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广东省广州市越秀区2012-2013学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)新人教A版

广东省广州市越秀区2012-2013学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)新人教A版

2012-2013 学年广东省广州市越秀区高一(下)期末数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边于 x 轴的非负半轴重合,则角 215°是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 象限角、轴线角. 专题: 计算题. 分析: 由 215°=180°+35°,结合象限角的定义可得结论. 解答: 解:由题意可得:215°=180°+35°, 故角 215°是第三象限角, 故选 C 点评: 本题考查象限角的概念,属基础题.



2. (5 分)数列 A. (﹣1)
n

的一个通项公式可能是( B.(﹣1)n C. (﹣1)
n﹣1

) D.(﹣1)

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 等差数列与等比数列. n﹣1 分析: 根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列,我们可以用(﹣1) 来控制各项的符号,再由各项绝 对值为一等比数列,由此可得数列的通项公式. 解答: 解:由已知中数列 ,… 可得数列各项的绝对值是一个以 为首项,以 公比的等比数列 又∵数列所有的奇数项为正,偶数项为负 n﹣1 故可用(﹣1) 来控制各项的符号, 故数列 ,…的一个通项公式为(﹣1)n﹣1

故选 D 点评: 本题考查的知识点是等比数列的通项公式,其中根据已知数列的前几项分析各项的共同特点是解答 本题的关键. 3. (5 分)下列选项中正确的是( 2 2 A.若 a>b,则 ac >bc C. ) B. 若 a>b,c<d,则 >

若 ab>0,a>b,则

D.若 a>b,c>d,则 a﹣c>b﹣d

考点: 不等关系与不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用特殊值代入法,排除不符合条件的选项 A、B、C,利用不等式的性质可得 C 正确.

1

解答:

解:当 c=0 时,A、B 不成立.对于 a>b,由于 ab>0,故有

,即

,故 C 正确.

对于 a>b,c>d,当 a=2,b=1,c=10,d=1,显然有 a﹣c<b﹣d,故 D 不正确. 故选 C. 点评: 本题主要考查不等式与不等关系,不等式的基本性质,利用特殊值代入法,排除不符合条件的选项, 得到符合条件的选项,是一种简单有效的方法,属于基础题. 4. (5 分) (2012?包头一模)已知{an}为等差数列,若 a1+a5+a9=π ,则 cos(a2+a8)的值为( A. B. C. D. )

考点: 数列的应用. 专题: 计算题. 分析: 先利用等差数列的性质求出 a5=

,进而有 a2+a8=

,再代入所求即可.

解答: 解:因为{an}为等差数列,且 a1+a5+a9=π ,由等差数列的性质; 所以有 a5= 所以 a2+a8= , ,故 cos(a2+a8)=﹣

故选 A. 点评: 本题是对等差数列性质以及三角函数值的考查.这一类型题,考查的都是基本功,是基础题.

5. (5 分) (2008?天津)把函数 y=sinx(x∈R)的图象上所有点向左平行移动

个单位长度,再把所得图 ) , x∈R

象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是( A. x∈R , B. x∈R , C. x∈R , D.

考点: 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题: 常规题型. 分析: 根据左加右减的性质先左右平移,再进行 ω 伸缩变换即可得到答案. 解答: 解:由 y=sinx 的图象向左平行移动 个单位得到 y=sin(x+ ) , 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍得到 y=sin(2x+ )

故选 C 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换,平移变换时注意都是对单个的 x 或 y 来运作的. 6. (5 分)设 A. B. C. 的值是( D. )

2

考点: 两角和与差的正切函数;角的变换、收缩变换. 专题: 计算题. 分析: 由于 = = , 代

入可求 解答: 解: =

=

=

=

故选 B 点评: 本题主要考查了两角差的正切公式在三角求值中的应用,解题的关键是利用拆角技巧 .

7. (5 分) (2012?北京模拟)如图,D 是△ABC 的边 AB 的中点,则向量

等于(



A.

B.

C.

D.

