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浙江省温州市十校联合体2013-2014学年高二下学期期末联考数学(理)试卷Word版含答案

浙江省温州市十校联合体2013-2014学年高二下学期期末联考数学(理)试卷Word版含答案

温 州 市 十 校 联 合 体 2013-2014 学 年 高 二 下 学 期 期 末 联 考 数 学( 理 )

试题

一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)

? ? 1.若集合 M ? x x2 ? 4, x ? R , N ? {x |1 ? x ? 3, x ? R} ,则 M ? N ? ( ▲ )

A.{x | ?2 ? x ? 1} B.{x |1 ? x ? 2} C.{x | ?2 ? x ? 2}

D.{x | x ? 2}

2.下列函数中,在区间 ?0, ??? 上为增函数的是( ▲ )

A. y ? 1 x

B. y ? ? x ?1

C. y ? ln ? x ? 2?

D.

y

?

? ??

1 2

x
? ??

3. 已知 ?ABC 中,“ sin A ? 1 ”是“ A ? ? ”的( ▲ )

2

6

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知圆的方程为 x2 ? y2 ? 6x ? 8y ? 0 ,设该圆中过点 M (?3, 5) 的最长弦、最短弦分别

为 AC, BD ,则 AC ? BD 的值为( ▲ )

A. 10 ? 26 B. 10 ? 2 26 C. 10 ? 2 6 D. 10 ? 4 6

5.已知? , ? 是两个不同的平面, m, n 是两条不同的直线,则下列命题不.正.确.的是( ▲ )

A.若 m // n, m ? ? ,则 n ? ?

B.若 m // ? ,? ? ? ? n ,则 m // n

C.若 m ? ? , m ? ? ,则? // ?

D.若 m ? ? , m ? ? ,则? ? ?

6.将函数 y ? sin(2x ? ? ) 图象向左平移 ? 个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程是(▲ )

6

4

A. x ? ? 12

B. x ? ? 6

C. x ? ? 3

D. x ? ? ? 12

7.设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn 。若 q ? 2 , S100 ? 36 ,则 a1 ? a3 ? ... ? a99 ? ( ▲ )

A.24

B. 12

C.18

D.22

8.若 ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为1,若 OA ? AB ? OC ? 0 ,且| OA |?| AB | ,则

CA ? CB 等于( ▲ )

A. 3 2

B. 3

C. 3

D. 2 3

9.已知双曲线 C

:

x2 9

?

y2 16

? 1的左右焦点分别为

F1,

F2



P

为C

的右支上一点,且

PF2 ? F1F2 ,则 ?PF1F2 的面积等于( ▲ )

A. 24

B. 36

C. 48

D. 96

10.定义在

R

上的奇函数

f

(x)

,当 x

?

0 时,

f

(x)

?

??log 1 (x ?2

? 1), x ?[0,1)

,则函数

??1? | x ? 3 |, x ?[1,??)

F (x) ? f (x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为( ▲ )

A. 2a ? 1

B. 2?a ? 1

C.1 ? 2?a

D.1 ? 2a

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)

11.若点 P(m,3) 在不等式 2x ? y ? 4 表示的平面区域内,则 m 的取值范围为___▲___.

12.若 sin(? ? ? ) ? ? 1 ,? ? ?? ? ,? ?? ,则 cos? ? ___▲___

2

?2 ?

13.如果一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图中△ABC 是边长为 2 的正三 角形,俯视图为正六边形,那么该几何 体的侧视图的面积为____▲____.

14. x,y ? R,且xy

?

0 ,则 ??? x 2 ?

?

1 y2

???????

1 x2

?

4y2

?? 的最小值为___▲__. ?

15. 已知点 A(0,4) 和抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F ,若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,

则 B 到该抛物线准线的距离为___▲___.

? ? 16.已知数列 an 满足递推关系式 an?1 ? 2an ? 2n ? 1

(n∈N*),且

? ? ?

a

n? 2n

?

? ? ?

为等差数列,

则 ? 的值是___▲___.

17.对于函数 f (x) ? lg x ? 2 ?1 ,有如下三个命题:

① f (x ? 2) 是偶函数;

② f (x) 在区间 ???, 2? 上是减函数,在区间 ?2, ??? 上是增函数;

③ f (x ? 2) ? f (x) 在区间 ?2, ??? 上是增函数.
其中正确命题的序号是 ▲ .(将你认为正确的命题序号都填上)

三、解答题(本大题共 4 小题,共 52 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
18. (本题满分 12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a , b , c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac
(1)求 B;
(2)若△ABC 的面积 S= 4 3 , a =4,求边 b 的长度.

19.(本题满分 12 分)设等差数列?an ?的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 4S2 , a4 ? 2a2 ? 1. (1)求数列?an ?的通项公式;

(2)若数列

?bn

?满足

bn an

?

1 2n

, n ? N ? ,设Tn 为数列?bn ?的前 n 项和,试比较Tn 与 3 的

大小.

20.(本小题满分 14 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为矩形,平面 ABEF ? 平 面 ABCD,EF//AB, ?BAF ? 90 ,AD=2,AB= AF=2EF=l,点 P 在棱 DF 上.
(1)若 P 为 DF 的中点,求证:BF//平面 ACP

(2)若二面角 D-AP-C 的余弦值为 6 ,求 PF 的长度. 3

21.(本小题满分 14 分)已知抛物线

y2

?

