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辽宁省庄河市高级中学2016-2017学年高中数学(人教B版必修一)同步课件3.1.2指数函数图像和性质_1_图文

辽宁省庄河市高级中学2016-2017学年高中数学(人教B版必修一)同步课件3.1.2指数函数图像和性质_1_图文

【学习目标】 ?掌握指数函数的定义,图象特 征及性质. ? 加深对图象法,比较法等一些 常规方法的理解.
? 体会分类讨论,数形结合等数 学思想.

指数函数的定义:
函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数,

其中x是自变量 函数定义域是R 值域是(0,?? )
下列函数中,哪些是指数函数?

?1?
?4?

y y

? ?

4x 是 ?2? y ? ?4x 否 ?3? y ? x4

4?x是 ?5?

y

?

4x?1否

?6?

y

?

3 2


x


若 y ? (a2 ? 4)x 是一个指数函数,求a的取值范围。

a2 ? 4 ? 0,且a2 ? 4 ? 1 系数为1

? ? a|a>2或a<-2且a ? ? 5 定义 y=1 ·ax 自变量

常数

探究:为什么要规定a>0,且a ? 1呢?

?

?

0

1

a

a ①若a=0,则当x>0时, x =0;

当x ? 0时, a x 无意义.
②若a<0,则对于x的某些数值,可使 a

x

无意义.

1 如 (?2) x ,这时对于x= 4

,x= 1 2

……等等,在实数范围内函数值不存在.

③若a=1,则对于任何x? R,

a x=1,是一个常量,没有研究的必要性.

为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a?1。

在同一坐标系下作出下列函数的函数图象的关系, 解:列出函数数据表,作出图像 x -3 -2 -1 0 1 2 3

2x

11 84

1

1

2

4

8

2

? 1?x 8

4 2 11

1

1

?? ?2?

2

4

8

3x

1 27

1 9

1 3

13

9 27

?? 1 ??x

9

3

1

11

1

? 3 ? 27

3 9 27

y

y ? ?? 1 ?? x ? 2?

y ? ?? 1 ?? x ? 3?

y ? 3x y ? 2x

1

0

1

x

y

y

y ? ?? 1 ?? x
?y2?? a x
(a ? 1)

y ? ?? 1 ?? x ? 3?

y
y ? 3x y ? 2x
y ? ax
(0 ? a ? 1)

1 1

0

x

0

1

1

0x

x

y

y ? ?? 1 ?? x ? 2?

y ? ?? 1 ?? x ? 3?

y ? 3x y ? 2x

y=1 1

0

1

x

指数函数的图像和性质
y
y ? ax
(a ? 1)

1

0

x

y
y ? ax
(0 ? a ? 1)

1

0

x

指数函数的图像和性质

a>1

0<a<1

6

6

5

5



4

4

3

3

2
11

2
11

象 -4

-2

0

-1

2

4

6

-4

-2

0

-1

2

4

6

1.定义域:R 2.值域:(0,+∞)

3.最值:无;4.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数

性 5.单调性:在 R上是增函数;在R上是减函数

质 6.其它:(1)过点(0,1),即x=0时,y=1

(2)x>0时,y>1

x>0时,0<y<1

x<0时,0<y<1

x<0时, y>1

(3)函数图象与直线x=1的交点随着a的增大远离x轴
a a 函数y= x与y ? ?x关于y轴对称

比较下列各题中两个值的大小:

① 1.72.5 , 1.73

解 :利用函数单调性, 1.72.5 与 1.73

的底数是1.7,它们可以看成函数 y= 1.7x

当x=2.5和3时的函数值;
5

因为1.7>1,所以函数y= 1.7 x

4.5 4

在R上是增函数, ; 而2.5<3,所以,

3.5

3

f?x?

=

1.7x 2.5

2

1.5

1.72.5< 1.73

1 0.5

-2

-1

-0.5

1

2

3

4

5

6

② 0.8?0.1 , 0.8?0.2 解:利用函数单调性 0.8?0.1 与 0.8?0.2

的底数是0.8,它们可以看成函数 y= 0.8x

当x=-0.1和-0.2时的函数值;

因为0<0.8<1,所以函数y= 0.8x

1.8

在R是减函数, 而-0.1>-0.2,所以,

1.6
f?x? = 0.8x 1.4
1.2

1

0.8

0.8?0.1 < 0.8?0.2

0.6

0.4

0.2

-1.5

-1

-0.5

-0.2

0.5

1

③ 1.70,.3 0.93.1 解 :根据指数函数的性质, 由图像得,
1.70.3 ? 1 且 0.93.1 ? 1 从而有
1.70.3 > 0.93.1
或者
1.70.3 > 1.70 = 0.90 > 0.93.1

3.2 3
2.8 2.6 2.4 2.2
2 1.8
f?x? = 1.7x 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2

-2

-1.5

-1

-0.5

-0.2

-0.4

0.5

1

1.5

2

2.5

3.2 3
2.8 2.6 2.4 2.2
2 1.8 1.6 1.4 1.2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
-0.5 -0.2 -0.4

f?x? = 0.9x

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

练习: 1、已知下列不等式,试比较m、n的大小:

? m ? n (2)m ? (2)n
33

同底指数幂比大小,构造指数 函数,利用函数单调性

? 1.1m ? 1.1n

m ? n 同底比较大小

利用中间量进行比较
2、比较下列各数的大小:
1 ,0 0.4?2.5 , 2?0.2 底不同,指数也不同

? 1 ? 0.4?2.5 ? 0 2?0.2
比较指数型值常常 (2)(0.3) -0.3 与 (0.2) -0.3

不同底数幂比大小, 利用指数函数图像与底 的关系比较

借助于指数函数的图像

不同底但同指数

(3)
或直接利用函数的单调性

(4)

不同底但可化同底

或选取适当的中介值(常用的特殊值是0和1),再利用单调性比较大小

思考设a,b,c,d都是不等于1的正数,函数:y ? ax , y ? bx , y ? cx , y ? d x在同一直角坐标系中的图象如图所示.
则a,b,c,d的大小关系是 b ? a ? d ? c

y ? cx Y

y ? dx

b a

d c
O

y ? bx y ? ax
X
X=1

3.已知指数函数 f (x) ? ax (a>0,且a≠1)的图象

经过点(3,π),求 f(0)、f(1)、f(-3)的值.

1

x

解: a ? ? 3 , f ( x) ? ? 3 .

所以,f

(0)

??0

? 1,f

(1)

1
??3

?

3

?,f

(?3)

? ? ?1

?

1

.

4.求下列函数的定义域:

?

① y ? 2x2 ?1



y

?

? ??

1 3

? ??

3? x

解: ① x ? R
② 由 3 ? x ? 0,得 x ? 3

小结归纳:
? 通过本节课的学习,你学到了哪些知识? ? 你又掌握了哪些数学思想方法? ? 你能将指数函数的学习与实际生活联系起
来吗?

作业
? 1.求下列函数的定义域:
1
? (1) y ? 3x
? (2) y ? 5 x?1
? (3)函数 y ? a2x?3 ? 3

恒过点( 3 , 4) 2

求该函数


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