 2 ? G ( u , v )? ? G (u , v ) ? 0 ? ? 即 ds 2 ? du 2 ? G ( u , v )dv 2

G ( u , v (v )) G ( u , v ) ? 其中G ( u , v ) ? G ( u0 , v (v )) G ( u0 , v )

此时,对于曲线 (C ) : u ? u ? u(常数)有: 0 G ( u0 , v ) G ( u0 , v ) ? ?1 G ( u0 , v ) 于是上式变为: ds 2 ? dv 2, ? 参数v 是曲线(C )的弧长.
并且曲线 (C )上介于两测地线 v ? d1和v ? d 2 之间的弧长为 d2 s ? ? dv ? d 2 ? d1 .
d1

如果再进一步选确定半 测地坐标网的曲线 (C )是一条测地线: u ? u ? u0 i j d 2 u1 du du 1 由测地线方程: 2 ? ? ?ij ?0 ds ds ds i, j Gu 1 知: ?22 u ? u0 ? ? u ? u0 ? 0, 从而Gu ( u0 , v ) ? 0. 2E

结论:取曲面上的一条测地线 (C )为v ? 曲线 : u ? u0 , 另取与 (C )正交的测地线族为 u ? 曲线, 则得一半测地坐标网 . 在此半测地坐标网下, 曲面的第一基本形式可 简化为 ds 2 ? du2 ? G(u, v )dv 2 其中G( u, v )满足条件 测地线(C ) G(u0 , v ) ? 1, Gu (u0 , v ) ? 0. 参数u, v的几何意义: 在测地线族(即u ? 曲线或v ? 常数)上, 介于v ? 曲线u ? c1和u ? c2 之间的弧长为 c2 ? c1 ; 在测地线(C )( u ? u0 )上,
介于两u ? 曲线(即两测地线 )v ? d1和v ? d 2 之间的弧长为 d 2 ? d1 .

6.4 曲面上测地线的短程性
定理 若给定曲面上充分小邻 域内的两点 P和Q, 则过P , Q两点在小邻域内的测地 线段是连结 P, Q
两点的曲面上的曲线中 弧长最短的曲线 . 证: 在曲面( S )选取一个半测地坐标网 , .Q 使曲面( S )上包含(C )在内的 (C ) P . 一测地线族为 u ? 曲线族, S 它们的正交轨线族为 v ? 曲线族, 曲面的第一基本形式为 : 根据上节的结论, ds 2 ? du2 ? Gdv 2 不妨设曲线 (C )的方程为v ? 0, P , Q两点的坐标分别为 (u1 ,0), (u2 ,0) (u1 ? u2 ),

于是沿测地线 (C )由P到Q的弧长为:
S( PQ )
(C )

??

u2

S ? ? du ? u2 ? u1 . ~ u1 又设曲线(C )是小邻域内连结 P , Q两点的任意一条曲线, ~ 其方程为: v ? v(u). 于是曲线(C )由P到Q的弧长为: u2 dv 2 ~ ? S( PQ ) ( C ?u1 1 ? Gv? du (其中v? ? du ), ) 而 1 ? Gv? 2 ? 1, u2 u2 2 ~ ? 于是S( PQ ) ( C ? 1 ? Gv? du ? ? du ? u2 ? u1 . )
u1 u1

u1 u2

1 ? Gv ? du
2

~ (C )

(C ) P . ( u1 ,0)

.Q ( u2 ,0)

. 当且仅当v? ? 0时等号成立 . ~ ? 但v ? 0即v ? 常数(u ? 曲线), 这表明 (C )与(C )重合. ?测地线段(C )是连结P , Q两点的最短线 . 即S( PQ )
~ (C ) (C )

? S( PQ )

6.5 高斯-波涅(Gauss-Bonnet)公式
? 在平面内,三角形的内 角之和为 180 , 问题: 如何把它推广到曲面上 ? 定理 (Gauss-Bonnet公式) ?3 ? 2 n G ?n ? ?2 Kd? ? ? k g ds ? ? ? i ? 2? ?? 1 ?1 i ?1 G ?G ?n S 引理 设曲面上n( n ? 1)条

