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第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型


第一章 随机事件及其概率

第二讲

随机事件的概率

古典概率模型

《概率论与数理统计》课程教学团队

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

第二讲 随机事件的概率 古典概率模型
? ? ? ? 一、频率及性质 二、概率及性质与计算 三、古典概率及简单计算 四、小结

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

一、频率及性质
1、频率

定义1:记

Rn ( A) ?

fA n

其中,fA :发生的次数(频数);n:总试验次数.

称R

( A) ? n

fA n

为A在这n次试验中发生的频率.

它反映了事件A发生的频繁程度.

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

例:抛硬币出现的正面的频率.
试验 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n =5 fH 2 3 1 5 1 2 4 2 3 3 Rn(H) 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.4 0.6 0.6 fH 22 25 21 25 24 21 18 24 27 31 n =50 Rn(H) 0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 0.48 0.54 0.62 fH 251 249 256 253 251 246 244 258 262 247 n =500 Rn(H) 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516 0.524 0.494

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

实验者 德?摩根 蒲丰 K?皮尔逊

n 2048 4040 12000

fH 1061 2048 6019

Rn(H) 0.5181 0.5069 0.5016

K?皮尔逊

24000

12012

0.5005

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

2、 频率的性质:
1、 0 ?
Rn ( A) ? 1

2、 R n ( S ) ? 1
3、 设 A , B 是互不相容的事件, 则有
Rn ( A ? B ) ? Rn ( A ) ? Rn ( B )

且频率随n的增大渐趋稳定,记稳定值为p.

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

二 、概率及性质
定义2:频率的稳定值p定义为A的概率,记为P(A)=p.
且满足: 1. 2.
0 ? P ( A) ? 1

P (S ) ? 1

3. 设 A1 , A 2 , ? , A n 是两两互不相容的事件, 有
P ( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P ( A1 ) ? P ( A 2 ) ? ? ? P ( An )

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

思考:已知 P ( A ) ? 0.2 ,P ( B ) ? 0.3,P ( A ? B ) ? 0.4 ,



P ( A, P ( A , P ( A ? B ) B) ? B)

已知

P ( A ) ? 0 .5 , P ( A B ) ? 0 .2 , P ( B ) ? 0 .4

求 (1) P ( A B ) ,(2)

P(A ? B)

,(3)

P(A ? B)

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

概率的性质
由概率的定义可推得概率的如下性质:

性质1 若 A 是 A 的对立事件,则有
P ( A ) ? 1 ? P ( A)

性质2

P (? ) ? 0

性质3 若

A ? B ,则有 P ( B ? A ) ? P ( B ) ? P ( A )

P ( B ) ? P ( A)

性质4 对于任意两事件A, 有 B
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? P ( AB )

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

例1 已知 P ( A ) ? 0.2 ,P ( B ) ? 0.3 , ( A ? B ) ? 0.4 , P

求 P ( A B ), ( A B ) , ( A ? B ) . P P
解 由
P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? P ( A B ) ,得
P ( AB ) ? P ( A) ? P (B ) ? P ( A ? B )

=0.2+0.3-0.4=0.1

P ( A B ) ? P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A ? B ) ? 1 ? 0 .4 ? 0 .6

P ( A ? B ) ? P ( A B ) ? 1 ? P ( A B ) ? 1 ? 0 .1 ? 0 .9

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

例2 解

已知 (1)由

P ( A ) ? 0 .5 , P ( A B ) ? 0 .2 , P ( B ) ? 0 .4

求 (1) P ( A B ) ,(2)
AB ? AB ? B

P(A ? B)

,(3)

P(A ? B)

,且 A B 与

A B 是不相容的,

故有

P ( AB ) ? P ( A B ) ? P ( A)

于是
0 .5 ? 0 .2 ? 0 .3

P ( A ) ? 1 ? P ( A ) ? 1 ? 0.5 ? 0.5
P ( AB ) ? P ( A ) ? P ( A B ) ?

(2) (3)

P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( A B ) ? 0.5 ? 0.3 ? 0.2
P ( A ? B ) ? P ( A.) ? P ( B ) ? P ( A B )

? 0.5 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.6

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

三、古典概型
随机试验具有下列两个特点: 1、随机试验只有有限个可能的结果;

2、每一个结果发生的可能性大小相同.
则称为古典概型,又称为等可能概型.

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

计算方法:

事件 A 的概率等于 A 中包含的样本点数的个
数与样本空间的全部样本点总数的比值.即
k

P ( A ) ? P (? ei ) ?
j

?

k

P ( ei ) ?
j

k n

?

A 包含的基本事件数 S 中基本事件的总数

.

j ?1

j ?1

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

例3 掷一颗匀称骰子, A 表示所掷结果为 设
B “四点或五点”, 表示所掷结果为 “偶数点”,

求 P ( A)和 P ( B ) .

解 设A

1

? {1},

A 2 ? { 2},

?,

A 6 ? { 6}分别表示所掷结果为

“一点”,“两点”,…,“六点”,则样本空间 .
S ? {1, 2, 3, 4, 5, 6} ,
A1 , A 2 , ? , A6

是所有不同的基本事件,

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

于是 由于 得

P ( A1 ) ? P ( A 2 ) ? ? ? P ( A 6 ) ?

1 6

.

A ? A4 ? A5 ? {4, 5},B ? A2 ? A4 ? A6 ? {2, 4, 6} ,

P ( A) ?

2 6

?

1 3



P(B) ?

3 6

?

1 2

.

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

例4 一个袋子中装有10个大小相同的球, 其中3个黑球,7个白球,求 (1)从袋子中任取一球,这个球是黑球的概率; (2)从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的概率 以及两个球全是黑球的概率.

解 (1) 由古典概率计算,事件 A:“取到的球为黑球”, 则 P ( A)
? C3
1 1

?

3 10

C 10

.

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

(2) 记 B 为事件“刚好取到一个白球一个黑球”, 记 C 为事件“两个球均为黑球”,则
P(B) ?
P (C ) ?
C 3C 7
2 C 10 1 1

?
?

21 45
3 45

?
?

7 15
1 15

, .

C3

2

C 10

2

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

? P11 例二 ? 袋中装有10只球,编号为1,2,…10.从中任 取3只,求 ? 1,取出的球中最大号码为5的概率 ? 2,取出的球中最小号码为5的概率 ? 3,取出的球中最大号码小于5的概率

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

? 9. 已知

P ( A ) ? P ( B ) ? P (C ) ?

P ( AB ) ? 0

1 4

P ( AC ) ? P ( BC ) ?

1 16

求事件全不发生的概率。

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

四、课堂练习
1.设
AB ? ? , P ( A ) ? 0 . 6 , P ( A ? B ) ? 0 . 8



求事件 B 的逆事件的概率. 2.设 P ( A ) ? 0 . 4 , P ( B ) ? 0 . 3, P ( A ? B ) ? 0 . 6 , 求
P(A ? B)
n

.
n n n

3.设100件产品中有5件是次品,A ? A ? Ai ? ? Ai ; ? i ? i i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 (1)从中任取15件,求其中恰有2件次品的概率; (2)从中任取5件,求其中至少有2件次品的概率.

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型

五、小结
1.事件概率的定义.
2.事件概率的四个性质与相应概率计算.

3.简单古典概率计算.

第一章 第二讲 随机事件的概率 古典概率模型





教材P23:2、4、5,7


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