考点: 向量的线性运算性质及几何意义;向量的加法及其几何意义;向量的减法及其几何意义;向量数乘 的运算及其几何意义. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据三角形中线的性质, 得 = ( + ) , 由平面向量减法得 = ﹣ , 两式联解即可得到 = ﹣ 解答: + ,得到本题答案. = ( + )

解:∵D 是△ABC 的边 AB 的中点,∴ ∵ ∴ = ﹣ , ﹣ ﹣ )=﹣ +

= (

故选:A
3

点评:

本题给出三角形的中线,求向量

的线性表示,着重考查了向量的减法及其几何意义、向量的线性

运算性质及几何意义等知识,属于基础题.

8. (5 分)若非零向量 , 满足| |=| |, (2 + )? =0,则 与 的夹角为( A.30° B.60° C.120°

) D.150°

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题. 分析: 由题意,可先由条件|, (2 + )? =0,解出 与 的夹角余弦的表达式,再结合条件| |=| |,解 出两向量夹角的余弦值,即可求得两向量的夹角,选出正确选项 解答: 解:由题意(2 + )? =0 ∴2 ? + 又| |=| | ∴cos< , >=﹣ ,又 0<< , ><π ∴则 与 的夹角为 120° 故选 C 点评: 本题考查数量积表示两个向量的夹角,利用向量积求两向量的夹角关键是熟记公式,能从题设中得 到两向量的模与两向量内积,从而得到夹角的余弦值
2

=0,即 2| || |cos< , >+

=0

9. (5 分)不等式 ax +bx+2>0 的解集是 A.10 B.﹣10

,则 a+b 的值是( C.14

) D.﹣14

考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题. 分析: 2 不等式 ax +bx+2>0 的解集是 把解代入方程求出 a、b 即可. 解答: 解:不等式 ax +bx+2>0 的解集是 即方程 ax +bx+2=0 的解为
2 2

,说明方程 ax +bx+2=0 的解为

2





a=﹣12b=﹣2∴

点评: 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系,一元二次不等式的解法,是基础题.

4

10. (5 分)如图,矩形 AnBnCnDn 的一边 AnBn 在 x 轴上,另外两个顶点 Cn,Dn 在函数 f(x)=x+ (x>0)的 图象上,若点 Bn 的坐标为(n,0) (n≥2,n∈N ) ,记矩形 AnBnCnDn 的周长为 an,则 a2+a3+a4+…+a20=(
*



A.256

B.428

C.836

D.1024

考点: 函数的图象. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. 分析: 由点 Bn 的坐标可得点 Cn 的坐标,进而得到 Dn 坐标,从而可表示出矩形的周长 an,再由等差数列的求 和公式可求得答案. 解答: 解:由点 Bn 的坐标为(n,0) ,得 Cn(n,n+ ) , 令 x+ =n+ ,即 x ﹣(n+ )x+1=0,解得 x=n 或 x= , 所以 Dn( ,n+ ) ,
2

所以矩形 AnBnCnDn 的周长 an=2(n﹣ )+2(n+ )=4n, 则 a2+a3+…+a20=4(2+3+…+20)=4× =836.

故选 C. 点评: 本题考查数列与函数的综合,考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力,考查学生的识图用 图能力,属中档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)不等式 的解集是 [﹣4,5) (结果用集合或区间形式表示) .

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由不等式 可得 解答: 解:由不等式 可得

,由此解得不等式的解集.

,解得﹣4≤x<5,

故不等式的解集为[﹣4,5) , 故答案为[﹣4,5) . 点评: 本题主要考查分式不等式的解法,一元二次不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于中档 题.
5

12. (5 分)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 b=1,c= 面积是 .

,∠C=

,则△ABC 的

考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由余弦定理列出关系式,将 b,c 及 cosC 的值代入求出 a 的值,再由 a,b 及 sinC 的值,利用三角 形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: 解:∵b=1,c= ,cosC=﹣ , ∴由余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC,得:3=a +1+a,即(a+2) (a﹣1)=0, 解得:a=1,a=﹣2(舍去) , 则 S△ABC= absinC= ×1×1× 故答案为: 点评: 此题考查了余弦定理,三角形的面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本 题的关键. = .
2 2 2 2

13. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=﹣x+3y 的最大值是 50



考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意,作出可行域,由图形判断出目标函数 z=﹣x+3y 的最大值的位置即可求出其最值. 解答: 解:由题意,可行域如图, 由 得 A(10,20) .

