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江西省南昌市第十中学2016-2017学年高二下学期第二次月考(5月)数学(理)试题Word版含答案

江西省南昌市第十中学2016-2017学年高二下学期第二次月考(5月)数学(理)试题Word版含答案

南昌十中 2016-2017 学年高二下学期第二次月考

数学试题(理)

说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分。考试用时 120

分钟,

注 意 事 项:

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。

1.答题前,请您务必将自己的姓名、IS 号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在

答题纸上,同时用 2B 铅笔在规定的位置上认真填涂自己的 IS 号。

2.作答非选择题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,

在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,请保持卡面清洁和答题纸清洁,不折叠、

不破损。

3.考试结束后,请将答题纸交回监考老师。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四

个选项中只有

一项是符合题目要求的.)

1.已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面.下列说法正确的是( )

A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n

B.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α

C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α

D.若 m⊥α,n?α,则 m⊥n

2.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 值是( )

A.1

B.15

C.35

D.75

3.如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 A1C1 与 B1D1 的交点.

若A→B=a,A→D=b,A→A1=c,则下列向量中与B→M相等的向量是( )

A.-12a+12b+c B.12a+12b+c C.-12a-12b+c D.12a-12b+c

4.计算 C32+C24+C25 +C62+C27+C28+C29=(

)

A.119

B.120

C. 240

D.480

5.在 10 名女生和 5 名男生中,选 2 名性别相同的学生参加一个活动,不同的选

法有( )

A.10 种 B.45 种

C.55 种

D.110 种

6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E1,F1 分别是线段 A1B1,A1C1 的中点,则直 线 BE1 与 AF1 所成角的余弦值是( )

A.

15 10

B.12

C.

30 15

D.

30 10

7.如图所示,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长均为 1,且 AA1⊥底面 ABC,则三棱锥 B1-ABC1 的体积为 ( )

3 A. 12

3 B. 4

6 C. 12

6 D. 4

8.已知四棱锥的三视图如图所示,则四棱锥的四个侧面中面积最大的是( )

A.3

B.2 5

C.6

D.8

9.已知(3 x+x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x-1)n 的展开式的二项式系数和大 992,则

??2x+1x??2n的展开式的二项式系数最大的项为(

)

A.T7

B.T6

C.T5

D.T4

10. 3 名医生和 5 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,其中有两个学校分配 1 名医生和 2

名护士,有一个学校分配 1 名医生和 1 名护士,不同的分配方法共有( )

A.90 种

B.180 种

C.540 种

D.1080 种

11.如图,四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= 2,BD⊥CD.将四边形 ABCD 沿对

角线 BD 折成四面体 A′BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,则下列结论正确的是( ).

A.A′C⊥BD B.∠BA′C=90° C.CA′与平面 A′BD 所成的角为 30° D.四面体

A′BCD 的体积为13

12.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 是平面 AC 内的动点,若点 P 到直线 A1D1 的距离等于点 P 到直线 CD 的距离,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( ).

A.抛物线

B.双曲线

C.椭圆

D.直线

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.若(x2-x+2)5 展开式中 x3 的系数为____________.(填写具体数字)

14.如图所示,用 5 种不同的颜色给图中的矩形 A,B,C,D,E 这五个区域涂色,要求相

邻(有公共边)的矩形区域涂不同的颜色,则不同涂色方案共有________种.(填写具体数

字)

A B

C

D

E

15.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 是 BC1 的中点,P 是 BB1 一动点,则(AP +MP)2 的最小值为_____.

16.如图,在四面体 ??CD中, ?? ? 平面 ?CD , ??CD 是边长为 6 的等边三

角形.若 ?? ? 4,则四面体 ??CD 外接球的表面积为



三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10 分) 甲、乙、丙等 6 位同学排成一排.(请同时写出排列组合式和计算数字结果)

(1)甲和乙相邻,丙和丁也相邻的排法有几种;

(2)甲、乙和丙三人相互不相邻的排法有几种;

(3)甲不在最左,乙不在最右的排法有几种.

18.已知(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6.

求:(1) a0+a1+a2+…+a6; (2) a2+a4+a6;
(3) |a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|.

