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2.3.1 离散型随机变量的均值

2.3.1 离散型随机变量的均值


第二章

随机变量及其分布

2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.1 离散型随机变量的均值

第二章

随机变量及其分布

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第二章

随机变量及其分布

新知初探思维启动
1.离散型随机变量的均值 (1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为: x1 x2 ? xi ? xn p1 p2 ? pi ? pn x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn 为 随 机 则 称 E(X) = ______________________________ 变量X的均值或数学期望. 平均水平 . (2)意义:它反映了离散型随机变量取值的__________ (3) 性质 : 如果 X 为 ( 离散型 ) 随机变量 , 则 Y = aX + b( 其中 a,b为常数)也是随机变量,且P(Y=axi+b)=P(X=xi),i= E(aX+b) =______________. aE(X)+b 1,2,3,?,n,E(Y)=____________
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X P

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随机变量及其分布

想一想 均值E(X)是一个常数还是一个变量? 提示:常数. 做一做 1.已知X的分布列为
X P 则X的均值为__________. 1 3 1 1 1 解析:E(X)=-1× +0× +1× +2× = . 4 8 4 8 4 1 答案: 4 -1 1 4 0 3 8 1 1 4 2 1 8

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随机变量及其分布

2.两点分布与二项分布的均值

X
E(X) 做一做

X~B(n,p)
np

X服从两点分布
p(p为成功概率)

2.一名射手每次射击中靶的概率均为0.8,则他独立射击 3次中靶次数X的均值为__________. 解析:∵X~B(3,0.8),

∴E(X)=3×0.8=2.4.
答案:2.4
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随机变量及其分布

典题例证技法归纳
题型探究
题型一 离散型随机变量均值的性质

例1 已知随机变量X的分布列为:
X P -2 1 4 -1 1 3 0 1 5 1 m 2 1 20

(1)求E(X); (2)若Y=2X-3,求E(Y).
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随机变量及其分布

【解】

(1)由随机变量分布列的性质,得

1 1 1 1 1 + + + m+ = 1,解得 m= , 4 3 5 20 6 1 1 1 1 1 17 ∴ E(X)= (-2)× + (-1)× + 0× + 1× +2× =- . 4 3 5 6 20 30 (2)法一:由公式 E(aX+b)= aE(X)+b,得 E(Y)= E(2X- 3)= 2E(X)- 3 17 62 = 2× (- )- 3=- . 30 15

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随机变量及其分布

法二:由于 Y= 2X-3,所以 Y 的分布列如下 : Y P -7 1 4 -5 1 3 -3 1 5 -1 1 6 1 1 20

1 1 1 1 ∴ E(Y) = ( - 7)× + ( - 5)× + ( - 3)× + ( - 1)× + 4 3 5 6 1 62 1× =- . 20 15

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随机变量及其分布

【名师点评】

(1)该类题目属于已知离散型分布列求

期望 , 求解方法是直接套用公式 ,E(X) = x1p1 + x2p2 +? +xnpn求解. (2)对于aX+b型的随机变量 ,可利用均值的性质求解 ,即 E(aX+b)= aE(X)+b;也可以先列出 aX+b的分布列,再

用均值公式求解,比较两种方式显然前者较方便.

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随机变量及其分布

互动探究
11 1.本题条件不变 ,若 ξ=aX+3,且 E(ξ)=- ,求 a 的值. 2

17 11 解 :E(ξ)=E(aX+3)= aE(X)+ 3=- a+ 3=- , 30 2 ∴ a= 15.

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随机变量及其分布

题型二
例2

求离散型随机变量的均值

某校在全校学生中开展物理和化学实验操作大

比拼活动,活动要求:参加者物理、化学实验操作都必须 参加,有50名学生参加这次活动 ,评委老师对这 50名学生 实验操作进行评分 , 每项操作评分均按等级采用 5 分制 ( 只打整数分),评分结果统计如下表:

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随机变量及其分布

(1)若随机抽取1名参加活动的学生,求“化学实验得分 为4分且物理实验得分为3分”的学生被抽取的概率; (2)从这50名参赛学生中任取1名,其物理实验与化学实 验得分之和为ξ,求ξ的数学期望.
【解】 (1)从表中可以看出 ,“化学实验得分为 4 分且物理

实验得分为 3 分”的学生有 6 名,所以“化学实验得分为 4 分 6 3 且物理实验得分为 3 分”的学生被抽取的概率为 = . 50 25
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随机变量及其分布

