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海南省洋浦中学2014-2015学年度第一学期期末全真模拟试题高二数学科试题+(理科)教师版

海南省洋浦中学2014-2015学年度第一学期期末全真模拟试题高二数学科试题+(理科)教师版


海南省洋浦中学 2014-2015 学年度第一学期期末全真模拟试题

高二数学科试题(理科)
(时间:120 分钟
欢迎你参加这次测试,祝你取得好成绩!
注意事项: 1、请考生把试题卷的答案写在答题卷上,并在方框内答题,答在框外不得分; 2、禁止考生使用计算器作答. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.下列四个命题: ①线性相关系数 r 越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱; ②残差平方和越小的模型,模型拟合的效果越好; ③用相关指数 R2 来刻画回归效果,R2 越小,说明模型的拟合效果越好; ④在推断 H:“X 与 Y 有关系”的论述中,用三维柱形图,只要主对角线上两个柱形高 度的比值与副对角线上的两个柱形高度的比值相差越大,H 成立的可能性就越大. 其中真命题的个数是( A.1 C.3 A ①r 有正负,应为|r|越大,相关性越强,②正确,③R2 越大,拟合效果越好,④应为高 度积的差的绝对值越大,H 成立的可能性就越大,故选 A. 2.下面用“三段论”形式写出的演练推理:因为指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)在(0,+ 1 1 ∞)上是增函数,y=( )x 是指数函数,所以 y=( )x 在(0,+∞)上是增函数. 2 2 该结论显然是错误的,其原因是( A.大前提错误 C.推理形式错误 解析 答案 B.小前提错误 D.以上都可能 ) ) B.2 D.4

满分:150 分)

大前提是:指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数,这是错误的. A
? ?

3.设 l1 的方向向量为 a =(1,2,-2),l2 的方向向量为 b =(-2,3,m),若 l1⊥l2,则实 数 m 的值为( )

A.3

B.2

C.1

D.

1 2

解析 答案

∵l1⊥l2,∴a⊥b,∴a· b=0,∴-2+6-2m=0,∴m=2. B
a (n=1、2、3、4),其中 a 为常数,则 n?n+1?

4.随机变量 ξ 的概率分布规律为 P(X=n)= 9 13? P? ?4<X< 4 ?的值为( A. C. 2 3 4 5 )

B.

3 4 5 16

D.

D 因为 P(X=n)= a a a a a 5 (n=1,2,3,4),所以 + + + =1,所以 a= . 2 6 12 20 4 n?n+1?

9 13? 5 1 5 1 5 因为 P? ?4<X< 4 ?=P(X=2)+P(X=3)=4×6+4×12=16,故选 D. 5.若随机变量 ξ~N(-2,4),则 ξ 在区间(-4,-2]上取值的概率等于 ξ 在下列哪个区间 上取值的概率( A.(2,4] C. C 此正态曲线关于直线 x=-2 对称,∴ξ 在区间(-4,-2]上取值的概率等于 ξ 在 B ∵x=3+4i,∴|x|= 32+42=5, ∴z=3+4i-5-(1-i)=(3-5-1)+(4+1)i =-3+5i. ∴复数 z 在复平面上的对应点在第二象限,故应选 B. ?D?X??2 8.设随机变量 X 服从二项分布 X~B(n,p),则 等于( ?E?X??2 A.p2 C.1-p B 因为 X~B(n,p),(D(X))2=2,(E(X))2=(np)2,所以 B. 9.已知 ?D?X??2 [np?1-p?] = =(1-p)2.故选 ?E?X??2 ?np?2
2

) B.(0,2]

)

B.(1-p)2 D.以上都不对

a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是(

)

A.

5 5

B.

