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2016届高考数学一轮复习 6.2一元二次不等式及其解法练习 理

2016届高考数学一轮复习 6.2一元二次不等式及其解法练习 理


第二节 一元二次不等式及其解法

基础回 顾K 一、一元二次不等式的概念 1.我们把 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不 等式. 2. 使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个一元二次不等式的解, 一元二次不等式 所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集. 二、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系

三、求解一元二次不等式的程序框图

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四、一元二次不等式的解法 一元二次不等式 ax +bx+c<0(a≠0)的解集的确定受 a 的符号和 b -4ac 的符号的影响, 且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系,可结合相应的函数 y=ax +bx+c(a≠0) 的图象,求得不等式的解集. 若一元二次不等式经过不等式的同解变 形后,化为 ax +bx+c>0(或<0)(其中 a>0) 的形式,其对应的方程 ax +bx+c=0 有两个不等实根 x1,x2(x1<x2),此时Δ =b -4ac>0, 则可根据“大于取两边,小于夹中间”求得解集. 五、高次不等式与分式不等式的解法 1.高次不等式的解法:先将最高次项的系数化为正数,然后分解因式,将相应方程的所 有根画在数轴上,采取“数轴标根”法(或称穿针引线法)得出不等式的解集. 数轴标根法的操作过程: (1)把不等式变形为一边是一次因式的积,另一边是 0 的形式; (2)各因式中 x 的系数全部变为 1,约去偶次因式; (3)把各个根从小到大依次排好标出,从数轴最左端向右端依次取根判断,并“引线”; (4)严格检查因式的根(特别是约 去的偶次因式的根)是否在解集内. 2.分式不等式的解法:将分式不等式转化为整式不等式,通过“穿针引线”法得出不等 式的解集.
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2 2 2 2 2 2

f(x) >0(<0) 可 转 化 为 g(x)
?f(x)g(x)≥0(≤0), ? ? ? ?g(x)≠0.

f(x)g(x)>0(<0) ;

f(x) ≥ 0(≤0) 可 以 转 化 为 g(x)

基础自 测K 1.不等式 x >x 的解集是(D) A.(-∞,0) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 解析:由 x >x 得 x(x-1)>0,所以解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选 D.
2 2

2.(2013·青海质检)不等式 x -4>3|x|的解集是(A) A.(-∞,-4)∪(4,+∞) B.(-∞,-1)∪(4,+∞) C.(-∞,-4)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:因为|x| -3|x|-4>0,所以(|x|-4)(|x|+1)>0,所以|x|>4,得 x>4 或 x<-4, 故选 A. x-1 3.不等式 >1 的解集是{x|x<-2}. x+2 x-1 x-1 -3 解析:∵ >1? -1>0? >0, x+2 x+2 x+2 ∴x+2<0? x<-2. 4.设集合 A={x||x|<4},B={x|x -4x+3>0},则集合{x|x∈A 且 x?A ∩B}=[1,3]. 解析:A={x|-4<x<4},B={x<1 或 x>3}, ∴A∩B={x|-4<x<1 或 3<x<4}. ∵x∈A 且 x?A∩B,∴x∈[1,3].
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高考方向
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1.以选择题或填空题的形式考查一元二次不等式的解法及恒成立问题. 2.常常与集合运算、函数定义域求解、用导数求单调区间等问题结合在一起进行考查, 难度为中等及以下.

品 味 高 考
? ? 1? x 1. (2013·安徽卷)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x?x<-1或x> ?, 则 f(10 )>0 2 ? ? ?

的解集为( D) A.{x|x<-1 或 x>-lg 2} B.{x|-1 <x<-lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2}

1 1 ? x x 解析:由已知条件知不等式 f(x)>0 的解集为{x?-1<x< },所以-1<10 < ,但 10 2 2 ? 1 1 x >0,所以有 0<10 < ,解得 x<lg =-lg 2. 2 2 x-1 2.不等式 ≤0 的解集为(A) 2x+1

? 1 ? A.?- ,1? ? 2 ?

? 1 ? B.?- ,1? ? 2 ?
1? ? D.?-∞,- ?∪[1,+∞) 2? ?

1? ? C.?-∞,- ?∪[1,+∞) 2? ?

?(x-1)(2x+1)≤0, ? x-1 1 解析: ≤0? ? ? - <x≤1.故选 A. 2x+1 2 ?2x+1≠0 ?

高 考 测 验 1.已知全集 U=R,且 A={x||x-1|>2},B={x|x -6x+8<0} ,则?UA∩B 等于(C) A.(2,3) B.[2,3] C.(2,3] D .(-2,3] 解析:A={x|x>3 或 x<-1},?UA={x|-1≤x≤3},B={x|2<x<4},所以(?UA)∩B =(2,3],故选 C.
?x +2x,x≥0, ? 2.已知函数 f(x)=? 2 若 f(-a)+f(a)≤2f(1),则 a 的取值范围是(C) ?x -2x,x<0. ?
2 2

A.[-1,0) C.[-1,1]

B.[0,1] D.[-2,2]

解析:依题意 f(1)=3,当 a=0 时,不等式 f(-a)+f(a)≤2f(1)成立;当 a≠0 时,不
? ? ?a>0, ?a<0, ? 等式 f(-a)+f(a)≤2f(1)等价于? 或 由此解得 0<a≤1 或 2 2 ?2(a +2a)≤6 ? ?2(a -2a)≤6, ?

-1≤a<0.

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综上所述,不等式 f(-a)+f (a)≤2f(1)的解集是[-1,1],故选 C.

