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第三章 3.1 3.1.2 第一课时 两角和与差的正弦、余弦公式

第三章   3.1   3.1.2    第一课时  两角和与差的正弦、余弦公式


第 一 课 时 3.1

1 理解教 材新知 2 突破常 考题型

知识点一 知识点二 题型一 题型二 题型三 随堂即时演练 课时达标检测

第 三 章

两角 和与 差的 正弦、 余弦 和正 切公 式

3. 1.2 两角 和与 差的 正弦 、余 弦、 正切 公式

两 角 和 与 差 的 正 弦、 余 弦 公 式

3 跨越高 分障碍
4 应用落 实体验

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3.1.2

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 两角和与差的正弦、余弦公式

第一课时

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两角和的余弦公式 [提出问题]
问题1:把公式cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β中的 β用-β代替,结果如何?
提示:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.
问题2:在cos(α± β)的公式中,α,β的条件是什么?
提示:α,β为任意角.

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[导入新知]
两角和与差的余弦公式 名称 两角和 的余弦 公式 cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β ________________________ 简记 符号 C(α+β) C(α-β) 条件

两角差的 cos(α-β)= cos αcos β+sin αsin β _______________________ 余弦

α, β∈R

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[化解疑难] 公式C(α+β)的推导 cos(α+β)=cos[α-(-β)] =cos αcos(-β)+sin αsin(-β) =cos αcos β-sin αsin β, 即cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.

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两角和与差的正弦公式 [提出问题]
问题1:由公式C(α+β)或C(α-β)可求sin 75° 的值吗?
提示:可以,因为sin 75° =cos 15° =cos(45° -30° ).

问题2:由公式C(α±β)可以得到sin(α+β)的公式吗?
?π ? 提示:可以,sin(α+β)=cos?2-?α+β?? ? ? ??π ? ? =cos??2-α?-β?=sin ?? ? ?

αcos β+cos αsin β.

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问题3:能利用上述公式把sin(α-β)用sin α,cos α, sin β,cos β表示吗?
提示:能.

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[导入新知] 两角和与差的正弦公式 名称 两角和 的正弦 公式 简记 符号 使用条件

sin(α+β)= S(α+β) α,β∈R sin αcos β+cos αsin β _______________________

两角差
的正弦

sin(α-β)= S(α-β) α,β∈R sin αcos β-cos αsin β _______________________

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[化解疑难] 两角和与差的正弦公式与余弦公式的区别 (1)余弦公式右边函数名的排列顺序为:余· 正· 余± 正, 左右两边加减运算符号相反. (2)正弦公式右边函数名的排列顺序为:正· 余· 余± 正, 左右两边加减运算符号相同.

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给角求值问题
[例 1] cos 20° (1) · 10° 3sin 10° 70° cos + tan -2cos sin 20°

40° =________. cos 10° (2)求值:(tan 10° 3) - . sin 50° cos 20° 10° 3sin 10° 70° cos sin (1)[解析] 原式= + sin 20° cos 70°

-2cos 40° cos 20° 10° 3sin 10° 20° cos + cos = -2cos 40° sin 20°

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cos 20° ?cos 10° 3sin 10° + ? = -2cos 40° sin 20° 2cos 20° ?cos 10° 30° sin +sin 10° 30° cos ? = -2cos 40° sin 20° 2cos 20° sin?30° +10° ? = -2cos 40° sin 20° 2cos 20° 40° sin -2sin 20° 40° cos = sin 20° 2sin?40° -20° ? = sin 20° =2.

[答案] 2
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cos 10° (2)[解] 法一:原式=(tan 10° -tan 60° ) sin 50°
? sin 10° sin 60°cos 10° ? ? - =?cos 10° cos 60° ? ? sin 50°

sin?-50° cos 10° ? = · cos 10° 60°sin 50° cos =-2.

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? sin 10° - 法二:原式=?cos 10° ?