55 5

3 5 C. 5 解析 b-a=(1+t,2t-1,0)

11 D. 5

1 9 ∴|b-a|2=(1+t)2+(2t-1)2=5t2-2t+2=5(t- )2+ , 5 5 1 3 5 ∴当 t= 时,|b-a|有最小值 . 5 5 答案 C

10.通过随机询问 72 名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下列联 表: 性别与读营养说明列联表 女 读营养说明 不读营养说明 总计 16 20 36 男 28 8 36 合计 44 28 72 )

请问性别和读营养说明之间在多大程度上有关系?( A.99%的可能性 C.99.5%的可能性 C

B.99.25%的可能性 D.97.5%的可能性

由题意可知 a=16,b=28,c=20,d=8,a+b=44,c+d=28,a+c=36,b+d=36, n=a+b+c+d=72, 代 入 公 式 K2 = K2≈8.42>7.879, 我们就有 99.5%的把握认为性别和读营养说明之间有关系,即性别和读营养说明之间有 99.5%的可能是有关系的. 1 1 1 11.利用数学归纳法证明不等式 1+ + +? n <f(n) (n≥2,n∈N*)的过程中,由 n 2 3 2 -1 =k 变到 n=k+1 时,左边增加了( A.1 项 C.2k
-1

n?ad-bc?2 72×?16×8-28×20?2 得 K2 = ≈8.42 , 由 于 ?a+b??c+d??a+c??b+d? 44×28×36×36

) B.k 项



D.2k 项

D n=k+1 时,左边为: 1 1 1 1+ + +?+ k+1 2 3 2 -1 1 1 1 1 1 1 =?1+2+3+?+2k-1?+?2k+2k+1+?+2k+2k-1?,

?

? ?

?

故共增加了 2k 项,故选 D.

12.对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定:(a,b)=(c,d) 当且仅当 a=c, b=d; 运算“?”为:(a, b)?(c, d)=(ac-bd,bc+ad); 运算“⊕”为:(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d).设 p,q∈R,若(1,2)? (p,q)=(5,0),则(1,2)⊕(p,q)等于( A.(4,0) C.(0,2) 解析 B.(2,0) D.(0,-4) )

由(1,2)?(p,q)=(5,0),得

? ? ?p-2q=5, ?p=1, ? ?? ?2p+q=0 ? ? ?q=-2.

所以(1,2)⊕(p,q)=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0). 答案 B

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 1 1 + 13.(2013· 天津红桥区高二质检)已知结论“a1、a2∈R ,且 + ≥4:若 a1、a2、a3∈R a1 a2


1 1 1 + ,且 a1+a2+a3=1,则 + + ≥9”,请猜想若 a1、a2、?、an∈R ,且 a1+a2+?+an a1 a2 a3

1 1 1 =1,则 + +?+a ≥________. a1 a2 n n2 结论左端各项分别是和为 1 的各数 ai 的倒数(i=1,2,?,n),右端 n=2 时为 4=22,n 1 1 1 + =3 时为 9=32,故 ai∈R ,a1+a2+?+an=1 时,结论为 + +?+ ≥n2(n≥2). an a1 a2

14.如图,在正方体

ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 CD、

CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________.

解析

以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线为坐标轴建立空间
? ? ? ?

? 1? ? 1 ? 直角坐标系,如图,设 AB=1,则 D(0,0,0),N?0,1,2?,M?0,2,0?,

A1(1,0,1),

→ ? 1? ∴DN=?0,1,2?,
? ?

→ ? 1 ? MA1=?1,-2,1?,
? ?

→ → ? 1? 1 ∴DN· MA1=1×0+1×?-2?+ ×1=0, ? ? 2 → → ∴DN⊥MA1,∴A1M 与 DN 所成的角的大小是 90° . 答案 90°
2 - ,其中 i 是虚数单位,则| z |=________. 1+ 3i

15.(2014· 天门市调研)若复数 z=

1 2?1- 3i? 2?1- 3i? 1 2 3 - 因为 z= = = = - i, 所以| z |= 4 2 2 1+ 3i ?1+ 3i??1- 3i? 1. 16.在下列命题中:①若 a , b 共线,则 a , b 所在的直线平行;②若 a , b 所在的直 线是异面直线,则 a , b 一定不共面;③若 a , b , c 三向量两两共面,则 a , b , c 三向 量一定也共面;④已知三向量 a , b , c ,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p=x a +y b +z c ,其中不正确的命题为________.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 3 ? ?2+?- ?2= 2 2

解析

①a,b 共线,包括 a 与 b 重合,所以①错.

