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1.3.1 单调性与最大(小)值(一)课件2

1.3.1 单调性与最大(小)值(一)课件2


函数的单调性

问题1
画出f(x)=x的图像,并观察其图像。 上升 1、从左至右图象上升还是下降 ____?

?, ??)上,随着x的增大,f(x)的值 2、在区间 (________
增大 随着 ______. 5 -5 o

f(x)=x
5

-5

问题2
2 f(x) = x 画出 的图像,并观察图像.

(-∞,0] 上,f(x)的值随着x的增大而 1、在区间 ________ 减小 ______. 2 f(x) = x (0,+∞) 上, 2、 在区间 ________ f(x)的值随着x的增大而 5 增大 _____. o -5 5 如何用数学符号语言来表达? -5

此规律如何用点的坐标来描述?

x f(x)=x2

… -4 -3 -2 -1 0 1 … 16 9 4 1 0 1

2 4

3 4 … 9 16 …

x取一个值? x取两个值? -5

f(x) = x2
5 o -5 5

在区间?0, ? ? ?上任取两个x1 , x2,得到f ( x1 ) ? x12 , 们就说函数f ( x) ? x 在区间?0, ? ? ?上是增函数.
2 2 f ( x 2 ) ? x2 ,当x1 ? x2时,有f ( x1 ) ? f ( x2 ),这时我

函数单调性的概念:
1.增函数
一般地,设函数 y=f(x) 的定义域为 I ,如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x 1 ,

x2,当 x1<x2时,都有 f(x1)<f(x 2),那么就说 f(x)在
区间D上是增函数,如图1 . y

y=f(x)
f(x1) f(x2) x x2

0

x1
图1

2.减函数
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于
定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2 ,

当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2) ,那么就说f(x)在区间D
上是减函数 ,如图2. y y=f(x) f(x1) f(x2)

0

x1
图2

x2

x

注意:
1 、函数的单调性是在定义域内的某个区间上 的性质,是函数的局部性质; 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1, x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是增函数和减函数.

函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函

数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)
单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.

常用函数的单调性
y kx ? b (k ? 0) y?

y ? kx y ? b (k ? 0)

o
y

x

在(-∞,+∞)是 减函数

o

x

在(-∞,+∞)是 增函数 在(-∞,0)和 (0,+∞)是增 函数

k y ? (k ? 0) x
o x

在(-∞,0)和 (0,+∞)是减 函数

y?

yk

x
o

(k ? 0)
x

y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ?
y

b ? y ? ax2 ? 0) ? b ? y bx ? c (a ? 在 ? , ?? ? , ? ? ? ? 在? ? 2a ? 2a ?

o

x

增函数 ? b ? ? , ?? ? 在 ? 2a ? ? 减函数

o

x

增函数 b ? ? - ? 在? - ?, 2a ? ? 减函数

例1、下图是定义在区间[-5,5]上的函数y =f(x),根据图象说出函数的单调区间,以 及在每个区间上,它是增函数还是减函数?

解:函数y=f(x)的单调区间有 [5,2),[2,1),[1,3),[3,5] 其中y=f(x)在区间[5,2), [1,3)是减函数, 在区间[2,1), [3,5] 上是增函数。

1 + ? ? 上是单 例2 求证:函数 f(x) = - - 1 在区间 ? 0, x 调增函数.

证明:在区间(0,+∞)上任取两个值 x1 , x 2 且 取值 x1 < x2 ,则

1 1 x1 - x2 作差 1 1 f(x1 ) - f(x2 ) = (- -1) - (- -1) = - ? ? x1 x2 x1x2 变形 x1 x2 x1x2 > 0 ,所以说 定号 又因为 x1 - x2 < 0 , f(x1 ) - f(x2 ) < 0
1 即函数 f(x) = - - 1 在区间(0,+∞)上是单调 x 增函数. 判断

用定义证明函数单调性的步骤是: (1)取值: 即取 x1 , x 2 是该区间内的任意两个值
且 x1 < x2

(2)作差: f(x1 ) - f(x2 )

(3)变形:即求 f(x1 ) - f(x2 ) ,通过因式分解、
配方、有理化等方法

(4)定号:即根据给定的区间和 x2 - x1 的符号 的确定 f(x1 ) - f(x2 ) 的符号

(5)判断: 根据单调性的定义得结论

思考
若把区间改为 ? -?, 0? ,结论变化吗 ? a 若把函数改为 f(x) = - - 1 (a ? 0), 结论变化吗? x

证明:在区间(–∞,0)上任取两个值 x1 , x 2 且 取值 x1 < x2 ,则

1 1 f(x1 ) - f(x2 ) = (- -1) - (- -1) x1 x2 1 1 x1 - x2 =- ? ? x1 x2 x1x2

作差

变形 定号

x1x2 > 0 ,所以说 又因为 x1 - x2 < 0 ,
f(x1 ) - f(x2 ) < 0

1 即函数 f(x) = - - 1 在区间(0,+∞)上是单调 x 增函数. 判断

课堂小结
1、单调函数的图象特征;

2、函数单调性的定义;
3、证明函数单调性的步骤; 4、思想方法:
数形结合法、定义法、分类讨论

作业
1、

2、


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