?cos 10° 3? ? sin 50°

sin 10° 3cos 10°cos 10° - = · cos 10° sin 50°
?1 2? sin ?2 ? ? 3 ? 10° - cos 10° ? 2 ? sin 50°



2sin?10° -60° ? = sin 50° =-2.

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[类题通法] 解决给角求值问题的策略 对非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整 体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则 整体变形,否则进行各局部的变形.一般途径有将非特殊 角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项 求值,化分子、分母形式进行约分式值;要善于逆用或变 用公式.

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[活学活用] 求值:[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° 2sin280° )]· .
解:[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° 2sin280° )]·
? =?2sin ?

50° +sin

? ? 10°1+ ?

? sin 10°? ??· 2cos210° 3 cos 10°? ?

? ?1 ?? 3 + ? ?2cos 10° 2 sin 10°? ? =?2sin 50° +2sin 10° ? ??· cos 10° ? ?? ?

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2cos

2

? 10° ?2sin = ?

? cos 50° ?· 2cos 10° 50° +2sin 10° · cos 10° ?

=2 2(sin 50°cos 10° · +sin 10°cos 50° · )=2 2sin 60° = 6.

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给值(式)求值问题
[例 2]
?π ? π 3π π 3 ? +α? =- , 已知 <α< ,0<β< ,cos 4 4 4 4 5 ? ?

?3π ? 5 ? +β?= . sin 4 ? ? 13

(1)求 sin(α+β)的值; (2)求 cos(α-β)的值. π 3π π π [解] (1)∵ <α< , < +α<π, 4 4 2 4
?π ? ∴sin?4+α?= ? ?

1-cos

2?π

?

? 4 +α?= . ?4 ? 5

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π 3π 3π ∵0<β< , < +β<π, 4 4 4
?3π ? ∴cos? 4 +β?=- ? ?

1-sin 4 ?

2?3π

?

? 12 ?=- , +β 13 ?

∴sin(α+β)=-sin(π+α+β)
??π ? ?3π ?? =-sin??4+α?+? 4 +β?? ?? ? ? ?? ? ?π ? ?3π ? ?π ? ?3π ?? =-?sin?4+α?cos? 4 +β?+cos?4+α?sin? 4 +β?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?4 ? 12? ? 3? 5? ? =-?5×?-13?+?-5?×13? ? ? ? ? ? ? ?

63 = . 65
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(2)由(1)可知,
?π ? 4 ?3π ? 12 sin?4 +α?= ,cos? 4 +β?=- , 13 ? ? 5 ? ? ??π ? ?3π ?? ∴sin??4+α?-? 4 +β?? ?? ? ? ?? ?π ? ?3π ? ?π ? ?3π ? =sin?4+α?cos? 4 +β?-cos?4+α?sin? 4 +β? ? ? ? ? ? ? ? ?

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4 ? 12? ? 3? 5 33 ?- ?-?- ?× =- . = × 13 5 ? 65 ? ? 5? 13 又
??π ? ?3π ?? ? π? sin??4+α?-? 4 +β??=sin??α-β?-2 ? ?? ? ? ?? ? ?

=-cos(α-β), 33 从而 cos(α-β)= . 65

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[类题通法] 给值求值的解题策略 在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间 的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的 关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是: (1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知 两角的和或差. (2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化 为已知角.
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[活学活用] 3 5 已知 sin α= ,cos β=- ,且 α 为第一象限角,β 为第二 5 13 象限角,求 sin(α+β)和 sin(α-β)的值.
解:因为 α 为第一象限角,β 为第二象限角, 3 5 4 12 sin α= ,cos β=- ,所以 cos α= ,sin β= , 5 13 5 13 3 ? 5 ? 4 12 33 ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= ×?-13?+ × = , 5 ? ? 5 13 65 3 ? 5 ? 4 12 63 ?- ?- × =- . sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β= × 13 5 ? 65 ? 5 13

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给值(式)求角问题
[例 3] 1 1 已知△ABC 中 B=60° ,且 + =- cos A cos C

