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2014辽宁省数学(理)卷文档版(有答案)-2014年普通高等学校招生统一考试

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项 是符合题目要求的.
1.已知全集 U ? R, A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则集合 CU ( A A. {x | x ? 0} B. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} )

B) ? (



D. {x | 0 ? x ? 1}

2.设复数 z 满足 ( z ? 2i)(2 ? i) ? 5 ,则 z ? ( A. 2 ? 3i 3.已知 a ? 2
?

B. 2 ? 3i
1 3

C. 3 ? 2 i

D. 3 ? 2i ) D. c ? b ? a )

, b ? log 2

1 1 , c ? log 1 ,则( 3 2 3
C. c ? a ? b

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

4.已知 m,n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是( A.若 m / /? , n / /?, 则 m / / n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ?

5. 设 a, b, c 是非零向量,学科 网已知命题 P :若 a ? b ? 0 , b ? c ? 0 ,则 a ? c ? 0 ;命题 q :若

a / /b, b / /c ,则 a / / c ,则下列命题中真命题是(
A. p ? q B. p ? q C. (?p) ? (?q)



D. p ? (?q) )

6.6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( A.144 B.120 C.72 D.24 )

7.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 8 ? 2? B. 8 ? ? C. 8 ?

? 2

D. 8 ?

? 4

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aa

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8.设等差数列 {an } 的公差为 d,若数列 {2 1 n } 为递减数列,则( A. d ? 0 B. d ? 0 C. a1d ? 0 D. a1d ? 0

9.将函数 y ? 3sin(2 x ? A.在区间 [ B.在区间 [

?
3

) 的图象向右平移

? 个单位长度,所得图象对应的函数( 2



, ] 上单调递减 12 12

? 7?

, ] 上单调递增 12 12

? 7?

C.在区间 [ ? D.在区间 [ ?

? ?

, ] 上单调递减 6 3 , ] 上单调递增 6 3

? ?

10.已知点 A(?2,3) 在抛物线 C: y 2 ? 2 px 的准线上,学 科网过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于 点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( A. )

1 2

B.

2 3

C.

3 4
3

D.
2

4 3


11.当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. [?5, ?3] B. [ ?6, ? ]

9 8

C. [?6, ?2]

D. [?4, ?3] XKB1

12.已知定义在 [0,1] 上的函数 f ( x ) 满足: ① f (0) ? f (1) ? 0 ; ②对所有 x, y ? [0,1] ,且 x ? y ,有 | f ( x) ? f ( y ) |?

1 | x ? y |. 2


若对所有 x, y ? [0,1] , | f ( x) ? f ( y) |? k ,则 k 的最小值为( A.

1 2

B.

1 4

C.

1 2?

D.

1 8

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.执行右侧的程序框图,若输入 x ? 9 ,则输出 y ? . XKB1

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14.正方形的四个顶点 A(?1, ?1), B(1, ?1), C (1,1), D(?1,1) 分别在抛物线 y ? ? x2 和 y ? x2 上,如图所 示,若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,学科网则质点落在阴影区域的概率是 .

15.已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B, 9 4
. XKB1

线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |?

2 2 16.对于 c ? 0 ,当非零实数 a,b 满足 4a ? 2ab ? 4b ? c ? 0 ,且使 | 2a ? b | 最大时, ?

3 a

4 5 ? 的最 b c

小值为

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边 a,b,c,且 a ? c ,已知 BA ? BC ? 2 , cos B ? (1)a 和 c 的值; (2) cos( B ? C ) 的值. 18. (本小题满分 12 分) 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:

1 , b ? 3 ,求: 3

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将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的 概率; (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列,期望 E ( X ) 及方 差 D( X ) . 19. (本小题满分 12 分)
0 如图, ?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直,且 AB ? BC ? BD ? 2 , ?ABC ? ?DBC ? 120 ,E、

F 分别为 AC、DC 的中点. (1)求证: EF ? BC ; (2)求二面角 E ? BF ? C 的正弦值.

20. (本小题满分 12 分) 圆 x ? y ? 4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P
2 2

(如图) ,双曲线 C1 : (1)求 C1 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 过点 P 且离心率为 3 . a 2 b2

(2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点,若以线段 AB 为直径的圆心过点 P,求 l 的方程.

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21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (cos x ? x)(? ? 2 x) ? (sin x ? 1) , g ( x) ? 3( x ? ? ) cos x ? 4(1 ? sin x) ln(3 ? 证明: (1)存在唯一 x0 ? (0, (2)存在唯一 x1 ? (

8 3

2x

?

