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【师说】2015-2016学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 15直线与抛物线的位置关系课时作业 新人教A版选修2-1

【师说】2015-2016学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 15直线与抛物线的位置关系课时作业 新人教A版选修2-1

课时作业(十五) 直线与抛物线的位置关系 A 组 基础巩固 1.已知直线 y=kx-k 及抛物线 y =2px(p>0),则( ) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 解析:∵直线 y=kx-k=k(x-1), ∴直线过点(1,0). 2 又点(1,0)在抛物线 y =2px 的内部. ∴当 k=0 时,直线与抛物线有一个公共点; 当 k≠0,直线与抛物线有两个公共点. 答案:C 2 2. 过点(1,0)作斜率为-2 的直线, 与抛物线 y =8x 交于 A, B 两点, 则弦 AB 的长为( ) A.2 13 B.2 15 C.2 17 D.2 19 解析:设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 由直线 AB 斜率为-2,且过点(1,0)得直线 AB 的方程为 y=-2(x-1), 2 2 2 代入抛物线方程 y =8x 得 4(x-1) =8x,整理得 x -4x+1=0, 则 x1+x2=4,x1x2=1, 2 |AB|= 5 ?x1+x2? -4x1x2= 5 16-4=2 15. 答案:B 2 3.设抛物线 y =8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直 线 l 的斜率的取值范围是( ) 1 1 ? ? A.?- , ? B.[-2,2] ? 2 2? C.[-1,1] D.[-4,4] 解析:准线 x=-2,Q(-2,0), 2 设 l:y=k(x+2),由? 2 2 2 ? ?y=k?x+2?, ?y =8x, ? 2 2 得 k x +4(k -2)x+4k =0. 当 k=0 时,x=0,即交点为(0,0), 当 k≠0 时,Δ ≥0,-1≤k<0 或 0<k≤1. 综上,k 的取值范围是[-1,1]. 答案:C 2 4.与直线 2x-y+4=0 平行的抛物线 y=x 的切线方程为( ) A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0 C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0 2 2 解析:设切线方程为 2x-y+m=0,与 y=x 联立得 x -2x-m=0,Δ =4+4m=0,m=- 1, 即切线方程为 2x-y-1=0. 答案:D 2 5.过点(0,-2)的直线与抛物线 y =8x 交于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 2, 则|AB|等于( ) A.2 17 B. 17 C.2 15 D. 15 解析:设直线方程为 y=kx-2,A(x1,y1)、B(x2,y2). 由? ?y=kx-2, ? ?y =8x, ? 2 得 k x -4(k+2)x+4=0. 2 2 ∵直线与抛物线交于 A、B 两点, 2 2 ∴Δ =16(k+2) -16k >0,即 k>-1. x1+x2 2?k+2? 又 = =2,∴k=2 或 k=-1(舍). 2 k2 ∴|AB|= 1+k |x1-x2|= 1+2 ? ?x1+x2? -4x1x2= 5?4 -4?.=2 15. 答案:C 2 6.已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y =8x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点,若 |FA|=2|FB|,则 k=( ) 1 2 2 2 2 A. B. C. D. 3 3 3 3 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 易知 x1>0,x2>0,y1>0,y2>0, ?y=k?x+2? ? 2 2 2 2 由? 2 ,得 k x +(4k -8)x+4k =0, ?y =8x ? ∴x1x2=4.① ∵|FA|=x1+ =x1+2,|FB|=x2+ =x2+2, 2 2 且|FA|=2|FB|,∴x1=2x2+2.② 2 2 由①②得 x2=1,∴B(1,2 2),代入 y=k(x+2),得 k= . 3 答案:D 2 7.已知抛物线 y =4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 2 2 则 y1+y2的最小值是________. 2 2 解析:设 AB 的方程为 x=my+4,代入 y =4x 得 y -4my-16=0,则 y1+y2=4m,y1y2= 2 2 2 2 2 2 -16,∴y1+y2=(y1+y2) -2y1y2=16m +32,当 m=0 时,y1+y2最小为 32. 答案:32 2 8.抛物线 y =4x 上的点到直线 x-y+4=0 的最小距离为________. 2 解析:可判断直线 y=x+4 与抛物线 y =4x 相离, 2 设 y=x+m 与抛物线 y =4x 相切, ?y=x+m, ? 2 则由? 2 消去 x 得 y -4y+4m=0. ?y =4x, ? ∴Δ =16-16m=0,m=1. |4-1| 3 2 又 y=x+4 与 y=x+1 的距离 d= = , 2 2 3 2 则所求的最小距离为 . 2 3 2 答案: 2 2 9.给定抛物线 C:y =4x,F 是抛物线 C 的焦点,过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点.若 |FA|=2|BF|,求直线 l 的方程. 解析:显然直线 l 的斜率存在,故可设直线 l:y=k(x-1), ? ?y=k?x-1? 2 2 2 2 联立? 2 ,消去 y 得 k x -(2k +4)x+k =0, ?y =4x ? 1 则 x1x2=1,故 x1= ,① 2 2 2 2 p p x2 → → 又|FA|=2|BF|,∴FA=2BF,则 x1-1=2(1-x2)② 1 由①②得 x2= (x2=1 舍去), 2 ?1 ? 所以 B? ,± 2?,得直线 l 的斜率为 k=kBF=±2 2, ?2 ? ∴直线 l 的方程为 y=±2 2(x-1). B 组 能力提升 2 10.过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线

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