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【三维设计,专题强攻】高三数学(人教,理)二轮复习收尾复习课件专题三 第一讲 等差数列、等比数列_图文

【三维设计,专题强攻】高三数学(人教,理)二轮复习收尾复习课件专题三   第一讲   等差数列、等比数列_图文

专题三 数列 第一讲 等差数列、等比数列 等差、等比数列的基本运算 一、基础知识要记牢 等差数列 通项 公式 前n项 和 an=a1+(n-1)d n?a1+an? Sn= = 2 n?n-1? na1+ d 2 等比数列 an=a1qn-1(q≠0) a1?1-qn? (1)q≠1,Sn= = 1-q a1-anq 1-q (2)q=1,Sn=na1 二、经典例题领悟好 [例1] (1)(2013· 新课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和 ( ) 为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m= A.3 C.5 B. 4 D.6 (2)(2013· 北京高考)若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+ a5=40,则公比q=________;前n项和Sn=________. [解析] (1)∵{an}是等差数列,Sm-1=-2,Sm=0, ∴am=Sm-Sm-1=2. ∵Sm+1=3,∴am+1=Sm+1-Sm=3, ∴d=am+1-am=1. m?a1+am? m?a1+2? 又Sm= = =0, 2 2 ∴a1=-2,∴am=-2+(m-1)· 1=2,∴m=5. (2)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则: 由a2+a4=20得a1q(1+q2)=20,① 由a3+a5=40得a1q2(1+q2)=40.② 由①②解得q=2,a1=2. a1?1-qn? 2?1-2n? 故Sn= = =2n+1-2. 1-q 1-2 [答案] (1)C (2)2 2n+1-2 关于等差?等比?数列的基本运算,一般通过其通项公式 及前n项和公式构造关于a1和d?或q?的方程或方程组解决,如 果在求解过程中能够灵活运用等差?等比?数列的性质,不仅 可以快速获解,而且有助于加深对等差?等比?数列问题的认 识. 注意利用等比数列前n项和公式求和时,不可忽视对公 比q是否为1的讨论. 三、预测押题不能少 2 1.已知{an}是递增的等差数列,a1=2,a2 =a4+8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=an+2an,求数列{bn}的前n项和Sn. 解:(1)设等差数列的公差为d,d>0.由题意得, (2+d)2=2+3d+8,d2+d-6=(d+3)(d-2)=0, 得d=2. 故an=a1+(n-1)· d=2+(n-1)· 2=2n, 得an=2n. (2)bn=an+2an=2n+22n. Sn=b1+b2+…+bn =(2+22)+(4+24)+…+(2n+22n) =(2+4+6+…+2n)+(22+24+…+22n) ?2+2n?· n 4· ?1-4n? = + 2 1-4 n+1 4 -4 2 =n +n+ . 3 等差、等比数列的判定与证明 一、基础知识要记牢 数列{an}是等差或等比数列的证明方法: (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法: ①利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为一常数; ②利用中项性质,即证明2an=an-1+an+1(n≥2). (2)证明{an}是等比数列的两种基本方法: an+1 ①利用定义,证明 a (n∈N*)为一常数; n ②利用等比中项,即证明a2 n=an-1an+1(n≥2). 二、经典例题领悟好 [例2] 设{an}是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn, 且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列. [ 解] (1)设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1), 由a5,a3,a4成等差数列,得2a3=a5+a4, 即2a1q2=a1q4+a1q3. 由a1≠0,q≠0得q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去), 所以q=-2. (2)证明:法一:对任意k∈N*, Sk+2+Sk+1-2Sk=(Sk+2-Sk)+(Sk+1-Sk) =ak+1+ak+2+ak+1 =2ak+1+ak+1· (-2) =0, 所以,对任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列. k 2 a ? 1 - q ? 1 *, 法二:对任意k∈N 2Sk= , 1-q a1?1-qk+2? a1?1-qk+1? Sk+2+Sk+1= + 1-q 1-q a1?2-qk 2-qk 1? = . 1-q + + 2a1?1-qk? a1?2-qk+2-qk+1? 2Sk-(Sk+2+Sk+1)= - 1-q 1-q a1 = [2(1-qk)-(2-qk+2-qk+1)] 1-q a1qk 2 = (q +q-2)=0, 1-q 因此,对任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列. (1)判断一个数列是等差 ?等比?数列,还有通项公式法及 前 n 项和公式法,但不作为证明方法; (2)若要判断一个数列不是等差?等比?数列,只需判断存 在连续三项不成等差?等比?数列即可; * (3)a2 = a a ? n ≥ 2 , n ∈ N ?是{an}为等比数列的必要而 - + n n 1 n 1 不充分条件,也就是要注意判断一个数列是等比数列时,要 注意各项不为 0. 三、预测押题不能少 a2 n+1 2.已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a≠0),an+2=p· a (其 n 中p为非零常数,n∈N*). ? ?an+1? ? ? ?是不是等比数列; (1)判断数列 ? ? an ? ? (2)求an. a2 an+2 an+1 n+1 解:(1)由an+2=p·a ,得 =p·a . a n n n+1 an+1 令cn= a ,则c1=a,cn+1=pcn. n cn+1 ∵a≠0,∴c1≠0, c =p(非零常数), n ? ?an+1? ? ? ?是等比数列. ∴数列 ? ? an ? ? (2)∵数列{cn}是首项为 a,公比为 p

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