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2015年高中数学 3.1.1两角差的余弦公式课时跟踪检测 新人教A版必修4

2015年高中数学 3.1.1两角差的余弦公式课时跟踪检测 新人教A版必修4


2015 年高中数学 3.1.1 两角差的余弦公式课时跟踪检测 新人教 A 版必修 4
考查知识点及角度 基础 公式的简单运用 给值求值问题 9、11 综合应用 3 7、10、12 13 1、2、4 5 6、8、 难易度及题号 中档 稍难

1 .化简 cos(45°- α )cos(α +15°)-sin(45°- α )·sin(α +15°)的结果为 ( ) A. C. 1 2 3 2 1 B.- 2 D.- 3 2

1 解析:原式=cos(45°-α +α +15°)=cos 60°= . 2 答案:A 2.不满足 sin α sin β = π π A.α = ,β = 2 4 2π π C.α = ,β = 3 12 解析:因为 sin α sin β = 的 α ,β 不满足,故选 C. 答案:C 3.已知△ABC 的三个内角分别为 A、B、C,若 a=(cos A,sin A),b=(cos B,sin B), 且 a·b=1,则△ABC 一定是( A.直角三角形 C.等边三角形 ) B.等腰三角形 D.等腰直角三角形 2 -cos α cos β 的一组 α ,β 值是( 2 2π 5π B.α = ,β = 3 12 π π D.α = ,β = 4 2 2 2 -cos α cos β ,所以 cos (α -β )= .经检验 C 中 2 2 )

解析:因为 a·b=cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B)=1,且 A、B、C 是三角形的 内角,

1

所以 A=B,即△ABC 一定是等腰三角形. 答案:B 4.化简求值:cos 80°·cos 35°+cos 10°·cos 55°=________. 解析:原式=cos 80°·cos 35°+sin 80°·sin 35°=cos(80°-35°)=cos 45° = 2 . 2 答案: 2 2

?π ? 1 5.已知 cos? -α ?= ,则 cos α + 3sin α 的值为________. 3 ? ? 8
π π ?π ? 解析:cos? -α ?=cos cos α +sin sin α 3 3 3 ? ? 1 3 = cos α + sin α 2 2 1 1 = (cos α + 3sin α )= . 2 8 1 ∴cos α + 3sin α = . 4 1 答案: 4 4 5 ?π ? 6.已知 sin α = ,α ∈? ,π ?,cos β =- ,β 是第三象限角,求 cos(α -β ). 5 13 ?2 ? 解:∵α ∈?

?π ,π ?,sin α =4, ? 5 ?2 ?

3 ∴cos α =- . 5 5 又 β 在第三象限且 cos β =- , 13 12 ∴sin β =- . 13 ∴cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β 3 ? 5 ? 4 ? 12? =- ×?- ?+ ×?- ? 5 ? 13? 5 ? 13? = 15 48 33 - =- . 65 65 65

2cos 10°-sin 20° 7.化简: . cos 20°

2

2cos?30°-20°?-sin 20° 解:原式= cos 20° = = 2cos 30° cos 20°+2sin 30°sin 20°-sin 20° cos 20° 3cos 20°+sin 20°-sin 20° cos 20° 3cos 20° cos 20°



= 3.

π? 5 π ? 8.已知 cos?θ + ?= ,0<θ < ,则 cos θ 等于( 6 ? 13 3 ? A. C. 5 3+12 26 5+12 3 26 B. D. 12-5 3 13 6+5 3 13

)

? π? 解析:∵θ ∈?0, ?, 3? ?
π ?π π ? ∴θ + ∈? , ?. 2? 6 ?6 π ? 12 ? ∴sin?θ + ?= . 6 ? 13 ? π ? π ? 5 3+12 ?? 又 cos θ =cos??θ + ?- ?= . 6? 6? 26 ?? 答案:A 9.已知 sin α +sin β +sin γ =0 和 cos α +cos β +cos γ =0,则 cos (α -β ) 的值是( A. 1 2 ) B. 3 2 3 2

1 C.- 2

D.-

解析:由已知得,-sin γ =sin α +sin β ,① -cos γ =cos α +cos β ,② ① +② 得,1=1+1+2sin α sin β +2cos α cos β , 1 化简得 cos α cos β +sin α sin β =- , 2
2 2

3

1 即 cos(α -β )=- . 2 答案:C 1 3 10.函数 f(x)= sin 2x+ cos 2x 的最小正周期是______. 2 2 π π 解析:由于 f(x)=cos 2xcos +sin 2xsin 6 6 π? ? =cos?2x- ?, 6? ? 2π 所以 T= =π . 2 答案:π π? π? 4 ? ? 11.已知 cos?α - ?+sin α = 3,则 cos?α - ?的值是______. 6? 3? 5 ? ? π? 3 3 ? 解析:cos?α - ?+sin α = cos α + sin α 6 2 2 ? ? = 4 3, 5

1 3 4 cos α + sin α = , 2 2 5 π? 1 3 4 ? ∴cos?α - ?= cos α + sin α = . 3? 2 2 5 ? 4 答案: 5 12.若 cos (α -β )= +β 的值. π 解:∵0<α <β < , 2 π ∴- <α -β <0,0<2α <π . 2 ∴由 cos(α -β )= 5 , 5 5 10 ,cos 2α = ,并且 α 、β 均为锐角,且 α <β ,求 α 5 10

2 5 得 sin(α -β )=- , 5 由 cos 2α = 10 , 10

4

3 10 得 sin 2α = . 10 ∴cos(α +β )=cos[2α -(α -β )] =cos 2α cos(α -β )+sin 2α sin(α -β ) = 10 5 3 10 ? 2 5? 2 × + ×?- ?=- 2 . 10 5 10 ? 5 ?

又 α +β ∈(0,π ), 3π ∴α +β = . 4

4 2 13.已知△ABC 中,sin(A+B)= ,cos B=- ,求 cos A. 5 3 2 解:∵cos B=- , 3 ∴B 为钝角,且 sin B= ∴A+B 为钝角. 4 ∵sin(A+B)= , 5 ∴cos(A+B)=- 3 ?4?2 1-? ? =- . 5 ?5? 5 . 3

∴cos A=cos[(A+B)-B] =cos(A+B)cos B+sin(A+B)sin B 3 ? 2? 4 5 6+4 5 =- ×?- ?+ × = . 5 ? 3? 5 3 15

1.应用两角差余弦公式的三个注意点 (1)在差角的余弦公式中,α ,β 既可以是单角,也可以是复角. (2)要注意诱导公式的应用. (3)公式的应用具有灵活性,解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择. 2.应用两角差余弦公式解决的两类问题 (1)给式求值或给值求值问题,即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值), 求另外一些角的三角函数值,关键在于“变式”或“变角”,使“目标角”换成“已知 角”.注意公式的正用、逆用、变形用,有时需运用拆角、拼角等技巧. (2)“给值求角”问题,实际上也可转化为“给值求值”问题,求一个角的值,可分以 下三步进行:
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①求角的某一三角函数值;②确定角所在的范围(找区间);③确定角的值. 确定用所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目而定.

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