19.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且 AB=AA1, D,E,F 分别
为 B1A,C1C,BC 的中点. (1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求证:B1F⊥平面 AEF; (3)求二面角 B1-AE-F 的余弦值.
20.如图,?ABC 中,O 是 BC 的中点, AB ? AC , AO ? 2OC ? 2 .将 ?BAO 沿 AO 折 起,使 B 点
运动到 B? 点. (1)求证: AO ? 平面B?OC ; (2)若 B? C= 2,试问在线段 B?A上是否存在一点 P ,使 CP 与平面 B?OA 所成的角的正 弦值为 2 ?证明
3
你的结论.

21.已知点

P

???1,

?

3 2

? ??

在椭圆

C

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a

?

b

? 0? 上,椭圆 C 的左焦点为 ??1,0?

(1)求椭圆 C 的方程

(2)直线 l 过点T ?m,0? ?m ? 0? 交椭圆 C 于 M , N 两点, AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,

且 MN∥AB ,问是否存在正数 m ,使得 AB 2 为定值?若存在,请求出 m 的值;若不 MN

存在,请说明理由。

22.已知函数 f ( x)=( a-12 )x2+ln x(a∈R) .
(1)当 a=1 时,?x0∈[1,e]使不等式 f ( x0)≤m,求实数 m 的取值范围; (2)若在区间(1,+∞)上,函数 f ( x)的图象恒在直线 y =2a x 的下方,求实数 a 的取值范 围.

南昌十中 2016-2017 学年高二下学期第二次月考 数学参考答案

一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分). 题号 1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12

答案 D D A

ACDACBCBB

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分)

13. -200

14.

960

15.

5 2

16. 64?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(10 分) 甲、乙、丙等 6 位同学排成一排.(请同时写出排列组合式和计算数字结果) (1)甲和乙相邻,丙和丁也相邻的排法有几种;

(2)甲、乙和丙三人相互不相邻的排法有几种;

(3)甲不在最左,乙不在最右的排法有几种.

解:(1)甲乙捆绑成一团,丙丁也如此,可知共有:N1=A22A22A22A13=24 种坐法. (2) A66/A33=120 (3) A66-2 A55+A44=504

18.已知(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6.
求:(1) a0+a1+a2+…+a6; (2) a2+a4+a6;
(3) |a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|.
解:令 x=1,则 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=1.① 令 x=-1,则 a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36=729.② (1) 令 x=1,则 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=1. (2) ∵a0=C06=1,(①+②)÷2,得 a0+a2+a4+a6=1+236=365,a2+a4+a6=364 (3) ∵(1-2x)7 的展开式中,a0,a2,a4,a6 大于零,而 a1,a3,a5 小于零,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5),∴ (亦即②),其值为 729.

19.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且 AB=AA1, D,E,F 分别
为 B1A,C1C,BC 的中点. (1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求证:B1F⊥平面 AEF; (3)求二面角 B1-AE-F 的余弦值.
[解析] 如图建立空间直角坐标系 A-xyz,令 AB=AA1=4,则 A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4),D(2,0,2),A1(0,0,4),

(1)证明:D→E=(-2,4,0),平面 ABC 的法向量为A→A1=(0,0,4), ∵D→E·A→A1=0,DE?平面 ABC, ∴DE∥平面 ABC.

(2)证明:B→1F=(-2,2,-4),E→F=(2,-2,-2), B→1F·E→F=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, ∴B→1F⊥E→F,B1F⊥EF, B→1F·A→F=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0, ∴B→1F⊥A→F,∴B1F⊥AF. ∵AF∩EF=F,

∴B1F⊥平面 AEF. (3)平面 AEF 的法向量为B→1F=(-2,2,-4),设平面 B1AE 的法向量为 n=(x,y,z),

??n·A→E=0, ∴?
??n·B→1A=0,

即???2y+z=0, ??x+z=0,

令 x=2,则 z=-2,y=1,∴n=(2,1,-2),

∴cos〈n,B→1F〉=|nn|··|BB→→11FF|=

6 9×

= 24

66,

∴二面角

B1-AE-F

的余弦值为

6 6.

20.如图,?ABC 中,O 是 BC 的中点,AB ? AC ,AO ? 2OC ? 2 .将 ?BAO 沿 AO 折起,使 B 点
运动到 B? 点.

(1)求证: AO ? 平面B?OC ;
(2)若 B? C= 2,试问在线段 B?A上是否存在一点 P ,使 CP 与平面 B?OA 所成的角的正弦值 为 2 ?证明你的结论.
3
解析:(Ⅰ) AB ? AC且O是BC中点,?AO ? BC 即 AO ? OB?,AO ? OC ,

21.已知点

P

???1,

?