2 ,若 A>C,求 A 的值. cos B
[解] 由已知 B=60° ,A+C=120° ,

A-C 设 =α,∵A>C,则 α>0, 2 A+C A-C 故 A= + =60° +α, 2 2

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A+C A-C C= - =60° -α, 2 2 1 1 1 1 故 + = + cos A cos C cos?60° +α? cos?60° -α? = + 1 3 1 3 cos α- sin α cos α+ sin α 2 2 2 2 cos α = 1 2 3 2 cos α- sin α 4 4 = . 3 cos2α- 4
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1

1

cos α

2 由题设有 =- =-2 2, 3 cos B cos2α- 4 整理得:4 2cos2α+2cos α-3 2=0. (2cos α- 2)(2 2cos α+3)=0. ∵2 2cos α+3≠0, ∴2cos α- 2=0. 2 ∴cos α= . 2 故 α=45° ,A=60° +45° =105° .
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cos α

[类题通法]

解决给值(式)求角问题的方法 解决给值(式)求角问题的关键是寻求所求角的三角函数值 与已知值或式之间的关系,利用两角和与差的正余弦公式,求 出所求角的三角函数值,从而求出角.

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[活学活用] 5 10 已知α,β均为锐角,且sin α= ,cos β= ,求α- 5 10 β的值.

5 10 解:∵α,β均为锐角,且sin α= ,cos β= , 5 10 2 5 3 10 ∴cos α= ,sin β= . 5 10 ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β

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2 5 10 5 3 10 2 = × + × = . 5 10 5 10 2 又∵α,β 均为锐角, π π ∴- <α-β< . 2 2 又∵sin α<sin β,∴α<β,即 α-β<0. π π 从而- <α-β<0,故 α-β=- . 2 4

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7.与辅助角有关的公式

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[典例]

(12分)已知函数f(x)=sin

? π? ?x+ ? 6? ?

+sin

? π? ?x- ? 6? ?

+a

cos x+b(a,b∈R,且均为常数), (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若f(x)在区间
? π ? ?- ,0? ? 3 ?

上单调递增,且恰好能够取到

f(x)的最小值2,试求a,b的值.

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[解题流程]
?1?求f?x?的最小正周期,需化简f?x?的解析 式,然后利用公式求解; ?2?求a,b的值,应建立关于a,b的方程组
?1?f?x?的解析式,可利用两角和与差的正弦公式化简f?x? 的解析式;
? ? π π? ? ? ?2?f?x?在 - 3,0?上的单调性及最小值.由此可知?- 3 ?=2 ? ? ? ? ? ? ? ?

利用S?α+β?与S?α-β?化简解析式
利用单调性及最值建立关于 a, 的 b 方程组→求得 a,b 的值

利用asin

x+bcos

x=

(a2+b2)sin?x+φ?,整理解析式

利用周期公式求周期

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[规范解答]
?1?f?x?=sin
? π? ?x- ? +acos 6? ? ? π? ?x+ ? 6? ?

[名师批注]

此处利用辅助角公式asin x+bcos x = (a2+b2) sin?x+φ?进行了化简, 其中φ是由下面两式所确定: sin φ=

x+b=2sin

a a ?3
2

π xcos +acos x+b= 3sin 6 x+acos x+b=\ a2+3 sin?x+φ?+b.?4分?? 所以,函数f?x?的最小正 周期为2π.?6分??

,cos φ=

3 a ?3
2

.根据具体问题的需要,asin

x+bcos x也可化成 (a2+b2) cos?x+ φ?的形式.,,,,此处在解题过程中极易 忽视.注意对“恰好能够取到f?x?的最 小值2”的理解,否则无法求解.
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?2?由?1?可知: f?x?的最小值为- a2+3+b, 所以,- a2+3+b=2.?8分?? ? π ? 另外,由f?x?在区间 ?-3,0? 上单调递 ? ? 增, 可知,f?x?在区间 为f
? π? ?- ?, ? 3? ? π ? ?- ,0? ? 3 ?

