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高考一轮理科数学(北师大版)课件:第八章 第7节 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直_图文

高考一轮理科数学(北师大版)课件:第八章 第7节 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直_图文

第7节 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量;2.能用向量语言表述线 线、线面、面面的平行和垂直关系; 3.能用向量方法证明立体几何中有关 线面位置关系的一些简单定理. 知识梳理 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 → (1)直线的方向向量:l 是空间一直线,A,B 是直线 l 上任意两点,则称AB为直线 l → 非零向量 也是直线 l 的方向向量. 的方向向量,与AB平行的任意__________ (2)平面的法向量可利用方程组求出:设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平面 α ? a=0, ?n· 的法向量,则求法向量的方程组为? ? b=0. ?n· 2.空间位置关系的向量表示 位置关系 直线l1,l2的方向向 量分别为n1,n2 直线l的方向向量为 n,平面α的法向量 为m 平面α,β的法向量 l⊥α n∥m?n=λm l 1 ∥l 2 l 1 ⊥l 2 l∥α 向量表示 n1∥n2?n1=λn2 n1· n2=0 n1⊥n2?______________ n· m=0 n⊥m?____________ α∥β α⊥β n∥m?n=λm n· m=0 n⊥m?____________ 分别为n,m [常用结论与微点提醒] 1.用向量知识证明立体几何问题,仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量 与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外. 2.用向量证明立体几何问题,写准点的坐标是关键,要充分利用中点、向量共线、 向量相等来确定点的坐标. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) ) (2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a∥α.( (3)若两平面的法向量平行,则两平面平行.( ) ) (4)若直线a的方向向量与平面α的法向量垂直,则a∥α.( 解析 (1)直线的方向向量不是唯一的,有无数多个; (2)a⊥α;(3)两平面平行或重合;(4)a∥α或a α. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(教材练习改编)已知平面α,β的法向量分别为n1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4), 则( A.α∥β C.α,β相交但不垂直 ) B.α⊥β D.以上均不对 解析 ∵n1≠λn2,且n1·n2=2×(-3)+3×1+5×(-4)=-23≠0,∴α,β相交但 不垂直. 答案 C 3. 若直线 l 的方向向量为 a = (1 , 0 , 2) ,平面 α 的法向量为 n = ( - 2 , 0 ,- 4) ,则 ( ) B.l⊥α D.l与α斜交 α A.l∥α C.l 解析 ∵a=(1,0,2),n=(-2,0,-4), ∴n=-2a,即a∥n.∴l⊥α. 答案 B 4.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面 ABC 法向量的是 ( ) B.(1,-1,1) ? D.? ? A.(-1,1,1) ? C.?- ? 3 3 3? ? 3 ,- 3 ,- 3 ? 3 3 3? ? 3 , 3 ,- 3 ? 解析 设 n=(x,y,z)为平面 ABC 的法向量, → ? ? ?n· AB=0, ?-x+y=0, 则? 化简得? ∴x=y=z. ? → ?-x+z=0, ? AC=0, ?n· 答案 C 5.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O是底面正方 形 ABCD 的中心, M 是 D1D 的中点, N 是 A1B1 的中点,则 直线ON,AM的位置关系是________. 解析 → ,AD → ,AA → 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐 以 A 为原点,分别以AB 1 ? ?1 1 ? 1? A(0 , 0 , 0) , M ?0,1,2? , O ?2,2,0? , ? ? ? ? 标系 ( 图略 ) ,设正方体的棱长为 1 ,则 ?1 ? → ? ? 1? ? 1 → N?2,0,1?.AM·ON=?0,1,2?·?0,-2,1?=0,∴ON ? ? ? ? ? ? 与 AM 垂直. 答案 垂直 考点一 利用空间向量证明平行问题 【例 1】 (一题多解)如图,在四面体 ABCD 中,AD⊥平面 BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2 2,M 是 AD 的中点,P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ=3QC. 证明:PQ∥平面 BCD. 证明 法一 如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP 所在射线分别为y, z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz. 由题意知,A(0, 2,2),B(0,- 2,0),D(0, 2,0). → =3QC →, 设点 C 的坐标为(x0,y0,0).因为AQ 所以 ?3 Q? x0, ?4 2 3 1? + y0, ?. 4 4 2? ? 1? P?0,0,2?, ? ? 因为 M 为 AD 的中点,故 M(0, 2,1). 又 P 为 BM 的中点,故 ?3 ? 2 3 → 所以PQ=? x0, + y0,0?. 4 4 ?4 ? → 又平面 BCD 的一个法向量为 a=(0,0,1),故PQ·a=0. 又 PQ 平面 BCD,所以 PQ∥平面 BCD. 法二 在线段CD上取点F,使得DF=3FC,连接OF,同法一建立空间直角坐标系, 写出点A,B,C的坐标,设点C坐标为(x0,y0,0). 1 → 1→ ∵CF= CD,设点 F 坐标为(x,y,0),则(x-x0,y-y0,0)= (-x0, 2-y0,0), 4 4 ? 3 ?x=4x0, ?3 ? 2 3 → ∴? ∴OF=? x0, + y0,0? 4 4 ?4 ? ?y= 2+3y0, 4 4 ? ? 3 2 3 → ? 又由法一

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