②空间任意两个向量均共面,所以②错. ③以空间向量的一组基底{a,b,c}为例,知它们两两共面,但它 们三个不共面,所以③错. ④当与 a,b,c 共面时,不成立,所以④错. 答案 ①②③④

海南省洋浦中学 2014-2015 学年度第一学期期末全真模拟试题

高二数学科试题(理科)
(时间:120 分钟
欢迎你参加这次测试,祝你取得好成绩!
注意事项: 1、请考生把试题卷的答案写在答题卷上,并在方框内答题,答在框外不得分; 2、禁止考生使用计算器作答. 一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求.)

满分:150 分)

题号 答案 13. 15.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

;14. ;16.
2

; 。

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 60 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.) 17 、( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 p : x ? mx ? 1 ? 0 有 两 个 不 等 的 负 根 ,

q : 4x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,若 p、q 一真一假,求 m 的取值范围。
17、解:若 P 真,则 ?1 ? m 2 ? 4 ? 0 且 m ? 0 即 m ? 2 若 q 真,则 ? 2 ? 16(m ? 2) 2 ? 16 ? 0 即 1 ? m ? 3 若 p 真 q 假,则 m ? 2 且 m ? 1 或 m ? 3 即 m ? 3 若 q 真 p 假, 则 m ? 2 且 1 ? m ? 3 即 1 ? m ? 2 ???6 分 ???10 分 ???12 分

综上,m 的取值范围: (1,2] ? [3,??) 18、 (本小题满分 12 分)已知复数 z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i. (1)当实数 m 取什么值时,复数 z 是:①实数;②纯虚数; (2)当 m=0 时,化简 18、 z2 . z+5+2i

(1)①当 m2-3m+2=0 时,即 m=1 或 m=2 时,复数 z 为实数.
2 ? ?2m -3m-2=0, ? ②若 z 为纯虚数,则 2 ?m -3m+2=0, ?

1 ? ?m=-2或m=2, 1 解得? ∴m=- . 2 ? ?m≠1且m≠2, 1 即 m=- 时,复数 z 为纯虚数. 2 (2)当 m=0 时,z=-2+2i, -8i -8i?3-4i? z2 32 24 = = =- - i. 25 25 25 z+5+2i 3+4i 19.(本小题满分 12 分)如图所示,在四面体 ABCD 中,AB,BC,CD 两两互相垂直,且 BC=CD=1.

(1)求证:平面 ACD⊥平面 ABC; (2)求二面角 C-AB-D 的大小; (3)若直线 BD 与平面 ACD 所成的角为 30° ,求线段 AB 的长度. 解法一:(1)∵CD⊥AB,CD⊥BC, ∴CD⊥平面 ABC. 又∵CD?平面 ACD, ∴平面 ACD⊥平面 ABC.

(2)∵AB⊥BC,AB⊥CD,∴AB⊥平面 BCD, ∴AB⊥BD. ∴∠CBD 是二面角 C-AB-D 的平面角. ∵在 Rt△BCD 中,BC=CD,∴∠CBD=45° . ∴二面角 C-AB-D 的大小为 45° . (3)过点 B 作 BH⊥AC,垂足为 H,连接 DH. ∵平面 ACD⊥平面 ABC, ∴BH⊥平面 ACD, ∴∠BDH 为 BD 与平面 ACD 所成的角.∴∠BDH=30° . 在 Rt△BHD 中,BD= 2, ∴BH= 2 . 2

