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专题补充之--立体几何中的常见模型(续)和动点问题

专题补充之--立体几何中的常见模型(续)和动点问题


专题补充之--立体几何中的常见模型(续)和动点问题 杨世卿
【学习目标】
1.继续上节课的常见模型; 2.掌握立体几何中的动点问题的基本处理方法

【学习重点】动点问题的几种类型 【学习过程】
一、接上节课(立体几何中的常见模型) :四.首尾连接的异面直线模型 例 11.若异面直线 a , b 所成的角为 60 ,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线 a , b 上到 A,B 距离为 2 和 1 的两点,当
?

EF ? 3 时,线段 AB 的长为

.

例 12. 已知在一个 60°的二面角的棱上,如图有两个点 A,B,AC,BD 分别是在这个二面角 的两个半平面内垂直于 AB 的线段, 且 AB=4 cm, AC=6 cm, BD=8 cm, 则 CD 的长为________. 五.害羞的异面直线模型 例 13. 在棱长都相等的四面体 A ? BCD 中,E 、F 分别是棱 AD 、BC 的中点, 连结 AF 、 CE ,如图所示,求异面直线 AF 、 CE 所成角的余弦值.

七.四个面都是直角三角形的模型 例 14.如图, AB 是⊙ O 的直径, PA 垂直于⊙ O 所在的平面,

C 是圆周上不同于 A, B 的一动点。
(1) 求证:平面 PAC ? 平面 PBC ; (2) 若 PA ? AB ? 2 , 过 A 作 AE ? PB 于 E ,AF ? PC 于 F , 求截面三角形 AEF 面积的最大值,以及此时 C 点的位置(用 BC 的长表示) 。 (3) 在第(2)问的条件下,求二面角 A ? PB ? C 的大小。 (4)在第(2)问的条件下求其外接球的体积。 八.三个面两两垂直的模型 例 15.已知 PA,PB,PC 两两互相垂直,且△PAB、△PAC、△PBC 的面积分别为 1.5cm2,

1

2cm2,6cm2,则过 P,A,B,C 四点的外接球的表面积为 其中 r 为球半径) 九.三垂线模型 例 16.看下面正方体中的两个问题。 十.从一点引射线,三线模型,看下面几个问题 先复习三余弦公式__________________.



cm2. (注 S球 ? 4πr 2 ,

例 17.看下面一个问题:自己画图。 二、立体几何中的动点问题 一、求动点轨迹问题 这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题,再判断动点轨迹。 04 年高考北京、天津、重庆都各有一个选择题考查了动点轨迹问题。 例 1(天津 8)如图,定点 A 和 B 都在平面 ? 内,定点 P ? ? , PB ? ? , C 是 ? 内异于 A 和 B 的动点,且 PC ? AC 。那么,动点 C 在平面 ? 内的轨迹是( ) A. 一条线段,但要去掉两个点 B. 一个圆,但要去掉两个点 C. 一个椭圆,但要去掉两个点 D. 半圆,但要去掉两个点 解析:由三垂线定理的逆定理得 ∵AC⊥PC 且 PC 在 ? 内的射影为 BC, 0 ∴AC⊥BC.∴∠ACB=90 . ∴C 点的轨迹为以 AB 为直径圆,但除去 A、B 两点. A 二、动点与某点(面)的距离问题 C 例 2.正方体 ABCD? A1B1C1D1 中,棱长为 a,E 是 AA 1 的中点, 在对角面 BB1D1D 上找一动点 M,使 AM+ME 最小. 解析: ? AC ? BD, AC ? BB1 , BD ? BB1 ? B, ? AC ? 面BB1D1D. 设 AC∩BD=O,则 AO=CO. ∴平面 BB1D1D 是线段 AC 的垂直平分面, ∴C 是 A 关于平面 BB1D1D 的对称点。连 CE 交面 BB1D1D 于 M , 则 M 就是要求的点,这时 AM+ME 最小。又 AM=CM, ∴AM+ME 的最小值就是 CE 的长,而 CE ? 的最小值为 3 a . 2 简评:本题先证明平面 BB1D1D 是线段 AC 的垂直平分面,然后利用 C 是 A 关于平面
2

P

B

?

例 1 题图 D1 A1 E A M D O 例 2 题图 B C B1 C1

AC 2 ? AE 2 ? 2a 2 ? 1 a 2 = 3 a , 此时 AM+ME 4

BB1D1D 的对称点,所以 AM=CM, AM+ME 的最小值,即为 CM+ME 的最小值,即 CE 的长,所以
M 点为 CE 和平面 BB1D1D 的交点。 三、直线与平面(或直线)垂直问题 例 3. (湖北理 20)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为
2

矩形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,AB= 3 , BC=1,PA=2,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE⊥面 PAC,并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离. 解析: (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A、B、C、D、P、E 的坐标为 A(0, 0,0) 、 B( 3 ,0,0) 、C( 3 ,1,0) 、D(0,1,0) 、P(0,0,2) 、E(0, 从而 AC ? ( 3,1,0), PB ? ( 3,0,?2).设 AC与PB 的夹角为θ ,则

1 ,1) , 2

cos ? ?