光滑曲线组成单连通 G的边界, 则当适当选定绕行方向 时, ? 边界?G上的单位切向量 ?绕行一周的总转角为 2? . (证明略)

定理的证明: 由柳维尔公式得: 在曲面上取正交坐标网 , d? 1 ? ln E 1 ? lnG kg ? ? cos? ? sin?
ds 2 G ?v 2 E ?u Ev Gu d? ? ? cos? ? sin? ds 2 E G 2G E Ev cos? Gu sin? d? ? ? ? ds 2 EG E 2 EG G Ev du Gu dv d? ? ? ? ds 2 EG ds 2 EG ds Ev Gu ? k g ds ? d? ? du ? dv 2 EG 2 EG

Ev Gu k g ds ? d? ? du ? dv 2 EG 2 EG 对每个i ? 1,2?, n, 有: Ev 1 1 Gu k g ds ? ? d? ? ? du ? ? dv ? 2 ?i EG 2 ?i EG ?i ?i
对i求和得:

Gu 1 ? Ev ? k g ds ? ? ? d? ? ? ? du ? dv ? ? 2 ?G? EG EG ? i ?1 ?i ?G 则由格林公式 令D为G在uv平面内的对应区域, ? ?Q ?P ? ( Pdu ? Qdv) ? ?? ? ? ?dudv ? ?u ?v ? ?G D ?
n

(1)

得:

? ?Q ?P ? ( Pdu ? Qdv) ? ?? ? ? ?dudv ? ?u ?v ? ?G D ? Gu 1 ? Ev ? ? du ? dv ? ? 2 ?G? EG EG ?
1 ?? G u ? ? E v ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ?dudv 2 D ?? EG ? u ? EG ? v ? ?? ( G ) ? ? ( E ) ? ? u ? v ? ? ? ? ?? ?? ? ?dudv ? ? ? ? E ? u ? G ?v ? D ? ?? ? ? ? ( E )v ? ? ( G ) 1 ?? u ? ?? ? ? EG dudv ? ?? ? ?? ? ? ? G ? EG E ? D ?u ? ?v ? ?? ? ? ?? K d? ( 2)
G

由引理得: 另一方面,

? ? d? ? ??
i ?1 ?i i ?1

n

n

i

? 2?
n

( 3)

把 ( 2), ( 3)代入 (1) 得:
?G

? k ds ? 2? ? ?? ? ?? Kd?
g i ?1 i G

? ?? Kd? ? ? k g ds ? ? ? i ? 2? .
G ?G i ?1

n

Gu 1 ? Ev ? k g ds ? ? ? d? ? ? ? du ? dv ? ? 2 ?G? EG EG ? i ?1 ?i ?G
n

(1) ( 2)

Gu 1 ? Ev ? ? du ? dv ? ? ?? K d? ? 2 ?G? EG EG ? G

推论1 若?G是一条光滑闭曲线, ?? Kd? ? ? k g ds ? ?? i ? 2? .
则有: ?? Kd? ? ? k g ds ? 2? .
G ?G
G ?G i ?1

n

推论2 若?G由n条测地线组成,
则有: ?? Kd? ? ?? i ? 2? .
n G i ?1

?3

推论3 若?G是一个测地三角形,
3

S

?2 ? 2 ? 3 G ? 1 ?1 ? 3 ?1

?2

(即三条测地线围成的三 角形),

) 则有: ?? Kd? ? ? ? i ? ? . (? i 是测地三角形的内角
[? ? ? i ? (? ? ? 1 ) ? (? ? ? 2 ) ? (? ? ? 3 ) ? 3? ? ? ? i ]
i ?1 i ?1 n
G i ?1

3

?? Kd? ? ? ?
G i ?1 3
i ?1

3

i

??.

