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解析几何在附加题中的常考题型

解析几何在附加题中的常考题型

解析几何在附加题中的常考题型

解析几何在附加题中的常考题型

1. 已知抛物线 L 的方程为 x2 ? 2 py( p ? 0) ,直线 y ? x 截抛物线 L 所得弦 AB ? 4 2 .

(1) 求 p 的值;

(2) 抛物线 L 上是否存在异于点 A 、 B 的点 C ,使得经过 A 、 B 、 C 三点的圆和抛物 线 L 在点 C 处有相同的切线.若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由.

?y ? x

解:(1)



? ?

x

2

? 2 py

解得 A(0,0), B(2 p, 2 p) ,

所以 4 2 ? AB ? 4 p2 ? 4 p2 ? 2 2 p ,所以 p ? 2 .

(2) 由(1)得 x2 ? 4 y , A(0, 0), B(4, 4) ,

假设抛物线 L 上存在异于点 A 、 B 的点 C(t, t2 )(t ? 0,t ? 4) ,使得经过 A 、 B 、C 4

三点的圆和抛物线 L 在点 C 处有相同的切线.

令圆的圆心为

N (a, b)

,则由

?NA ??NA

? ?

NB NC



?a2 ? ???a2

? ?

b2 b2

? ?

(a (a

? 4)2 ? (b ? 4)2 ? t)2 ? (b ? t2 )2
4



?a ? b ? ? ???4a ? tb

4 ?

2t

?

1 8

t2

?

???a ? ???b

? ?

? t2 t2 ?

? 4t 8 4t ? 8

32



因为抛物线

L

在点 C

处的切线斜率

k

?

y ' |x?t

?

t 2

(t

?

0)



又该切线与

b? t2 NC 垂直,所以 4

.t

? ?1 ? 2a ? bt ? 2t ? 1 t3

?0

a?t 2

4

所以 2(? t2 ? 4t ) ? t t2 ? 4t ? 32 ? 2t ? 1 t3 ? 0 ? t3 ? 2t2 ? 8t ? 0

8

8

4

因为 t ? 0,t ? 4 ,所以 t ? ?2 .故存在点 C 且坐标为 (?2,1) .

2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(?1,1) ,P 是动点,且三角形 POA

的三边所在直线的斜率满足 kOP+kOA=kPA. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程;

(2)若 Q 是轨迹 C 上异于点 P 的一个点,且 PQ ? ?OA?? ? 0? ,直线

OP 与 QA 交于点 M,问:是否存在点 P 使得△PQA 和△PAM 的面 积满足 S?PQA ? 2S?PAM ? 若存在,求出点 P 的坐标;若 不存在,说 明理由.

1/5

解析几何在附加题中的常考题型

解:(1)设点 P(x, y) 为所求 轨迹上的任意一点,则由 kOP ? kOA ? kPA 得,

y ? 1 ? y ?1 ,整理得轨迹 C 的方程为 y ? x2 ( x ? 0 且 x ? ?1 ). ····3 分 x ?1 x ?1

(2):学设 P(x1, x12 ) , Q(x2 , x22 ) ,

由 PQ ? ?OA?? ? 0? 可知直线 PQ//OA ,则 kPQ ? kOA ,



x22 x2

? x12 ? x1

?

1? 0 ?1? 0

,即

x2

? ?x1

?1 ,

5分

直线 OP 方程为: y ? x1x ①;

直线

QA

的斜率为:

(?x1 ?1)2 ?1 ?x1 ?1 ? 1

?

?

x1

?

2



∴直线 QA 方程为: y ?1 ? (?x1 ? 2)(x ?1) ,即 y ? ?(x1 ? 2)x ? x1 ?1 ②

联立①②,得 x ? ? 1 ,∴点 M 的 横坐标为定值 ? 1 .

8分

2

2

由 S?PQA ? 2S?PAM ,得到 QA ? 2AM ,因为 PQ//OA ,所以 OP ? 2OM ,

由 PO ? 2OM ,得 x1 ? 1 ,∴ P 的坐标为 (1,1) . ∴存在点 P 满足 S?PQA ? 2S?PSM , P 的坐标为 (1,1) . 10 分 3.在平面直角坐标系 xoy 中,已知焦点为 F 的抛物线 x2 ? 4 y 上有两个动点 A 、 B ,且满

足 AF ? ? FB , 过 A 、 B 两点分别作抛物线的切线,设两切线的交点为M.
??? ???
(1) 求: OA ? OB 的值;

(2) 证明: FM ? AB 为定值.