).

?
2

) ,使 f ( x0 ) ? 0 ;

?
2

, ? ) ,使 g ( x1 ) ? 0 ,且对(1)中的 x0 有 x0 ? x1 ? ? .

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲学科网 如图,EP 交圆于 E、C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG ? PD ,连接 DG 并延长交圆于点 A, 作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (1)求证:AB 为圆的直径; (2)若 AC=BD,求证:AB=ED.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 将圆 x ? y ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.
2 2

(1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P 1, P 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极 坐标系,求过线段 PP 1 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

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设函数 f ( x) ? 2 | x ? 1| ? x ? 1 , g ( x) ? 16 x2 ? 8x ? 1 ,记 f ( x) ? 1 的解集为 M, g ( x) ? 4 的解集为 N. (1)求 M; (2)当 x ? M

N 时,证明: x 2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ?

1 . 4

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 理科数学答案
1. D 13. 2. A 3. C 4. B 5. A 6. D 7. B 8. C 9. B 10. D 11. C 12. B

29 2 C 14. 9 3

15. 12 16. ?2

17.(Ⅰ)由 BA ? BC ? 2 得, c ? a cos B ? 2 ,又 cos B 由余弦定理,得 a 又 b=3,所以 a 解? 2
2 2

1 ? ,所以 ac=6. 3

? c ? b ? 2ac cos B .
2

2

2

? c ? 9 ? 2 ? 2 ? 13 .
,得 a=2,c=3 或 a=3,c=2.

? ?ac ? 6 ? ?a ? c ? 13
2

因为 a>c,∴ a=3,c=2. (Ⅱ)在 ?ABC 中, sin B ?

1 2 2 2 2 1 ? cos B ? 1 ? ( ) ? . 3 3

由正弦定理,得 sin C

c 2 2 2 4 2 ,又因为 a ? b ? c ,所以 C 为锐角,因此 ? sin B ? ? ? b 3 3 9
4 2 2 7 ) ? . 9 9

cos C ? 1 ? sin C ? 1 ? (

2

于是 cos( B ? C) ? cos B cos C ? sin B sin C =

1 7 2 2 4 2 23 . ? ? ? ? 3 9 3 9 27

18.(Ⅰ)设 A , A2 表示事件“日销售量低于 50 个” ,B 表示事件 1 表示事件“日销售量不低于 100 个” “在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个”.因此

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P( A1 ) ? (0.006 ? 0.004 ? 0.002) ? 50 ? 0.6 . P( A2 ) ? 0.003? 50 ? 0.15 .
P( B) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.15 ? 2 ? 0.108 .
(Ⅱ)X 的可能取值为 0,1,2,3.相应的概率为
0 P( X ? 0) ? C3 ? (1 ? 0.6)3 ? 0.064 , 1 P( X ? 1) ? C3 ? 0.6(1 ? 0.6)2 ? 0.288 , 2 P( X ? 2) ? C3 ? 0.62 (1 ? 0.6) ? 0.432 ,

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3 P( X ? 3) ? C3 ? 0.63 ? 0.216 ,

分布列为
X P 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216

因为 X~B(3,0.6),所以期望为 E(X)=3×0.6=1.8,方差 D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72 19.(Ⅰ)证明: (方法一)过 E 作 EO⊥BC,垂足为 O,连 OF,

由△ABC≌△DBC 可证出△EOC≌△FOC,所以∠EOC=∠FOC= 又 EO⊥BC,因此 BC⊥面 EFO, 又 EF ? 面 EFO,所以 EF⊥BC.

? ,即 FO⊥BC, 2

(方法二)由题意,以 B 为坐标原点,在平面 DBC 内过 B 左垂直 BC 的直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴,在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

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易 得 B ( 0,0,0 ) , A(0 , -1 ,

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1 3 ) F, 3 ),D( 3 ,-1,0) , C(0,2,0), 因 而 E ( 0 , , 2 2 3 1 所 ( , ,, 0 )以 2 2

EF ? (

3 3 , 0, ? ), BC ? (0, 2, 0) ,因此 EF ? BC ? 0 ,从而 EF ? BC ,所以 EF ? BC . 2 2

(Ⅱ) (方法一)在图 1 中,过 O 作 OG⊥BF,垂足为 G,连 EG,由平面 ABC⊥平面 BDC,从而 EO ⊥平面 BDC,又 OG⊥BF,由三垂线定理知 EG 垂直 BF. 因此∠EGO 为二面角 E-BF-C 的平面角; 在△EOC 中,EO=