(2)ξ 所有可能的取值为 2、3、 4、 5、6、 7、 8、9、 10,则 ξ 的分布列为 :

ξ

2

3

4

5

6

7

8

9 10

1 4 3 9 8 16 4 2 3 P 50 50 50 50 50 50 50 50 50
1 4 3 9 8 16 ∴ E(ξ)= 2× + 3× + 4× + 5× + 6× + 7× + 50 50 50 50 50 50 4 2 3 311 8× + 9× + 10× = . 50 50 50 50

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随机变量及其分布

【名师点评】

求离散型随机变量X的均值的步骤:

(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;

(2)求X取每个值的概率;
(3)写出X的分布列(有时可以省略);

(4) 利用定义公式 E(X) = x1p1 + x2p2 +?+ xnpn 求出均
值.

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随机变量及其分布

跟踪训练
2.甲、乙两人都独立地破译某个密码 ,甲破译出该密码的 2 4 概率是 ,乙破译出该密码的概率是 ,设破译出该密码的人 3 5 数为 X,求其数学期望.
解 :设 A、B 分别为甲、乙破译出该密码的事件 ,X 可能的取 值是 0,1,2. 2 4 1 -- - - P(X= 0)= P( A · B )=P( A )× P( B )=(1- )× (1- )= ; 3 5 15 4 2 2 4 2 - - P(X= 1)= P(A· B ) + P( A · B)= (1- )× + (1- )× = ; 5 3 3 5 5 2 4 8 P(X= 2)= P(A)× P(B)= × = . 3 5 15
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随机变量及其分布

∴ X 的分布列为 : X p 0 1 15 1 2 5 2 8 15

1 2 8 22 因此 E(X)= 0× + 1× + 2× = . 15 5 15 15

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随机变量及其分布

题型三

二项分布的均值

例3 甲、乙两人各进行 3 次射击 ,甲每次击中目标的概率
1 2 为 ,乙每次击中目标的概率为 ,记甲击中目标的次数为 X, 2 3 乙击中目标的次数为 Y, (1)求 X 的概率分布列 ; (2)求 X 和 Y 的数学期望.
【解】
0 1 3 1 1 1 3 3 (1)P(X=0)=C3( ) = ;P(X=1)=C3( ) = ;

2

8

2

8

2 1 3 3 3 1 3 1 P(X=2)=C3( ) = ;P(X=3)=C3( ) = .

2

8

2

8

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随机变量及其分布

所以 X 的概率分布列如下表 : X 0 1 2 3 1 3 3 1 P 8 8 8 8 1 3 3 1 (2)由 (1)知 E(X)= 0× + 1× + 2× + 3× = 1.5,或由题意 8 8 8 8 1 2 1 2 X~ B(3, ),Y~ B(3, ),∴ E(X)=3× =1.5,E(Y)=3× = 2. 2 3 2 3

【名师点评】 (1)如果随机变量 X服从两点分布 ,则其 期望值E(X)=p(p为成功概率). (2)如果随机变量 X服从二项分布即 X~B(n,p),则E(X)= np, 以上两特例可以作为常用结论 , 直接代入求解 , 从而 避免了繁杂的计算过程.
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随机变量及其分布

跟踪训练 3.某电视台开展有奖答题活动,每次要求答30个选择

题,每个选择题有4个选项,其中有且只有一个正确答案,
每一题选对得5分,选错或不选得0分,满分150分,规定满 100分拿三等奖,满120分拿二等奖,满140分拿一等奖,有 一选手选对任意一题的概率是0.8,则该选手有望能拿到 几等奖? 解:选对题的个数X~B(30,0.8), 故E(X)=30×0.8=24, 由于24×5=120(分), 所以该选手有望能拿到二等奖.
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随机变量及其分布

题型四

均值问题的实际应用

例4 某游戏射击场规定:①每次游戏射击5发子弹;②5 发全部命中奖励40元;命中4发不奖励,也不必付款;命中 3发或3发以下,应付款2元.现有一游客,其命中率为0.5.

