9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

【高中数学】2018-2019学年度最新苏教版高中数学苏教版选修2-1学案:3.2.3 空间的角的计算1

【高中数学】2018-2019学年度最新苏教版高中数学苏教版选修2-1学案:3.2.3 空间的角的计算1


3.2.3 空间的角的计算 [学习目标] 1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、 线面、 面面的夹 角问题.3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤. 知识点一 两条异面直线所成的角 (1)定义:设 a、b 是两条异面直线,经过空间任意一点 O,作直线 a′∥a,b′∥b,则 a′ 与 b′所成的锐角(或直角)叫做 a 与 b 所成的角. π (2)范围:两条异面直线所成角 θ 的取值范围是 0<θ≤ . 2 (3)向量求法:设直线 a,b 的方向向量分别为 a,b,其夹角为 φ,则 a,b 所成角的余弦值为 |a· b| cos θ=|cos φ|= . |a|· |b| 知识点二 直线与平面所成的角 (1)定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角. π (2)范围:直线和平面所成角 θ 的取值范围是 0≤θ≤ . 2 (3)向量求法:设直线 l 的方向向量为 a,平面的法向量为 u,直线与平面所成的角为 θ,a 与 u 的夹角为 φ,则有 sin θ=|cos φ|= |a· u| 或 cos θ=sin φ. |a|· |u| 知识点三 二面角 (1)二面角的取值范围:[0,π]. (2)二面角的向量求法: ①若 AB,CD 分别是二面角 α-l-β 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线(垂足分别为 A,C),如 → → 图,则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角. ②设 n1、n2 是二面角 α-l-β 的两个面 α,β 的法向量,则向量 n1 与向量 n2 的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小. 题型一 两条异面直线所成角的向量求法 例 1 如图, 在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中, AB⊥AC, AB=AC=2, A1A=4, 点 D 是 BC 的中点.求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值. 解 以 A 为坐标原点,分别以 AB,AC,AA1 为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 A -xyz, → 则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),所以A1B= → (2,0,-4),C1D=(1,-1,-4). → → |A1B· C1D| 18 → → 因为 cos〈A1B,C1D〉= = → → 20 × 18 |A1B||C1D| = 3 10 , 10 3 10 所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 . 10 反思与感悟 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系;利用向量法求两异面直线 所成角的计算思路简便,要注意角的范围. 跟踪训练 1 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB =2,点 E 是棱 AB 上的动点.若异面直线 AD1 与 EC 所成角为 60° ,试 确定此时动点 E 的位置. 解 以 DA 所在直线为 x 轴,以 DC 所在直线为 y 轴,以 DD1 所在直线为 z 轴,建立空间直 角坐标系,如图所示. 设 E(1,t,0)(0≤t≤2), → → 则 A(1,0,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0),D1A=(1,0,-1),CE=(1, t-2,0), 根据数量积的定义及已知得:1+0×(t-2)+0= 2× 所以 t=1,所以点 E 的位置是 AB 的中点. 题型二 直线与平面所成角的向量求法 例2 已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 a,侧棱长为 2a,M

推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com