课时作业 1 1.不等式 ≤1 的解 集是(C) x A.(1,+∞) B.[1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,0)∪[1,+∞)

1 1 x-1 解析: ≤1?1- = ≥0,解得 x<0 或 x≥1. x x x 故选 C. 2.若集合 A={x|ax -ax+1<0}=?,则实数 a 的值的集合是(D) A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4} C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4} 解析:此题等价于 ax -ax+1≥0,x∈R 恒成立.当 a=0 时,1≥0 恒成立;当 a≠0 时,
?a>0, ? 则? 解得 0<a≤4,综上,a 的取值范围是[0,4].故选 D. 2 ? ?Δ =a -4a≤0,
2 2

3.已知集合 M={x|log2x≤1},N={x|x -2x≤0},则“a∈M”是“a∈N”的(A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析: 因 M={x|0<x≤2}, N={x|0≤x≤2}, 由 a∈M 可推得 a∈N, 但由 a∈N 推不出 a∈M. 故选 A.

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? 1? 4.若 0<a<1,则不等式(a-x)?x- ?<0 的解集为(C) ? a? ?1 ? A.? ,a? ?a ? ? 1? B.?a, ? ? a?
1? ? D.?-∞, ?∪(a,+∞) a? ?

?1 ? C.(-∞,a)∪? ,+∞? ?a ? ? 1? 解析:∵(a-x)?x- ?<0, ? a? ? 1? ∴(x-a)?x- ?>0, ? a?
∵0<a<1, 1 ∴a< , a

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1 ∴x<a 或 x> .故选 C. a 5.设二次函数 f(x)=x +bx+c,满足 f(x+3)=f(3-x),则使 f(x)>c-8 的 x 的取 值范围为(D) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-4)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(4,+∞) D.(-∞,2)∪(4,+∞) 解 析:∵f(x+3)=f(3-x), ∴x=3 是 y=f(x)的对称轴, b ∴- =3,∴b=-6, 2 ∴f(x)=x -6x+c, ∴f(x)>c-8,即 x -6x+8>0, 解得 x<2 或 x>4.故选 D.
?2x+1,x≥1, ? 6.(2013·云南昆明一中月考)设函数 f(x)=? 2 ?x -2x-2,x<1, ?
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若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是(B) A.( -∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪[1 ,+∞) C.(-∞,-3)∪(1,+∞) D.(-∞,-3)∪[1,+∞)
?x0≥1, ?x0<1, ? ? 解析:f(x0)>1?? 或? 2 ?x0≥1 或 x0<-1.故选 B. ? ?2x0+1>1 ? ?x0-2x0-2>1

7.若不等式 x -kx+k-1>0 对 x∈(1,2)恒成立,则实数 k 的取值范围是(-∞,2]. 解析:由 x -kx+k-1>0 得 k(x-1)<x -1. ∵1<x<2, ∴x-1>0. ∴k<x +1.当 1<x<2 时,k<x+1 恒成立, ∴k≤2. 8.(2013·南京师大附中月考)不等式(x+2) x -9≤0 的解集为(-∞,-3]∪{3}.
? ? ?x+2≤0, ?x≤-2, 2 解析:? 2 或 x -9=0,即? 或 x=±3,即 x≤-3 或 x=3. ?x -9≥0 ?x≤-3或x≥3 ? ?
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9.(2013·四川卷)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x -4x,则不 等式 f(x+2)<5 的解集是{x|-7<x<3}.
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解析:令 x<0,则-x>0, ∵x≥0 时,f(x)=x -4x, ∴f(-x)=(-x) -4(-x)=x +4x,又 f(x)为偶函数, ∴f(-x)=f(x),
? ? ?x -4x,x≥0, ?x≥0, ∴x<0 时, f(x)=x +4x, 故有 f(x)=? 2 再求 f(x)<5 的解, 由? 2 ?x +4x,x<0. ?x -4x<5, ? ?
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?x<0, ? 得 0≤x<5;由? 2 得-5<x<0,即 f(x)<5 的解为(-5,5).由于 f(x)向左平移两个 ? ?x +4x<5

单位即得 f(x+2),故 f(x+2)<5 的解集为{x|-7<x<3}. 10.已知关于 x 的不等式:ax +(a-1)x+a-1<0 的解集为 R,求 a 的取值范围. 解析:当 a=0 时,得 x>-1,不符合题意;
?a<0, ? ?a<0, ? 当 a≠0 时,则? 即? 2 ? ? ?Δ <0 ?(a-1) -4a(a-1)<0, ? ?a<0, 1 ∴? 2 解得 a<- . 3 ?3a -2a-1>0, ?
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1? ? ∴a 的取值范围是?-∞,- ?. 3? ? 11.解关于 x 的不等式 x -x-a(a-1)>0. 解析:原不等式可以化为:(x+a-1)(x-a) >0. 1 当 a>-(a-1),即 a> 时,则 x>a 或 x<1-a. 2 2 1 1 ? 1? 当 a=-(a-1),即 a= 时,则?x- ? >0,得 x≠ ,x∈R. 2 2 ? 2? 1 当 a<-(a-1),即 a< 时,则 x<a 或 x>1-a, 2 1 综上:当 a> 时,不等式的解集为{x|x<1-a 或 x>a} 2
? ? ? 1 1 当 a= 时,不等式的解集为?x?x≠ ,x∈R?; 2 2 ? ? ?
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1 当 a< 时,不等式的解集为{x|x<a 或 x>1-a}. 2

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