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上海市闵行区2013届高三一模数学试题(理科)

上海市闵行区2013届高三一模数学试题(理科)

闵行区 2012 学年第一学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷(理科)
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、姓名填写清楚,并填涂准考证号.选择题部分必 须使用 2B 铅笔填涂;非选择题部分使 用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写. 2.本试卷共有 23 道题,共 4 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 3.考试后只交答题纸,试卷由考生自己保留.

一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 4i ( i 为虚数单位),则 z ? _________________. 2.函数 y ? log 2 (1 ? x2 ) 的定义域为 3.已知集合 A ? {a, b, c, d , e}, B ? {c, d , e, f } ,全集 U ? A ? B ,则集合 ? ( A ? B) 中元素 U 的个数为__________________. 4.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点与圆 x2 ? y 2 ? mx ? 4 ? 0 的圆心重合,则 m 的值是 . 5.已知函数 y ? g ( x) 的图像与函数 y ? 3x ? 1 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g (10) 的值 为 .

3? ? 6.若二项式 ? x 2 ? ? 展开式的各项系数的和为 64 ,则其展开式的所有二项式系数 x? ?
中最大的是 . (用数字作答)
开始

n

7. 无穷等比数列 {an } 的各项和为 3 , 2 项为 ? 第

4 , 则该数列的公比 q ? 3

i ?1, ? 0 S
.

i ? i ?1
. i≤n
否 输出 S 结束

8.某算法的程 序框图如右图,若输出的 S 的值为 62 ,则正整数 n 的值为 9.从集合 ?1,2,3,4,5? 中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概 率为____________. 10. 已知定义在 (0, ) 上的函数 y ? 2(sin x ?1) 与 y ?

S ?S ?2i


?

2

8 的图像的交点为 P , P 过 3

作 PP ? x 轴 于 P , 直 线 PP 与 y ? tan x 的 图 像 交 于 点 P , 则 线 段 PP 的 长 1 1 2 1 1 2 为 .

11.已知不等式 2x ? a ? x ?1对任意 x ? [0, 2] 恒成立,则实数 a 的取值范围是



12 . 已 知 △ ABC 的 面 积 为 1 , 在 △ ABC 所 在 的 平 面 内 有 两 点 P、Q , 满 足

??? ??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? PA ? PC ? 0, QA ? QB ? QC ? BC ,则四边形 BCPQ 的面积为



n 13.如下图,对大于或等于 2 的正整数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂”(其中 m、 ? N ): 2 3 例如 7 的“分裂”中最小的数是 1 ,最大的数是 13 ;若 m 的“分裂”中最小的数是 211 ,则 . m?
*

22

32

1 3 1 3 5

23

3

5 9 11
7

24

7

33

34

9 25 27 29

72

1 3 5 7 9 11 13

14 . 已 知 函 数

f ( x) ?| x ?

1 1 | ? | x ? | , 关 于 x 的 方 程 f 2 ( x)? a f ( x)? b 0 ? x x
.

( a, b ? R )恰有 6 个不同实数解,则 a 的取值范围是

二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 已知 A, B, C , D 是空间四点, 命题甲: A, B, C , D 四点不共面, 命题乙: 直线 AC 和 BD 不相交,则甲是乙成立的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 件 [答]( )

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条

16.若向量 m, n 满足 m ? n ? 1 , m 与 n 的夹角为 60 ,则 m ? m ? n ? [答](
0

?? ?
1 2

??

?

??

?

?? ?? ?

?

?



(A)

(B)

3 2

(C) 2

(D) 1 ?

3 2

17. 已知函数 f ( x) ?| arctan( x ? 1) | , 若存在 x1 , x2 ?[a, b] , x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成 且 使 立,则以下对实数 a 、 b 的描述正确的是 (A) a ? 1 (B) a ? 1 (C) b ? 1 18. 数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 1 ,an ? an ?1 ? an ? 2 ? cos 和为 Sn ,则 S2012 的值为 (A) ?672 (B) ?671 (C) 2012 [答]( (D) b ? 1 )

2n? (n ? N ? ) , 若数列 ?an ? 的前 n 项 3
[答] ( (D) 672 )

三. 解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ?

2sin x sin x ? cos x

3(sin x ? cos x) ; cos x

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 y ? f ( x ?

?

) , x ?[0, ] 的值域. 2 2

?

解:

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分. 科学研究表明:一般情况下,在一节 40 分钟的课中,学生的注意力随教师讲课的时间 变化而变化。开始上课时,学生的注意力逐步增强,随后学生的注意力开始分散。经过实验 分析,得出学生的注意力指数 y 随时间 x (分钟)的变化规律为:

0? x?8 ?2 x ? 68, ? y ? f ( x) ? ? 1 2 ?? 8 ( x ? 32 x ? 480),8 ? x ? 40 ?
(1)如果学生的注意力指数不低于 80,称为“ 理想听课状态” ,则在一节 40 分钟的课中学 生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长?(精确到 1 分钟) (2)现有一道数学压轴题,教师必须持续讲解 24 分钟,为了使效果更好,要求学生的注意 力指数在这 24 分钟内的最低值达到最大,那么,教师上课后从第几分钟开始讲解这道题? (精确到 1 分钟)

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满 分 7 分,第(2)小题满分 7 分. . 已知椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,右焦点为 F ,直 4 3

y

线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 3 相切于点 Q ,且 Q 在 y 轴的右侧, 设直线 l 交椭圆 E 于不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

O F Q A B

l

x

? (1)若直线 l 的倾斜角为 ,求直线 l 的方程; 4
(2)求证: | AF | ? | AQ |? | BF | ? | BQ | . 解:

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? log a

1? x (0 ? a ? 1) . 1? x

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 D ,并判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)如果当 x ? (t , a) 时, f ( x ) 的值域是 ? ??,1? ,求 a 与 t 的值; (3)对任意的 x1 , x2 ? D ,是否存在 x3 ? D ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,若存在,求出

x3 ;若不存在,请说明理由.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分.
2 设数列 {an } 的各项均为正数,前 n 项和为 Sn ,已知 4Sn ? an ? 2an ?1(n? N * ) .

(1)证明数列 {an } 是等差数列,并求其通项公式; (2)证明:对任意 m、、 ? N *, ? p ? 2k ,都有 k p m

1 1 2 ? ? ; Sm S p Sk

(3)对于(2)中的命题,对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗?如果成立,请证明你的 结论,如果不成立,请说明理由.


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