又∵在 Rt△BHC 中,BC=1, ∴∠BCH=45° , ∴在 Rt△ABC 中,AB=1. 解法二:(1)同解法一. (2)设 AB=a,建立如图所示的空间直角坐标系 B-xyz,则 B(0,0,0),A(0,0,a),C(0,1,0), → → D(1,1,0),BD=(1,1,0),BA=(0,0,a). → → 平面 ABC 的法向量CD=(1,0,0),设平面 ABD 的一个法向量为 n=(x,y,z),则有BD· n → =x+y=0,BA· n=az=0, ∴z=0,取 y=1,则 x=-1, ∴n=(-1,1,0). → CD· n 2 → ∴cos〈CD,n〉= =- ,由图可知二面角 C-AB-D 为锐角, 2 → |CD||n| ∴二面角 C-AB-D 的大小为 45° . → → → (3)AC=(0,1,-a),CD=(1,0,0),BD=(1,1,0). → → 设平面 ACD 的一个法向量是 m=(x′,y′,z′),则AC· m=y′-az′=0,CD· m=x′ =0, 令 z′=1,∴y′=a,则 m=(0,a,1). ∵直线 BD 与平面 ACD 所成角为 30° , → BD· m a → ∴cos〈BD,m〉= = 2 =cos60° , → a +1· 2 |BD||m|

解得 a=1,∴AB=1.

20.(本题满分 14 分)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况,随机抽 取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名,下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体 育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有 关? 非体育迷 男 女 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方 法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取 的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E(X)和方差 D(X). 附:K2= n?ad-bc?2 . ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(K2≥k) k 0.05 3.841 0.01 6.635 10 55 体育迷 合计

(1)根据频率分布直方图及条件超过 40 分钟的观众称为“体育迷”则可求出体育迷人 数 25 人,即可完成 2×2 列联表,再求出 K2 即可. 1 (2)由(1)知体育迷有 25 人,则被抽到的概率为 ,从观众中随机抽出 3 名是 3 次独立重复 4 试验,X 服从二项分布,则可以求出分布列,期望,方差. (1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而 2×2 列联 表如下: 非体育迷 男 30 体育迷 15 合计 45

女 合计

45 75

10 25

55 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 K2= = n?n11n22-n12n21?2 100×?30×10-45×15?2 = n1+n2+n+1n+2 75×25×45×55

100 ≈3.030. 33

因为 3.030<3.841,所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关. (2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视为概率,即从观众中抽 1 取一名“体育迷”的概率 . 4 1 由题意知 X~B(3, ),从而 X 的分布列为 4 X P 1 3 E(X)=np=3× = . 4 4 1 3 9 D(X)=np(1-p)=3× × = . 4 4 16 0 27 64 1 27 64 2 9 64 3 1 64

22. (12 分)已知 f(x)= 2)=1.

bx+1 1 且 f(1)=log162, f(- 2(x≠- , a a>0), ?ax+1?

(1)求函数 f(x)的表达式; (2)已知数列{xn}的项满足 xn=(1-f(1))(1-f(2))?(1-f(n)),试求 x1,x2,x3,x4; (3)猜想{xn}的通项公式,并用数学归纳法证明. 解 1 (1) 把 f(1) = log162 = , f( - 2) = 1 , 代 入 函 数 表 达 式 得 4
2

b+1 1 ? ??a+1? =4, ?-2b+1 ? ??1-2a? =1,
2

2 ? ?4b+4=a +2a+1, 即? 2 ?-2b+1=4a -4a+1, ?

?a=1, ? 1 解得? (舍去 a=- <0), 3 ?b=0, ?