解:设 A(x1,

x12 4

), B(x2 ,

x

2 2

)

4

?焦点 F(0,1) ?

AF

?

(?x1,1 ?

x12 4

), FB

?

(x2 ,

x22 4

? 1)

?

AF

?

? FB

?

?? ???1 ?

? x1 x12 ? 4

? ?x2 ?( x22
4

? 1)



?



x1

(

x22 4

?1) ?

x2 (1 ?

x12 ) 4

?

0

化简整理得 (x1

?

x2

)(

x1 x2 4

? 1)

?

0

? x1

?

x2 ? x1x2

? ?4 ? y1 y2

?

x12 4

?

x22 4

?1 ?

OA? OB ? x1x2

? y1 y2

? ?3 (定值)

(2)抛物线方程为 y ? 1 x 2 ? y? ? 1 x

4

2

? 过抛物线

A、B

两点的切线方程分别为

y

?

1 2

x1 (x

?

x1 )

?

x12 4



y

?

1 2

x2 (x

?

x2 )

?

x22 4



y

?

1 2

x1 x

?

x12 4



y

?

1 2

x2 x

?

x22 4

联立解出两切线交点

M

的坐标为 ?? ?

x1

? 2

x2

,?1?? ?

2/5

解析几何在附加题中的常考题型

? FM ? AB ? ?? x1 ?

? x2 2

. ? 2??????? x2

? x1, x22

? x12 4

???? =

x22

? x12 2

?

x22

? x12 2

? 0 (定值)

4.对称轴为坐标轴,顶点在坐标原点的抛物线 C 经过两点 A(a,2a)、B(4a,4a),(其中 a 为 正常数). (1)求抛物线 C 的方程;
(2)设动点 T (m,0)(m ? a) ,直线 AT、BT 与抛物线 C 的另一个交点分别为 A1、B1,当 m 变

化时,记所有直线 A1B1 组成的集合为 M,求证:集合 M 中的任意两条直线都相交且交点都
不在坐标轴上. 解:(1)当抛物线焦点在 x 轴上时,设抛物线方程 y2=2Px,



??4a 2 ? ??16a

? 2 pa 2 ? 8 pa

∴P=2a……2′

∴y2=4ax

当抛物线焦点在 y 轴上时,设抛物线方程 x2=2py



??16a 2

? ??a

2

?

? 8 pa 4 pa

∴方程无解 ∴抛物线不存在……4′

(2)设 A1(as2,2as)、B1(at2,2at) T(m,0)(m>a)

∵ kTA ? kTA1

∴a2-ma

2as =as2-m

∴as2+(m-a)s-m=0

∵(as+m)(s-1)=0

∴S=-

m a

∴A1(ma2

,-2m) ……5′∵ kTB

?

kTB1

∴4a4-am

2at =at2-m

∵2at2+(m-4a)t-2m=0

∴(2at+m)(t-2)=0∴t=-

m 2a

∴B1(m4a2 ,-m) ……6′



l

A1B1

的直线方程为

-2m+m y+2m=m2 m2

m2 (x- a

)……7′

a - 4a

∵直线的斜率为 ? 4a 在 (a,??) 单调∴所以集合 M 中的直线必定相交,……8′ 3m

∵直线的横截距为 ? m 2 在 (a,??) 单调,纵截距为 ? 2m 在 (a,??) 单调

2a

3

∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上。

5.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线的顶点在原点,焦点为 F(1,0).过抛物线在 x

轴上方的不同两点 A 、B 作抛物线的切线 AC 、BD ,与 x 轴分别交于 C 、D 两点,且 AC

与 BD 交于点 M ,直线 AD 与直线 BC 交于点 N .

y

(1)求抛物线的标准方程;

A

(2)求证: MN ? x 轴;

M

(3)若直线 MN 与 x 轴的交点恰为 F(1,0),

B N

求证:直线 AB 过定点.

C

D OF

x

解:(1)设抛物线的标准方程为 y2 ? 2 px( p ? 0) ,

由题意,得

p 2

? 1 ,即

p?2



3/5

(第 23 题)

解析几何在附加题中的常考题型

所以抛物线的标准方程为 y2 ? 4x .3 分

(2)设 A(x1,y1) , B(x2,y2 ) ,且 y1 ? 0 , y2 ? 0 .

由 y2 ? 4x ( y ? 0 ),得 y ? 2 x ,所以 y? ? 1 . x

所以切线 AC 的方程为 y ? y1 ?

