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(教师用书)高中数学 第一章 导数及其应用章末归纳提升课件 苏教版选修2-2_图文

(教师用书)高中数学 第一章 导数及其应用章末归纳提升课件 苏教版选修2-2_图文

导数的计算与导数的几何意义 导数的运算,要熟练掌握基本初等函数导数公式和运 算法则.由于函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0),就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率,其切线方程为 y- f(x0)=f′(x0)(x-x0).因此关于曲线的切线问题可尝试用导数 的方法解决. 已知抛物线 C1:y1=x2-2x+2 与抛物线 C2:y2= -x2+ax+b 在它们的一个公共点处的切线互相垂直. (1)求 a,b 之间的关系; (2)若 a>0,b>0,求 ab 的最大值. 【思路点拨】 由导数的几何意义,求两曲线在公共点 P(x0,y0)处的切线斜率,从而求出 a,b 间的关系,运用基 本不等式求最值. 【规范解答】 (1)依题意 y′1=2x-2,y′2=-2x+a, 设它们的公共点为 P(x0,y0),因为在 P 点处切线互相垂直. ∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1, 2 即 4x0 -2(a+2)x0+2a-1=0,① 则 Δ=4[(a-2)2+4]>0, 2 又∵y0=x0 -2x0+2,且 y0=-x2 0+ax0+b, 2 相减得:2x0 -(a+2)x0+2-b=0,② 5 由①②消去 x0 得:2b+2a=5,即 a+b= . 2 a+b 2 5 2 25 (2)由(1)得 ab≤( ) =( ) = , 2 4 16 5 当且仅当 a=b= 时上式取等号, 4 25 ∴ab 的最大值为 . 16 已知函数 f(x)= x,g(x)=aln x,a∈R.若曲线 y=f(x) 与曲线 y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值 及该切线的方程. 【解】 设两曲线的交点 P(x0,y0), 1 a ∵f′(x)= ,g′(x)= (x>0), x 2 x ? x0=aln x0, ? 1 由已知得:? 1 解得 a= e,x0=e2. a 2 = , ? ?2 x0 x0 ∴两条曲线交点的坐标 P(e2,e). 1 2 又 k=f′(x)|x=e2=f′(e )= . 2e 1 所以切线的方程为 y-e= (x-e2),即 x-2ey+e2=0. 2e 利用导数研究函数的性质 导数作为数学工具, 求解单调区间、 研究函数的极大(小) 值以及求在闭区间[a, b]的最大(小)值是本章的重点, 其中求 函数的极值是关键. ex (2013· 合肥高二检测)设 f(x)= 2,其中 a 为正 1+ax 实数. 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 4 【思路点拨】 (1)当 a= 时,求 f′(x)=0 的根,然后利 3 用极值与导数的关系判定; (2)转化为判定 f′(x)不变号满足的 不等式,求 a 的范围. 【规范解答】 2 1 + ax -2ax x 对 f(x)求导得 f′(x)=e .① (1+ax2)2 4 (1)当 a= 时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0, 3 3 1 解得 x1= ,x2= .结合①,可知 2 2 1 (-∞, ) 2 + 1 3 ( , ) 2 2 - 3 ( ,+∞) 2 + x f′(x) f(x) 1 2 0 3 1 e 4 2 3 2 0 1 3 e 4 2 1 3 1 3 由上表知,f(x)在 x= 时取极大值 e2;当 x= 时 f(x) 2 4 2 1 3 有极小值 e2. 4 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数, 则 f′(x)在 R 上不变号, 结 合①与条件 a>0,知 1+ax2-2ax≥0 在 R 上恒成立,即 Δ =4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1. 所以 a 的取值范围为(0,1]. 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在点 x0 处取得极小值-4, 使其导函数 f′(x)>0 的 x 的取值范围为(1,3). (1)求 f(x)的解析式及 f(x)的极大值; (2)当 x∈[2,3]时,求 g(x)=f′(x)+6(m-2)x 的最大值. 【解】 (1)由题意知 f′(x)=3ax2+2bx+c =3a(x-1)(x-3)(a<0). ∴在(-∞,1)上 f′(x)<0,f(x)是减函数, 在(1,3)上 f′(x)>0,f(x)是增函数, 在(3,+∞)上 f′(x)<0,f(x)是减函数. 因此 f(x)在 x0=1 处取得极小值-4, 在 x=3 处取得极大值. ?a+b+c=-4, ? ∴?f′(1)=3a+2b+c=0, ?f′(3)=27a+6b+c=0, ? 解得 a=-1,b=6,c=-9,∴f(x)=-x3+6x2-9x. 则 f(x)在 x=3 处取得极大值 f(3)=0. (2)g(x)=-3(x-1)(x-3)+6(m-2)x =-3(x2-2mx+3), g′(x)=-6x+6m=0,得 x=m. ①当 2≤m≤3 时,g(x)max=g(m)=3m2-9; ②当 m<2 时,g(x)在[2,3]上是减函数, g(x)max=g(2)=12m-21; ③当 m>3 时,g(x)在[2,3]上是增函数, g(x)max=g(3)=18m-36. (m<2), ?12m-21 ? 2 因此 g(x)max=?3m -9 (2≤m≤3), ?18m-36 (m>3). ? 导数的综合应用 利用导数可以研究函数,从而为函数的应用提供了有力 的工具,利用导数可以证明函数不等式、判定方程根的情况、 求字母参数的取值范围等. 设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当 a>ln 2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1. 【思路点拨】 第(2)问构造函数 g(x)=ex-

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