目标函数 z=﹣x+3y 的最大值在点 A(10,20)出取到, 故目标函数 z=﹣x+3y 的最大值是 50. 故答案为:50.

6

点评: 本题考查简单线性规划求最值,其步骤是作出可行域,判断最优解,求最值,属于基本题.
a b

14. (5 分)设 a>0,b>0,若

是 3 与 3 的等比中项,则 + 的最小值是

4 .

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据等比中项的性质求得 a+b 的值,进而利用基本不等式取得 ab 的最大值,把 + 化简整理,根 据 ab 的范围,求得答案. a b 解答: 解:∵ 是 3 与 3 的等比中项 a b a+b ∴3 ?3 =3 =3 ∴a+b=1 ∴ab≤ ∴ + = = = (当 a=b 时等号成立) ≥4.

故答案为:4 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.使用基本不等式时要注意等号成立的条件. 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) 15. (12 分)已知向量 =(sinθ , (1)若 ∥ ,求 tanθ 的值; (2)若| |=| |,且 0<θ <π ,求角 θ 的大小. cosθ ) , =(1,1) .

考点: 平面向量的综合题. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)利用向量共线的条件,建立方程,即可求 tanθ 的值;
7

(2)根据| |=| |,利用模长公式,结合角的范围,即可得到结论. 解答: 解: (1)∵ =(sinθ , ∴sinθ = ∴tanθ = cosθ = ; cosθ ) , =(1,1) , ∥ ,

(2)∵| |=| |, ∴(sinθ ) +( ∴cos θ = ∴cosθ =± ∵0<θ <π ,∴θ = 或 .
2 2

cosθ ) =2

2

点评: 本题考查向量知识,考查向量共线定理,考查向量模的计算,考查学生的计算能力,属于中档题. 16. (12 分)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ) ,其中 ω >0,|φ |< (1)若 cos cosφ ﹣sin sinφ =0,求 φ 的值; ,求函数 f(x)的解



(2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 析式,并求函数 f(x)在 R 上的单调递增区间.

考点: 两角和与差的余弦函数;由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)利用特殊角的三角函数以及两角和与差公式化简为 cos( +Φ )=0,即可求出 φ 的值. (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 出 ω ,得到函数 f(x)的解析式,再由正弦函数的单调性求得递增区间. 解答: 解: (1)cos ∵|φ |< ∴φ = (2)由(1)得,f(x)=sin(ω x+ 又∵T= 故 ω =3, ) )依题意, = . cosφ ﹣sin sinφ =cos( +φ )=0 ,求出周期,求

∴f(x)=sin(3x+

8

2kπ ﹣

≤3x+

≤2kπ +

(k∈Z)? ﹣

≤x≤ kπ + , kπ +

(k∈Z)

∴函数 f(x)在 R 上的单调递增区间为[﹣

](k∈Z)

点评: 本题是中档题,考查三角函数的字母变量的求法,三角函数的单调性,考查计算能力,是常考题.

17. (14 分)如图,已知角 α 的终边在第二象限,且与单位圆交于点 P(m, (1)求实数 m 的值;

) .

(2)求

的值.

考 运用诱导公式化简求值;任意角的三角函数的定义. 点: 专 计算题. 题: 分 (1)根据 P 点在单位圆上,列出关于 m 的方程,求出方程的解即可得到 m 的值; 析: (2)由点 P 坐标求出 sinα 与 cosα 的值,所求式子利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简, 再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形,将 sinα 与 cosα 的值代入计算即可求出值. 解 答: 解: (1)根据题意得: =1,且 m<0,

解得:m=﹣ ; (2)∵sinα = ∴原式 ,cosα =﹣ ,

=

=

=

=

. 点 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握公式是解本题的关键. 评: 18. (14 分)已知{an}是公差为 2 的等差数列,且 a3+1 是 al+1 与 a7+1 的等比中项.
9

(1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= ,求数列{b}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由{an}是公差为 2 的等差数列,a3+1 是 al+1 与 a7+1 的等比中项,知 ,解得 a1=3,由此能求出数列{an}的通项公式.