3 2

? ??

在椭圆

C

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a

?

b

? 0? 上,椭圆 C 的左焦点为 ??1,0?

(1)求椭圆 C 的方程

(2)直线 l 过点T ?m,0? ?m ? 0? 交椭圆 C 于 M , N 两点, AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,

且 MN∥AB ,问是否存在正数 m ,使得 AB 2 为定值?若存在,请求出 m 的值; MN

若不存在,请说明理由。

解:(1)由左焦点 ??1,0? 可得 c ? 1,由 b2 ? a2 ? c2 ? b2 ? a2 ? 1

?C

:

x2 a2

?

y2 a2 ?1

? 1,代入 P ???1, ?

3 2

? ??

可得:

1 a2

?

9 4

?

1 a2 ?1

? 1解得: a

?

2

x2 y2 ?C : ? ?1
43

(2)思路:由所求可联想到弦长公式,除了所求变量 m ,直线 MN , AB 的另一核心要素为

AB 2

斜率 k (假设 k 存在),通过

可联想到弦长公式,所以分别将直线 MN , AB 的方程与

MN

AB 2

AB 2

椭圆方程联立,进而

为关于 m,k 的表达式,若

为常数,则意味着与 k 的取值无

MN

MN

关,进而确定 m 的值

设直线 l : y ? kx ? m , M ? x1, y1?, N ? x2, y2 ? ,联立方程:

? ? ? x2
? ?4

?

y2 3

?1?

3 ? 4k2

x2 ? 8k 2mx ? 4k 2m2 ? 12 ? 0

?? y ? kx ? m

8k 2m

4k 2m2 ? 12

? x1 ? x2 ? 4k 2 ? 3 , x1x2 ? 4k 2 ? 3

? ? ? MN ?

1 ? k 2 x1 ? x2 ?

1? k2 ?

16 ?? 12 ? 3m2 k 2 ? 9?? 4k 2 ? 3

? x2 y2

设 A? x3, y3 ?, B? x4, y4 ?

,则

? ?

4

?

3

?? y ? kx

? 1 ? x2 ? 12 3 ? 4k2

48?4k2 ? 3?
? AB ? 1 ? k 2 x3 ? x4 ? 1 ? k 2 ? 4k 2 ? 3
? ? ? AB 2 ? 48 1 ? k2 4k 2 ? 3

? ? ? ? ? AB 2 ? 48 1 ? k2 ?

1

? 12 ?

MN

16 ?? 12 ? 3m2 k 2 ? 9??

1? k2 12 ? 3m2 k 2 ? 9

AB 2

所以若

是个常数,

MN

? ? ? ? ? 12 ? 3m2 k2 ? 9 也为 A 1 ? k2 的形式,即12 ? 3m2 ? 9 ? m ? 1

AB 2

AB 2

此时

? 4 ,当直线斜率不存在时,可得

? 4 符合题意

MN

MN

?m ?1

22.已知函数 f ( x)=( a-12 )x2+ln x(a∈R) .

(1)当 a=1 时,?x0∈[1,e]使不等式 f ( x0)≤m,求实数 m 的取值范围; (2)若在区间(1,+∞)上,函数 f ( x)的图象恒在直线 y =2a x 的下方,求实数 a 的取值范围.

解答: 解:(I)当 a=1 时,



可知当 x∈[1,e]时 f(x)为增函数,最小值为



要使?x0∈[1,e]使不等式 f(x0)≤m,即 f(x)的最小值小于等于 m, 故实数 m 的取值范围是

(2)已知函数



若在区间(1,+∞)上,函数 f(x)的图象恒在直线 y=2ax 的下方, 等价于对任意 x∈(1,+∞),f(x)<2ax,



恒成立.





即 g(x)的最大值小于 0.

(1)当 ∴

时,

, 为减函数.

∴g(1)=﹣a﹣ ≤0∴a≥﹣ ∴

(2)a≥1

时,

.

为增函数, g(x)无最大值,即最大值可无穷大,故此时不满足条件.

(3)当

时,g(x)在

上为减函数,在

函数, 同样最大值可无穷大,不满足题意.综上.实数 a 的取值范围是

上为增 .


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