(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率;
(2)求该游客在一次游戏中获得资金的均值.
【解】 (1)设 5 发子弹命中 ξ(ξ=0,1,2,3,4,5)发,ξ~B(5,0.5), 则由题意有
5 P(ξ=5)=C5 0.5 = 5

1 . 32

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第二章

随机变量及其分布

(2)由题意知

5 P(ξ= 0)= C0 0.5 = 5

1 , 32

5 P(ξ=1)= C1 50.5 =

5 , 32

5 10 P(ξ=2)= C2 0.5 = , 5 32 3 5 10 P(ξ=3)= C 50.5 = ,

32

5 5 P(ξ=4)= C4 0.5 = , 5 32
5 P(ξ=5)= C5 0.5 = 5

1 . 32
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第二章

随机变量及其分布

ξ 的分布列为 ξ 0 1 P 32

1 5 32

2 10 32

3 10 32

4 5 32

5 1 32

设游客在一次游戏中获得奖金为 X 元 , 于是 X 的分布列为 X -2 0 40 26 5 1 P 32 32 32 故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为 26 5 1 E(X)= (-2)× + 0× + 40× =-0.375(元 ). 32 32 32

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随机变量及其分布

【名师点评】

解答此类题目时 ,首先应把实际问题概

率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件 可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的 数学期望.

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随机变量及其分布

跟踪训练 4.随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等 品 126 件、二等品 50件、三等品 20 件、次品 4 件.已知 生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万 元、1万元,而生产1件次品亏损2万元.设1件产品的利

润为ξ(单位:万元).
(1)求ξ的分布列; (2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望).

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随机变量及其分布

解 :(1)ξ 的所有可能取值有 6,2,1,-2, 126 50 则 P(ξ= 6)= = 0.63,P(ξ=1)= = 0.25, 200 200 20 4 P(ξ=1)= = 0.1,P(ξ=-2)= = 0.02. 200 200 故 ξ 的分布列为: -2 ξ 6 2 1 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E(ξ)= 6× 0.63+ 2× 0.25+1× 0.1+ (- 2)×0.02= 4.34. 即 1 件产品的平均利润为 4.34 万元.

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随机变量及其分布

方法感悟
1.随机变量的均值与样本的平均值的关系
随机变量的均值 样本的平均值 区 是一常数,不依赖于样 是一随机变量,随样本 别 本的抽取 抽取的不同而变化 联 随样本容量的增加,样本的平均值越来越接近于 系 总体的均值 2. 离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体上 和全局上刻画随机变量的,但两者大不相同,分布列只给 出了随机变量取所有可能值的概率 ,而均值却反映了随 机变量取值的平均水平.
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随机变量及其分布

精彩推荐典例展示
规范解答
求离散型随机变量的均值

例3 (本题满分12分)(2013· 高考江西卷)小波以游戏
方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游 戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图) 这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两 个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就

参加学校排球队.
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随机变量及其分布

(1)求小波参加学校合唱团的概率; (2)求X的分布列和数学期望.
【解】 (1)从 8 个点中任取两点为向 量终点的不同取法共有 C2 8= 28 种 ,? 当 X= 0 时 ,两向量夹角为直角共有 8 种情形,所以小波参加 8 2 学校合唱团的概率为 P(X= 0)= = .4 分 28 7

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随机变量及其分布

(2)两向量数量积 X 的所以可能取值为- 2,- 1,0,1,? X=- 2 时 ,有 2 种情形 ; X= 1 时 ,有 8 种情形; X=- 1 时 ,有 10 种情形 .8 分 所以 X 的分布列为 : X P 10 分 1 5 2 2 3 E(X)= (-2)× + (- 1)× + 0× + 1× =- .? 12 分 14 14 7 7 14 -2 1 14 -1 5 14 0 2 7 1 2 7

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随机变量及其分布

抓关键 促规范 ? 正确求出 28 种两向量的数量积,是正确求解的先决条件. ? 确定随机变量 X 的值为- 2,- 1,0,1 是解题的关键. ? 利用公式求 E(X)时易出现计算错误.

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随机变量及其分布

跟踪训练 5.运动员射击一次所得环数X的分布列如下: X 0~6 P 0 7 8 9 10

0.2 0.3 0.3 0.2

现进行两次射击 ,以该运动员两次射击中最高环数作为 他的成绩,记为ξ. (1)求ξ的分布列;

(2)求ξ的均值.
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随机变量及其分布

解:(1)ξ的可能取值为7、8、9、10, P(ξ=7)=0.04,P(ξ=8)=2×0.2×0.3+0.32=0.21,

P(ξ=9)=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3+0.32=0.39,
P(ξ = 10) = 2×0.2×0.2 + 2×0.3×0.2 + 2×0.3×0.2 + 0.22=0.36, ξ的分布列为 ξ P 7 8 9 10

0.04 0.21 0.39 0.36

(2)ξ 的 均 值 为 E(ξ) = 7×0.04 + 8×0.21 + 9×0.39 + 10×0.36=9.07.
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