K ? 0, ? ? ? i ? ? ; 在平面上,
在K ? 0的曲面上, 三角形内角之和大于 ?.

欧氏几何

在K ? 0的曲面上, 三角形内角之和小于 ? ; 罗氏几何

黎曼几何

如:任一个球面三角形 内角之和大于 ?.

6.6 曲面上向量的平行移动
? 在欧氏空间中, 问题: 所谓始点为 P的向量v ? ? ? 平移于始点为 P?的向量v ?,是指将v和v ?的始点、终点 分别相连可得一平行四 边形, (如图) Q Q? T P? ? ? ? v v? ? P ?. v ? v ? P P . P ? ? TP ? 此时也称v 是由v S 平行移动得来的, 在笛卡尔坐标系下, ? ? v和v ?的分量相等 . . 能否把它应用到曲面上 ?答案:否

一.曲面上的向量及其平行 移动

) 定义 (曲面上的向量场 ? 指定唯一的一个向量 v ( P ), 如果对曲面S上任一点P, ? ? 则称v ( P )是曲面S上的一个向量场 . 使v ( P )与S在点P相切, ? ? . 向量函数a ? a(t ) 称为曲面S沿曲线(C )的向量场
? ? a ? a(t )
M ( t ).

(C ) u i ? u i ( t )

? ? a ? a(t )
M ( t ).

S
绝对微分 沿法线方向的投影向量 为 ? ? ?

(C ) u i ? u i ( t )

. M ?( t ? ?t )

? ? a ( t ? ?t ) ? a ( t )
? ? da ( t ) ? 0 ? ? a ? da
.M ?

?
? ? ? n a? ? da D a .M ? a

? ? [n ? (a ? da )]n ? ( n ? da )n

(C )

在切平面上的投影向量 为

? ? ? ? ? ? ? (a ? da )t ? a ? da ? ( n ? da )n

S

定义 (绝对微分) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Da ? (a ? da )t ? a ? a ? da ? ( n ? da )n ? a ? ? ? ? ? da ? ( n ? da )n ? 称为向量a从点M沿曲线(C )移动到M ?的绝对微分 . ? Da 称为相应的绝对微商 . dt ? ? (1)绝对微分Da就是通常微分 da在点M处的 注 切平面上的投影向量 . ? (2)绝对微分Da仍为曲面S上的向量. (3)绝对微分是平面上普通 微分在曲面上的推广 . ? ? ? ? ? 由n ? a(t ) ? 0得 n ? da ? 0, ? 在平面上, n ? 常向量,

? ? ? ? ? ? ? Da ? da ? ( n ? da )n ? da .

) 定义 (平行向量场 ? ? ? ? 设a ? a(t )为曲面S上沿曲线 (C )的向量场, 如果Da ? 0, ? ? 则称向量场a ? a ( t )为(勒维 ? 其维塔意义下的 ) ? ? ? . 平行向量场 . 此时也称a与a ? da是平行向量 注 (1)以上定义的平行移动概 念与所选曲线 (C )有关. ? ? ? ? ? ( 2) Da ? 0 ? (a ? da )t ? a ? ? ? 即把a ? da投影到切平面上与 a重合. ? ? ? (3)向量场a(t )是平行向量场 ? da // n. ? 向量场a(t )为平行向量场 事实上, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? da ? ( n ? da )n ? da // n. ? Da ? da ? ( n ? da )n ? 0 向量的勒维? 其维塔平行移动 (4)在平面上, 与通常意义下的平行移 动是一致的 . ? ? ? 在平面上, Da ? da .

