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高中数学第二章平面向量章末检测(B)(含解析)苏教版必修4

高中数学第二章平面向量章末检测(B)(含解析)苏教版必修4

第 2 章 平面向量(B) (时间:120 分钟 满分:160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.已知向量 a=(4,2),b=(x,3),且 a∥b,则 x 的值是________. 2.设向量 a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2),若 a 与 b 的夹角大于 90°,则实数 m 的取值范围是________. 1 1 3.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 + =________. a b → → → → 4. 平行四边形 ABCD 中, AC 为一条对角线, 若AB=(2,4), AC=(1,3), 则AD·BD=________. 5.已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则向量 a 与向量 b 的夹角是________. 6.关于平面向量 a,b,c,有下列四个命题: ①若 a∥b,a≠0,则存在 λ ∈R,使得 b=λ a; ②若 a·b=0,则 a=0 或 b=0; ③存在不全为零的实数 λ ,μ 使得 c=λ a+μ b; ④若 a·b=a·c,则 a⊥(b-c). 其中正确的命题是________.(填序号) 7.已知|a|=5,|b|=3,且 a·b=-12,则向量 a 在向量 b 上的投影等于________. 8.a,b 的夹角为 120°,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=________. 1 9.已知向量 a=(6,2),b=(-4, ),直线 l 过点 A(3,-1),且与向量 a+2b 垂直, 2 则直线 l 的方程为________. 10.已知 3a+4b+5c=0,且|a|=|b|=|c|=1,则 a·(b+c)=________. → → → → → → → 11.在△ABC 中,AR=2RB,CP=2PR,若AP=mAB+nAC,则 m+n=________. → 1 → → 12. P 是△ABC 内的一点, AP= (AB+AC), 则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为________. 3 → → → 13.已知向量OP=(2,1),OA=(1,7),OB=(5,1),设 M 是直线 OP 上任意一点(O 为坐标 → → 原点),则MA·MB的最小值为________. 14.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的 a=(m,n),b=(p,q),令 a ⊙b=mq-np.下面说法正确的是________.(填相应说法的序号) ①若 a 与 b 共线,则 a⊙b=0; ②a⊙b=b⊙a; ③对任意的 λ ∈R,有(λ a)⊙b=λ (a⊙b); 2 2 2 2 ④(a⊙b) +(a·b) =|a| |b| . 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.(14 分)如图所示, → → 以向量OA=a,OB=b 为边作 AOBD,又BM= BC,CN= CD,用 a,b 表示OM、ON、MN. → 1→ 3 → 1→ 3 → → → 1 16.(14 分)已知 a,b 的夹角为 120°,且|a|=4,|b|=2, 求:(1)(a-2b)·(a+b); (2)|a+b|; (3)|3a-4b|. 3? ?1 2 17. (14 分)已知 a=( 3, -1), b=? , ?, 且存在实数 k 和 t, 使得 x=a+(t -3)b, ?2 2 ? k+t2 y=-ka+tb,且 x⊥y,试求 的最小值. t 2 → → → 18.(16 分)设OA=(2,5),OB=(3,1),OC=(6,3).在线段 OC 上是否存在点 M,使 MA⊥ MB?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 19.(16 分)设两个向量 e1、e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2 的夹角为 60°,若向量 2te1 +7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. → → 20.(16 分)已知线段 PQ 过△OAB 的重心 G,且 P、Q 分别在 OA、OB 上,设OA=a,OB=b, → → OP=ma,OQ=nb. 1 1 求证: + =3. m n 3 第 2 章 平面向量(B) 1.6 解析 ∵a∥b,∴4×3-2x=0,∴x=6. 4 2.(- ,2) 3 解析 ∵a 与 b 的夹角大于 90°,∴a·b<0, ∴(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)<0, 2 即 3m -2m-8<0, 4 ∴- <m<2. 3 1 3. 2 → → 解析 AB=(a-2,-2),AC=(-2,b-2), → → ∵AB∥AC, ∴(a-2)(b-2)-4=0, ab- a+b ∴ab-2(a+b)=0,该等式两边同除以 ab,可得 =0, ab ?1 1? ∴1-2? + ?=0, ?a b? 1 1 1 ∴ + = . a b 2 4.8 → → → → 解析 ∵AD=BC=AC-AB=(-1,-1), → → → ∴BD=AD-AB=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5), → → ∴AD·BD=(-1,-1)·(-3,-5)=8. π 5. 3 2 解析 ∵a(b-a)=a·b-|a| =2, a·b 3 1 ∴a·b=3,∴cos〈a,b〉= = = , |a|·|b| 1×6 2 π ∴〈a,b〉= . 3 6.①④ 解析 由向量共线定理知①正确;若 a·b=0,则 a=0 或 b=0 或 a⊥b,所以②错误; 在 a,b 能够作为基底时,对平面上任意向量,存在实数 λ ,μ 使得 c=λ a+μ b,所 以③错误;若 a·b=a·c,则 a(b-c)=0,所以 a⊥(b-c),所以④正确,即正确命题 序号是①④. 7.-4 a·b a·b 12 解析 向量 a 在向量 b 上的投影为|a|cos〈a,b〉=|a|· = =- =-4. |a|

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