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

3 2 7

?

3 7 , 14

z P E D C A 例 3 题图(2) P E D N A B 例 3 题图(1) O B x y C

∴AC 与 PB 所成角的余弦值为

3 7 . 14

(Ⅱ)由于 N 点在侧面 PAB 内, 故可设 N 点坐标为(x,O,z) ,则

1 NE ? (? x, ,1 ? z ) ,由 NE⊥面 PAC 2
? 可得, ? NE ? AP ? 0, ? ? ? NE ? AC ? 0.

1 ? (? x, ,1 ? z ) ? (0,0,2) ? 0, ? z ? 1 ? 0, ? ? ? 2 即? 化简得? 1 1 ? 3x ? ? 0. ?(? x, ,1 ? z ) ? ( 3,1,0) ? 0. ? 2 ? ? 2 ?

? 3 ?x ? ∴? 6 ?z ? 1 ?

即 N 点的坐标为 (

3 3 . ,0,1) ,从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1, 6 6

简评:本题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算 能力. 由于 N 点在侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为(x,O,z) ,然后利用 NE⊥面 PAC, 有?

? ? NE ? AP ? 0, ? ? NE ? AC ? 0.

求得动点 N 的坐标为 (

3 ,0,1) . 6

四、直线与平面(或直线)平行问题 例 4.如图, 已知在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中, ∠ABC=60 , PA=AC=a, PB=PD= 2 a
0

点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1.在棱 PC 上有一动点 F,当动点 F 移动到何处时,使 BF∥平 面 AEC?证明你的结论。 解析:由题意知 PA⊥平面 ABCD,以 A 为坐标原点,直线 AD、AP 分别为 y 轴、z 轴,过 点 A 垂直平面 PAD 的直线为 x 轴,建立空间直角坐标系。则 A(0,0,0) 、B(

1 3 a,- a, 2 2

0) 、C(

1 2 1 3 a, a,0) 、D(0,a,0) 、P(0,0,a) 、E(0, a, a) ,所以 AE =(0, 2 3 3 2
P
3

z

E A B F D y

2 1 1 1 1 3 3 3 a, a) , PC =( a, a,-a) , BP =(a, a,a) , AC =( a, a,0) , 3 3 2 2 2 2 2 2
,设点 F 是棱 PC 上的点, AP =(0,0,a)

PF =λ PC =(

1 3 aλ , aλ ,-aλ ) ,其中 0<λ <1,则 BF ? BP ? PF 2 2

=(-

1 1 3 3 a, a,a)+( aλ , aλ ,-aλ ) 2 2 2 2 1 3 a(λ -1) , a(1+λ ) ,a(1-λ ) ).令 BF =λ 1 AC +λ 2 AE , 2 2

=(



? 3 3 a(? ? 1) ? a?1 , ? 2 ? 2 1 2 1 1 3 1 ?1 ? a(1 ? ? ) ? a?1 ? a? 2 , ? ? ? , ?1 ? ? , ? 2 ? ,即? ? 时, 2 3 2 2 2 2 ?2 1 ? a(1 ? ? ) ? a? 2 ? 3 ?
1 3 AC ? AE . 2 2

BF ? ?

此时,F 为棱 PC 的中点.又 BF ? 平面 AEC,所以当 F 是棱的中点时, BF∥平面 AEC . 简 评 : 本 题 主 要 考 查 共 面 向 量 定 理 , 令 BF = λ
1

AC + λ

2

AE , 由 题 意 得 到

BF ? ?

1 3 AC ? AE . 又 BF ? 平面 AEC,说明 BF∥平面 AEC.此时 F 为棱 PC 的中点. 2 2

五、平面与平面垂直问题 例 5.如图, 在正三棱锥 A—BCD 中, ∠DAC=30°, AB=a,平行于 AD、 BC 的截面 EFGH 分别交 AB、BD、DC、CA 于点 E、F、G、H. 设 P 是棱 AD 上的动点,当 AP 为何值时, 平面 PBC⊥平面 EFGH,请给出证明. A 解:作 CP⊥AD 于 P 点,连结 BP,∵AD⊥BC,∴AD⊥面 BCP ∵HG∥AD,∴HG⊥面 BCP,HG ? 面 EFGH. ∴.面 BCP⊥面 EFGH, P

3 a. 2 简评:本题主要考查面面垂直的判定,作 CP⊥AD 找 到 P 点,使 AD⊥面 BCP.由 HG∥AD 得到 HG⊥面 BCP,
在 Rt△APC 中,∠CAP=30°,AC=a,∴AP= 进而得到面 BCP⊥面 EFGH,从而求得 AP=

H G C

D

E

3 a. 2

F 例 5 题图

B

4


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