平行移动的分析条件 ? ? 设a ? a (t )为曲面S上沿曲线 (C ) : ui ? ui (t ), (i ? 1,2)的向量场, ? ? 向量场a ? a (t )的坐标是a 1 (t ), a 2 (t ), 即 ? ? ? 1 2 a (t ) ? a (t )r1 ? a (t )r2 ? i? i? i ? 于是 da ? d ? a ri ? ? da ri ? ? a dri
? ? j i ? ? da ri ? ? a (? rij du )
i

i

i

i

? ? i k? ? ? da ri ? ? a [? (? ?ij rk ? Lij n)du j ]
i

i

i

j

? k i j? i j? ? ? da ri ? ? ?ij a du rk ? ? Lij a du n
i

i

i

j

k

? i j ? ? ? (da ? ? ? a du )rk ? (? Lij a du )n
k k ij i j k i, j i, j

i

i , j ,k

i, j

? k k i j ? i j ? 即da ? ? (da ? ? ?ij a du )rk ? (? Lij a du )n

? ? ? ? ? ? Da ? da ? ( n ? da )n
k k i, j

k

i, j

i, j

? i j ? ? ? (da ? ? ? a du )rk ? ( ? Lij a du )n
k ij i j i, j

? ? k k i j ? i j ? ? {n ? [? (da ? ? ?ij a du )rk ? ( ? Lij a du )n]} ? n

? ? ? (da ? ? ? a du )rk
k k ij i j

k

i, j

i, j

? 1? 2? 若令Da ? Da r1 ? Da r2,

k

i, j



1 1 1 i j Da ? da ? ? a du ? ij ? i, j ? 1 i ? Da1 ? da 1 ? ? ?ij a du j i, j

绝对微分的分析表达式

? 1 2 ? 向量a由点M沿着方向 (du , du ) 平行移动到邻近点 M ? ? 1 2 1? 2? ? Da ? 0 , Da ?0 ? Da ? Da r1 ? Da r2 ? 0 1 1 i j da ? ? ? a du ? ij ? i, j ?? 平行移动的分析条件 1 1 i j ? da ? ? ? ?ij a du

注 向量场的平行性是曲面 的内蕴性质 . 1 2 设 M ( u , u )是曲面S上的一点, ( 存在唯一性) 定理 (C ) : ui ? ui (t )是曲面S过点M的曲线, ? 1? 2? 则对于S在点M的任一向量a0 ? a0 r1 ? a0 r2, ? ? ? 唯一存在沿 (C )的平行向量场 a ( t ), 使得a ( t 0 ) ? a0 . ? 1 j a(t ) da du 1 1 i j 1 i ?ij a du ? ? ? ? ?ij a (C ) ? da ? ? ? dt dt ? i, j i, j t ? 1 2 j ? 1 i M ? . ? da ? ? ? ?ij a du j ?da ? ? ? 2 du a i a t0 ? 0 0 ? ij S ? dt i, j dt i, j

i, j

二.平行移动的性质 在任一曲面曲线 (C )上切于曲面的 命题 (保长性、保角性) 其长度以及它们之间的 夹角 诸向量沿 (C )平行移动时, 都保持不变 . ? ? 证: 设a ( t ), b ( t )是曲面曲线 (C )上切于曲面的两个向量 场, 则 它们沿曲线 (C )平行移动, ? ? ? ? da // n, db // n, ? ? ? ? ? ? db ? a ? 0, 故有da ? b ? 0, ? 又a , b 在切平面上, ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? 常数. ? d (a ? b ) ? d a ? b ? a ? d b ? 0 . ? ? ? ?2 ? ? 故 a ? 常数. 则a ? a ? a ? 常数, 若取b ? a, ? 同理 b ? 常数. ? ? ? ? a?b ? ? ? cos ?(a , b ) ? ? ? ? 常数. 即a , b 的夹角为定角 . ab

(C )是测地线? ) 曲面( S )上的曲线 命题 (测地线的特征 其单位切向量场是勒维 ? 其维塔平行向量场 . ? ? d? ? ? ? ? k? , ? ?? 证:??是(C )的单位切向量, ? ?ds 曲线(C )是测地线 ? ? // n ? ? ? ? ? // n ? ? ? d? // n ? ? (C )的单位切向量场 ?是勒维? 其维塔平行向量场 .

作业
P170

2,4,9,10,11,13, 14,16,18,19,20


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