1 1 BO 3 3 EC= BC·cos30°= ,由△BGO∽△BFC 知, OG ? ,因此 ? FC ? 2 2 BC 4 2

tan∠EGO=

EO 2 5 2 5 ? 2 ,从而 sin∠EGO= ,即二面角 E-BF-C 的正弦值为 . OG 5 5

(方法二)在图 2 中,平面 BFC 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) ,设平面 BEF 的法向量 n2 ? ( x, y, z) , 又 BF ? (

? 3 1 1 3 ?n2 ? BF ? 0 得其中一个 n2 ? (1, ? 3,1) , 设二面角 E-BF-C , , 0), BE ? (0, , ) ,由 ? 2 2 2 2 n ? BE ? 0 ? ? 2
2 2 5 n1 ? n2 1 , 因 sin ? = = , |? 5 5 | n1 | ? | n2 | 5

的大小为 ? , 且由题意知 ? 为锐角, 则 cos ? ?| cos ? n1 , n2 ?|?|

即二面角 E-BF-C 的正弦值为

2 5 . 5 x0 ,切线方程为 y0

20.(Ⅰ)设切点坐标为 ( x0 , y0 )( x0 ? 0, y0 ? 0) ,则切线斜率为 ?

y ? y0 ? ?

x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? y0 y ? 4 ,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 y0

1 4 4 8 .由 x02 ? y02 ? 4 ? 2x0 y0 知当且仅当 x0 ? y0 ? 2 时 x0 y0 有最大值,即 S 有最 S? ? ? ? 2 x0 y0 x0 y0
小值,因此点 P 得坐标为 ( 2, 2) , 由题意知

?2 2 y2 ? 2 ? 2 ?1 2 2 2 x ? ? 1. 解得 ,故 方程为 C a ? 1, b ? 2 ?a b 1 2 2 2 2 ?a ? b ? 3a ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C2 的焦点坐标为 (? 3,0),( 3,0) ,由此 C2 的方程为 由 P( 2, 2) 在 C2 上,得

x2 y2 ? ? 1 ,其中 b1 ? 0 . 3 ? b12 b12

2 2 ? 2 ? 1, 2 3 ? b1 b1

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解得 b12=3,因此

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x2 y 2 C2 方程为 ? ?1 6 3

显然,l 不是直线 y=0.设 l 的方程为 x=my+ 3 ,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? x ? my ? 3 ? 由 ? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?6

得 (m2 ? 2) y2 ? 2 3my ? 3 ? 0 , 又 y1 , y2 是 方 程 的 根 , 因 此

? 2 3m y ?y ?? 2 ? ? 1 2 m ?2 ? ? y y ? ?3 1 2 ? m2 ? 2 ?


, 由

x1 ?

m31 ? y,

2

? x 得 32 ? m



? 4 3 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 3 ? 2 ? ? m ?2 ? 2 ? x x ? m2 y y ? 3m( y ? y ) ? 3 ? 6 ? 6m 1 2 1 2 1 2 ? m2 ? 2 ?


③ ④

AP ? ( 2 ? x1, 2 ? y1 ), BP ? ( 2 ? x2 , 2 ? y2 ) 由 题 意 知

A ? P

? B0 P , 所 以

x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ? 0
2m2 ? 2 6m ? 4 6 ?11 ? 0 , 解 得 m ?
x?(

⑤ ,将①,②,③,④代入⑤式整理得

3 6 3 6 ?1 , 因 此 直 线 l 的 方 程 为 ?1 或 m ? ? 2 2

3 6 3 6 ? 1) y ? 3 ? 0 ,或 x ? ( ? 1) y ? 3 ? 0 . 2 2

21.(Ⅰ)当 x ? (0,

?

2 ? ) 时, f '( x) ? ?(1 ? sin x)(? ? 2 x) ? 2 x ? cos x ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ) 上为 2 3 2 8 ? 16 ? ? 0, f ( ) ? ?? 2 ? ? 0 ,所以存在唯一 x0 ? (0, ) ,使 f ( x0 ) ? 0 . 3 2 3 2 3( x ? ? ) cos x 2 ? ? 4 ln(3 ? x), x ? [ , ? ] , 1 ? sin x ? 2

减函数,又 f (0) ? ? ? (Ⅱ)考虑函数 h( x) ? 令 t ? ? ? x ,则 x ? [ 记 u (t ) ? h(? ? t ) ?