1 ∴f(x)= (x≠-1). ?x+1?2 1 3 (2) x1=1-f(1)=1- = , 4 4 x2=(1-f(1))(1-f(2)) 3 1 2 = ×(1- )= , 4 9 3 2 2 1 5 x3= (1-f(3))= ×(1- )= , 3 3 16 8 5 1 3 x4= ×(1- )= . 8 25 5 3 2 4 5 3 6 (3) 由(2)知,x1= ,x2= = ,x3= ,x4= = ,?,由此可以 4 3 6 8 5 10 猜想 xn= n+2 . 2n+2

1+2 3 3 证明:①当 n=1 时,∵x1= ,而 = ,∴猜想成立. 4 2?1+1? 4 n+2 ②假设当 n=k(k∈N*)时,xn= 成立, 2?n+1? 即 xk= k+2 ,则 n=k+1 时, 2?k+1?

xk+1=(1-f(1))(1-f(2))?(1-f(k))· (1-f(k+1)) =xk· (1-f(k+1)) = k+2 · 2?k+1?



k+2 ?k+1??k+3? · 2?k+1? ?k+2?2

?k+1?+2 1 k+3 = · = . 2 k+2 2[?k+1?+1] ∴当 n=k+1 时,猜想也成立,根据①②可知,对一切 n∈N*, 猜想 xn= n+2 都成立. 2?n+1?

四、选做题.(本小题满分 10 分.请考生在三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题记分.) 22.(10

1 4 分)已知 0<a<1,求证:a+ ≥9. 1-a

证法 1 (分析法) ∵0<a<1,∴1-a>0, 1 4 ∴要证a+ ≥9, 1-a 只需证 1-a+4a≥9a(1-a), 即证 1+3a≥9a(1-a), 即证 9a2-6a+1≥0, 即证(3a-1)2≥0, 上式显然成立. ∴原命题成立. 证法 2 (综合法) ∵(3a-1)2≥0, 即 9a2-6a+1≥0, ∴1+3a≥9a(1-a). ∵0<a<1, ∴ 1+3a ≥9, a?1-a?



1-a+4a ≥9, a?1-a?

1 4 即a+ ≥9. 1-a 证法 3 (反证法) 1 4 假设a+ <9, 1-a 1 4 即a+ -9<0, 1-a 即 1-a+4a-9a?1-a? <0, a?1-a?

9a2-6a+1 即 <0, a?1-a? ?3a-1?2 即 <0, a?1-a? 而 0<a<1,∴a(1-a)>0, ∴(3a-1)2<0,与(3a-1)2≥0 相矛盾, ∴原命题成立.
23.(本小题满分 10 分)对某校小学生进行心理障碍测试得如下列联表: (其中焦

虑、说谎、懒惰都是心理障碍) 焦虑 女生 男生 总计 5 20 25 说谎 10 10 20 懒惰 15 50 65 总计 30 80 110

试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大? 【解】 利用已知条件来判断两个分类变量是否具有关系,可以先假设两个

变量之间有关系,再计算 K2 的值,如果 K2 的值越大说明两个变量之间有关系的 可能性也就越大,再参考临界值,从而判断两个变量有关系的可信程度.
2 2 对于上述三种心理障碍分别构造三个随机变量 K1 ,K2 2,K3,由表中数据可得

2 2 110×?5×60-25×20? K1= ≈0.863,

30×80×25×85

2 2 110×?10×70-20×10? K2= ≈6.366,

30×80×20×90 30×80×65×45

2 2 110×?15×30-15×50? K3= ≈1.410. 2 因为 K2 的值最大,所以说谎与性别关系最大.

24.已知正方体 ABCD ? A 1 与 AC 间的距离。 1B 1C1 D 1 的棱长是 1 ,求直线 DA

24.解:

3 3

??? ? ???? ? A(0,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A1(0,0,1), AC ? (1,1,0), DA1 ? (0, ?1,1) ???? ? ??? ? ???? ? ???? ?

设 MN ? ( x, y, z), MN ? AC, MN ? DA 1 , x ? y ? 0, ? y ? z ? 0, 令y ? t 则 MN ? (?t , t , t ) ,而另可设 M (m, m,0), N (0, a, b), MN ? (?m, a ? m, b)

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