[名师批注] 此处在解题过程中极易忽 视.注意对“恰好能够取 到f?x?的最小值2”的理 解,否则无法求解.

上的最小值

? π? 3 a ?- ?=- + +b=2.?10分?? 所以,f 3 2 2 ? ?

解之得a=-1,b=4.?12分??
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[活学活用] (湖南高考)已知函数 f(x)=cos (1)求 f
?2π? ? ?的值; ?3 ? ? π? x· ?x-3 ?. cos ? ?

1 (2)求使 f(x)< 成立的 x 的取值集合. 4

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解:(1)f

?2π? ? ?=cos ?3?

?1? 2π π π π 1 ? ?2=- . · =-cos · =- 2 cos cos 3 3 3 3 4 ? ?

(2)f(x)=cos =cos

? π? x· ?x-3 ? cos ? ? ? 3 ? x+ sin x? 2 ?

?1 ? x· cos ?2 ?

1 2 3 = cos x+ sin xcos x 2 2 1 3 = (1+cos 2x)+ sin 2x 4 4 π? 1 1 ? = cos?2x-3 ?+ . 2 ? ? 4
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? ? π? 1 1 π? 1 1 f(x)< 等价于 cos ?2x-3 ? + < ,即cos ?2x-3 ? <0.于是 4 2 4 4 ? ? ? ?

π π 3π 5π 2kπ+ <2x- <2kπ+ ,k∈Z.解得kπ+ <x<kπ+ 2 3 2 12 11π 1 5π ,k∈Z.故使f(x)< 成立的x的取值集合为xkπ+ 12 4 12 11π <x<kπ+ ,k∈Z. 12

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[随堂即时演练]
1.sin 105° 的值为 3+ 2 A. 2 6- 2 C. 4 2+1 B. 2 2+ 6 D. 4 ( )

解析:选D sin 105° =sin(45° +60° )=sin 45° 60° cos +cos 2+ 6 2 1 2 3 45° 60° sin = × + × = . 2 2 2 2 4

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? 17π? ? 17π? 2.cos?- 4 ?-sin?- 4 ?的值是 ? ? ? ?

(

)

A. 2

B.- 2

2 C.0 D. 2 ? 17π? ? 17π? 17π 17π ?- ? -sin ?- ? =cos 解析:选 A cos +sin 4 ? 4 ? 4 4 ? ?



?17π π? 2sin? 4 +4 ?= ? ?

9π 2sin = 2. 2

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4 4 3.已知cos(α+β)= ,cos(α-β)=- ,则cos αcos β= 5 5 ________.

解析:由条件知: 4 ? ?cos?α+β?=cos αcos β-sin αsin β=5, ? ?cos?α-β?=cos αcos β+sin αsin β=-4. 5 ?
答案:0

① ②

①+②得2cos αcos β=0,∴ cos αcos β=0.

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?π ? 3 4.已知sin α=- ,α是第四象限角,则sin?4-α?=________. 5 ? ? 3 解析:由sin α=- ,α是第四象限角, 5

得cos α= 1-sin α=

2

? 3? 4 ?- ?2= , 1- 5 5 ? ?

?π ? π ? -α? =sin cos 于是有sin 4 4 ? ? ? 3? 7 2 ×?-5?= . 10 ? ?

π 2 4 2 α-cos sin α= × - 4 2 5 2

7 2 答案: 10
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5.化简求值: (1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β); (2)cos(70° +α)sin(170° -α)-sin(70° +α)cos(10° +α); (3)cos 21°cos 24° · +sin 159°sin 204° · . 解:(1)原式=sin(α+β+α-β)=sin 2α.

(2)原式 =cos(70° +α)sin(10° +α)-sin(70° +α)cos(10° +α) =sin[(10° +α)-(70° +α)] =sin(-60° ) 3 =- . 2

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(3)原式=cos 21° 24° cos +sin(180° -21° )sin(180° +24° ) =cos 21° 24° cos -sin 21° 24° sin =cos(21° +24° ) 2 =cos 45° = . 2

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[课时达标检测]

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