1 x1

(x ? x1)

,即

y?

y1

?

2 y1

(x ?

x1) .

整理,得 yy1 ? 2(x ? x1) ,



且 C 点坐标为 (?x1,0) .

同理得切线 BD 的方程为 yy2 ? 2(x ? x2 ) ,②

且 D 点坐标为 (?x2,0) .

由①②消去

y

,得 xM

?

x1 y2 y1

? x2 y1 ? y2

.5 分

又直线

AD 的方程为

y

?

x1

y1 ? x2

(x

?

x2 ) ,③

直线

BC

的方程为

y

?

x1

y2 ? x2

(x

?

x1 )





由③④消去

y

,得 xN

?

x1 y2 y1

? x2 y1 ? y2



所以 xM ? xN ,即 MN ? x 轴. ……7 分

(3)由题意,设 M (1,y0 ) ,代入(1)中的①②,得 y0 y1 ? 2(1 ? x1) , y0 y2 ? 2(1? x2 ) .

所以 A(x1,y1),B(x2,y2 ) 都满足方程 y0 y ? 2(1 ? x) .

所以直线 AB 的方程为 y0 y ? 2(1 ? x) .

故直线 AB 过定点 (?1,0) .10 分

6.如图,已知点 F(0, p) ,直线 l : y ? ? p(其中p为常数且p ? 0) ,M 为平面内的动点,过 M 作 uuuur uuur uuur uuur
l 的垂线,垂足为 N ,且 NM ? NF ? FM ? FN .

(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程;

(2)设 Q 是 l 上的任意一点,过 Q 作轨迹 C 的切线,切点为 A 、 B .

y

①求证: A 、 Q 、 B 三点的横坐标成等差数列;

②若 Q(?4, ? p) , AB ? 20 ,求 p 的值.

F

(1)设 M (x, y) ,则 N(x, ? p) ,? NM ? (0, y ? p) ,

O

NF ? (?x, 2 p) , FM ? (x, y ? p) , FN ? (x, ?2 p) ,

l

NM ? NF ? FM ? FN ,?2 p( y ? p) ? x2 ? 2 p( y ? p) ,

? x2 ? 4 py ,即动点 M 的轨迹 C 的方程为 x2 ? 4 py ;

另解:设 M (x, y) ,则 N(x, ? p) , NM ? NF ? FM ? FN ,? NF ? (MN ? MF ) ? 0 , ?以 MN, MF 为邻边的平行四边形是菱形,?MF ? MN ,

? x2 ? (y ? p)2 ? y ? p ,? x2 ? 4 py ,

即动点 M 的轨迹 C 的方程为 x2 ? 4 py ;

M
x N

4/5

解析几何在附加题中的常考题型

(2)①设

Q( x0

,

?

p)



A( x1 ,

x12 4p

)



B(

x2

,

x22 4p

)

,则

切线

QA 的方程

y

?

x12 4p

?

x1 2p

(x

?

x1, ) ,

?? p ? x12 4p

?

x1 2p

(

x0

? x1) ,? x12

? 2x0 x1 ? 4 p2

? 0,



同理? x22 ? 2x0 x2 ? 4 p2 ? 0 , ② 方法 1:①②得 (x1 ? x2 )(x1 ? x2 ? 2x0 ) ? 0 , 即 A 、 Q 、 B 三点的横坐标成等差数列.

x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 2x0 ? 0 ,? x1 ? x2 ? 2x0 ,

方法 2:由①②得 x1, x2 是方程 x2 ? 2x0 x ? 4 p2 ? 0 的两根, ? x1 ? x2 ? 2x0 ,即 A 、 Q 、 B 三点的横坐标成等差数列.

②由①②得

x1 ,

x2

是方程

x2

?

2x0 x

?

4 p2

?

0

的两根,?

? ? ?

x1 x1

? x2 ? 2 ? x2 ? ?4

x0 p2



Q(? 4?, p

,) ?

? ? ?

x1 x1 ?

? x2 x2 ?

? ?8 ?4 p2



AB ? 20 ,?

( x1

?

x2 )2

? ( x12 4p

?

x22 )2 4p

?

20 ,

?

( x1

?

x2

)2[1

?

(x1 ? x2 16 p2

)2

]

?

20

,?

(64 ? 16 p2 )(1 ?

4 p2

)

? 20 ,

? p4 ?17 p2 ? 16 ? 0 ,? p ?1 或 p ? 4 .

5/5


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