8

x

的焦点为椭圆

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a

? b ? 0) 的右焦

点,且椭圆的长轴长为 4 2 ,左右顶点分别为 A,B,经过椭圆左焦点的直线 l 与椭圆交于 C、
D 两点. (1)求椭圆标准方程:
(2)记 ? ABD 与 ? ABC 的面积分别为 S1 和 S2 ,且 S1 ? S2 ? 2 ,求直线 l 方程;
(3)椭圆的上顶点 G 作直线 m 、 n ,使 m ? n ,直线 m 、 n 分别交椭圆于点 P 、Q .问:

PQ 是否过一定点,若是求出该点的坐标;若不是,请说明理由.

2013 学年第二学期温州市十校联合体期末考试 高二数学(理科)参考答案及评分标准

三、解答题(本大题共 4 小题,共 52 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
18. 解: (1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以 a2+c2-b2=-ac.

由余弦定理得 cos B=a2+2ca2c-b2=-12,

因此 B=120°. ……………………………………………………………6 分

(2)由 S=12ac sin B=12ac· 23= 43ac=4 3,得 ac=16,又 a=4,知 c=4. ……8 分

所以 A=C=300, 由正弦定理得 b= a sin B =4 sin A
19.解:

3.………………… ………12 分

(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d.

由 S4=4S2,a4=2a2+1 得 ???4a1a?1 ?3d6d??2a81a1??24dd?1. 解得 a1=1,d=2. ……4 分

因此 an=2n-1,n∈N*. (2)由已知bann=21n,n∈N*,

………………v ………5 分

2n-1 由(1)知 an=2n-1,n∈N*,所以 bn= 2n ,n∈N*. ………6 分

又 Tn=12+232+253+…+2n2-n 1, 12Tn=212+233+…+2n2-n 3+22nn-+11,

两式相减得
12Tn=12+??222+223+…+22n??-22nn-+11
=32-2n1-1-22nn-+11,

………9 分

2n+3 所以 Tn=3- 2n . 故 Tn<3

………11 分 ………12 分

20.解:(Ⅰ)证明:连接 BD,交 AC 于点 O,连接 OP.

因为 P 是 DF 中点,O 为矩形 ABCD 对角线的交点,

所以 OP 为三角形 BDF 中位线, 所以 BF // OP,
因为 BF ? 平面 ACP,OP ? 平面 ACP,

F E
P

所以 BF // 平面 ACP. ……………………4 分

(II)因为∠BAF=90?,所以 AF⊥AB,

A

D

因为 平面 ABEF⊥平面 ABCD, 且平面 ABEF ∩平面 ABCD= AB,

B

O

C

所以 AF⊥平面 ABCD,

因为四边形 ABCD 为矩形,

所以以 A 为坐标原点,AB,AD,AF 分别为 x,y,z 轴,建立如图所示空间直角坐标

系 O ? xyz .

………6 分

z

F

所以 B(1, 0, 0) , E(1 , 0,1) ,, C(1, 2,0) .
2
因为 AB⊥平面 ADF,所以平面 APF 的法向量为

n1 ? (1, 0, 0) .

……8 分 [

E
A B x

P
D y
C

设 P 点坐标为 (0, 2 ? 2t, t) ,

在平面 APC 中, AP ? (0, 2 ? 2t,t) , AC ? (1, 2, 0) ,

所以 平面 APC 的法向量为

n2

?

(?2,1,

2t

? t

2)



………10 分

所以

cos

?

n1, n2

??

|

| n1 n1 |

? n2 | ? | n2

|

?

2

? 6 , ………12 分

(?2)2 ?1? ( 2t ? 2)2 3

t

解得 t ? 2 ,或 t ? 2 (舍). 此时| PF |? 5 .

3

3

…………14 分

21 解 (I)由题设可知抛物线 y2 ? 8x 的焦点坐标为(2,0)

故椭圆中的 c=2,又椭圆的 a= 2 2 所以 b2 ? a2 ? c2 ? 4
故椭圆标准方程为: x2 ? y2 ? 1 84
(II)由题意可设直线 l : x ? my ? 2 ,代入椭圆方程得

………4 分

(m2 ? 2) y2 ? 4my ? 4 ? 0

设 C(x1, y1), D(x2 , y2 ) ,A(- 2 2 ,0),B( 2 2 ,0)



y1

?

y2

?

4m m2 ?

2



………6 分

于是 S1 ? S2

? 1?4 2

2? | y1 ? y2 |? 2

2

|

4m m2 ?

2

|?

4

解得 m= ? 2 ,故直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 。

………8 分

(III)易知 G(0 , 2) ,直线 m 、n 的斜率显然存在,设直线 m : y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程

得 x 2 ? 2(kx ? 2)2 ? 8 ,即 (2k 2 ? 1)x 2 ? 8kx ? 0 ,

解得

P????

?

1

8k ? 2k

2

,

2 ? 4k 2 1 ? 2k 2

??? . ?

同理,直线 n

的方程为

y

?

?

1 k

x

?

2

, Q????

k

8k 2?

2

,

2k 2 ? 4 k2 ?2

????

.………………

10 分

故直线

PQ

的方程为

y

?

2 1

? ?

4k 2 2k 2

?

k

2? 3k

1

?? ?

x

?

1

8k ? 2k

2

?? , ?

…………12 分

即 y ? k2 ?1 x ? 2 3k 3

所以,直线 PQ 经过定点 ?? 0 , ? 2 ?? . …………14 分 ? 3?


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