(2)由

=

=

,知

,由此利用错位相减法能

够求出数列{b}的前 n 项和 Tn. 解答: 解: (1)∵{an}是公差为 2 的等差数列, ∴a3=a1+4,a7=a1+12, ∵且 a3+1 是 al+1 与 a7+1 的等比中项, 2 ∴(a3+1) =(a1+1) (a7+1) , ∴ 解得 a1=3, ∴an=3+2(n﹣1) , ∴an=2n+1. (2) = = , ,



,①



=

,②

①﹣②,得

=1+

=



=2﹣









点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意错位相减法的合 理运用. 19. (14 分) (2012?钟祥市模拟)某观测站 C 在城 A 的南 20°西的方向上,由 A 城出发有一条公路,走向 是南 40°东,在 C 处测得距 C 为 31 千米的公路上 B 处,有一人正沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后,到 达 D 处,此时 C、D 间距离为 21 千米,问这人还需走多少千米到达 A 城?

10

考点: 解三角形的实际应用;函数模型的选择与应用. 专题: 计算题. 分析: 根据题意可分别求得 BC,BD,CD 和∠CAB,设∠ACD=α ,∠CDB=β .在△CDB 中利用余弦定理求得 cosβ 的值,进而利用同角三角函数的基本关系求得 sinβ 的值,进而利用 sinα =sin(β ﹣20°﹣ 40°)利用两角和公式展开,最后在△ACD 中,由正弦定理得答案. 解答: 解:根据题意得,BC=31 千米,BD=20 千米,CD=21 千米,∠CAB=60?. 设∠ACD=α ,∠CDB=β . 在△CDB 中,由余弦定理得 ,

于是



sinα =sin(β ﹣20°﹣40°)=sin(β ﹣60°) = 在△ACD 中,由正弦定理得 . .

答:此人还得走 15 千米到达 A 城.

点评: 本题主要考查了解三角形问题的问题.考查了学生综合运用所学知识解决实际问题的能力. 20. (14 分) (2013?门头沟区一模)已知数列{An}的前 n 项和为 Sn,a1=1,满足下列条件 * ①? n∈N ,an≠0; ②点 Pn(an,Sn)在函数 f(x)= 的图象上;

(I)求数列{an}的通项 an 及前 n 项和 Sn; (II)求证:0≤|Pn+1Pn+2|﹣|PnPn+1|<1.
11

考点: 数列的极限;数列的函数特性. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (I)由题意 ,当 n≥2 时 an=Sn﹣Sn﹣1,由此可得两递推式,分情况可判断数列{an}为等

比数列或等差数列,从而可求得通项 an,进而求得 Sn; (II)分情况讨论:当当 an+an﹣1=0 时, ,计算可得

|Pn+1Pn+2|=|PnPn+1|=

,从而易得|Pn+1Pn+2|﹣|PnPn+1|的值;当 an﹣an﹣1﹣1=0 时,



利用两点间距离公式可求得|Pn+1Pn+2|,|PnPn+1|,对|Pn+1Pn+2|﹣|PnPn+1|化简后,再放缩即可证明结论; 解答: (I)解:由题意 ,

当 n≥2 时 an=Sn﹣Sn﹣1=



整理,得(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣1)=0, * 又? n∈N ,an≠0,所以 an+an﹣1=0 或 an﹣an﹣1﹣1=0, 当 an+an﹣1=0 时,a1=1, ,







当 an﹣an﹣1﹣1=0 时,a1=1,an﹣an﹣1=1, 得 an=n, .

(II)证明:当 an+an﹣1=0 时, |Pn+1Pn+2|=|PnPn+1|= ,所以|Pn+1Pn+2|﹣|PnPn+1|=0, , ,|PnPn+1|= ﹣ ,



当 an﹣an﹣1﹣1=0 时, |Pn+1Pn+2|= |Pn+1Pn+2|﹣|PnPn+1|=

=

=



12

因为 所以 0<

>n+2,

>n+1, <1,

综上 0≤|Pn+1Pn+2|﹣|PnPn+1|<1. 点评: 本题考查数列与函数的综合,考查分类讨论思想,解决本题的关键是利用 an 与 Sn 的关系先求得 an.

13


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