?

, ? ] 时, t ? [0, ] , 2 2

?

3t cos t 2 3 f (t ) ? 4 ln(1 ? t ) ,则 u '(t ) ? , 1 ? sin t ? (? ? 2t )(1 ? sin t )

由(Ⅰ)得,当 t ? (0, x0 ) 时, u '(t ) ? 0 ,当 t ? ( x0 ,

?
2

) 时, u '(t ) ? 0 .

在 (0, x0 ) 上 u(t ) 是增函数,又 u (0) ? 0 ,从而当 t ? (0, x0 ] 时, u(t ) ? 0 ,所以 u(t ) 在 (0, x0 ] 上无零 点.

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在 ( x0 ,

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?
?

?

) 上 u(t ) 是减函数, 由 u ( x 0 ) ? 0, u ( ) ? ?4 ln 2 ? 0 , 存在唯一的 t1 ? ( x0 , ) , 使 u(t1) ? 0 . 2 2 2

所以存在唯一的 t1 ? ( x0 ,

?
2

) 使 u(t1 ) ? 0 .

因此存在唯一的 x1 ? ? ? t1 ? ( 因为当 x ? ( 的 x1 ? (

?
2

, ? ) ,使 h( x1 ) ? h(? ? t1 ) ? u(t1 ) ? 0 .

?
2

, ? ) 时, 1 ? sin x ? 0 ,故 g ( x) ? (1 ? sin x )h (x ) 与 h( x) 有相同的零点,所以存在唯一

?
2

, ? ) ,使 g ( x1 ) ? 0 .

因 x1 ? ? ? t1 , t1 ? x0 ,所以 x0 ? x1 ? ? 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.(Ⅰ)因为 PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于 PD 为切线,故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠ EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA. 由于 AF 垂直 EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°,故 AB 是直径. (Ⅱ)连接 BC,DC.

由于 AB 是直径,故∠BDA=∠ACB=90°, 在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中,AB=BA,AC=BD, 从而 Rt△BDA≌Rt△ACB,于是∠DAB=∠CBA. 又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故 DC∥AB. 由于 AB ? EP, 所以DC ? EP, ?DCE为直角 于是 ED 是直径,由(Ⅰ)得 ED=AB. 23. (Ⅰ) 设 ( x1 , y1 ) 为圆上的点, 在已知变换下位 C 上点 (x, y) , 依题意, 得?

? x ? x1 由 x12 ? y12 ? 1 ? y ? 2 y1

2 得 x ? ( ) ? 1 ,即曲线 C 的方程为 x ?
2 2

y 2

? x=cos t y2 ? 1.,故 C 得参数方程为 ? (t 为参数). 4 ? y=2sin t

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? 2 y2 ?x ? 1 ?x ? 0 ?1 ?x ? (Ⅱ)由 ? 解得: ? ,或 ? . 4 ?y ? 0 ?y ? 2 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
不妨设 P 1 2 的中点坐标为 ( ,1) ,所求直线的斜率为 k ? 1 (1,0), P 2 (0, 2) ,则线段 PP 为 y ?1 ?

1 2

1 , 于是所求直线方程 2

1 1 (x ? ) , 2 2

化极坐标方程,并整理得

2? cos ? ? 4? sin ? ? ?3 ,即 ? ?
24.(Ⅰ) f ( x) ? ?

3 . 4sin ? ? 2 cos ?

?3x ? 3, x ?[1, ??) ?1 ? x , x ? (??,1)
4 4 ,故 1 ? x ? ; 3 3

当 x ? 1 时,由 f ( x) ? 3x ? 3 ? 1 得 x ?

当 x ? 1 时,由 f ( x) ? 1 ? x ? 1 得 x ? 0 ,故 0 ? x ? 1 ; 所以 f ( x) ? 1 的解集为 M ? {x | 0 ? x ? } . (Ⅱ)由 g ( x) ? 16 x2 ? 8x ? 1 ? 4 得 16( x ? ) ? 4, 解得 ?
2

4 3

1 4

1 3 1 3 ? x ? ,因此 N ? {x | ? ? x ? } ,故 4 4 4 4

M

3 N ? {x | 0 ? x ? }. 4
N 时, f ( x) ? 1 ? x ,于是

当 x?M

x2 f ( x) ? x ?[ f ( x)]2 ? xf ( x)[ x ? f ( x)]
? x ? f ( x) ? x(1 ? x) ? 1 1 1 ? ( x ? )2 ? . 4 2 4

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