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2014年高中数学 第二章 章末高效整合同步测试(含解析,含尖子生题库)新人教A版必修1

2014年高中数学 第二章 章末高效整合同步测试(含解析,含尖子生题库)新人教A版必修1


2014 年高中数学 第二章 章末高效整合同步测试(含解析,含 尖子生题库)新人教 A 版必修 1

(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M 是函数 y=lg(1-x)的定义域,集合 N={y|y=ex,x∈R}(e 为自然对数的 底数),则 M∩N=( ) A.{x|x<1} B.{x|x>1} C.{x|0<x<1} D.? 解析: 要使 lg(1-x)有意义,则有 1-x>0,即 x<1,即 M=(-∞,1),又由 y=ex 的 值域为(0,+∞)可知 N=(0,+∞),因此 M∩N=(0,1). 答案: C - 2.函数 y=2 |x|的大致图象是( )

解析: y=2

-|x|

x ? ?2 , ?x≥0? ? = x ?2 , ?x<0? ?


函数是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增.故选 C. 答案: C 3.若 loga-1(2x-1)>loga-1(x-1),则有( ) A.a>1,x>0 B.a>1,x>1 C.a>2,x>0 D.a>2,x>1 ?2x-1>0, ? 解析: 由题意知? 即 x>1.因为当 x>1 时,2x-1>x-1,由对数函数的性质 ? ?x-1>0, 知 a-1>1,即 a>2. 答案: D 4.函数 y=ax 与 y=-logax(a>0 且 a≠1)在同一坐标系中的图象可能是( )

解析: 当 a>1 时,函数 y=ax 单调递增,而 y=-logax 单调递减,故 A 符合条件. 答案: A 5.若 f(x)=(2a-1)x 是增函数,那么 a 的取值范围为( ) A.a>1 B.a≥1 1 1 C.a< D. <a<1 2 2 解析: 若 f(x)=(2a-1)x 是增函数,则 2a-1>1,即 a>1. 答案: A ? ?log2x,?x>0? 1 6.已知函数 f(x )=? x 若 f(a)= ,则实数 a=( ) 2 ?2 ,?x≤0? ? A.-1 C. 2 B.-1 或 2 D.1 或- 2
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1 解析: 由 log2a= 得 a= 2>0,合适; 2 1 1 由 2a= 得 a=log2 =-1<0,合适; 2 2 故 a=-1 或 2. 答案: B 7.三个数 a=70.3,b=0.37,c=ln 0.3 大小的顺序是( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b 解析: a=70.3>1,0<b=0.37<1,c=ln 0.3<0,∴a>b>c. 答案: A 1 1 + 8.给定函数①y=x ;②y=log (x+1);③y=|x-1|;④y=2x 1,其中在区间(0,1)上单 2 2 调递减的函数序号是( ) A.① ② B.②③ C.③④ D.①④ 1 1 解析: 幂函数 y=x 在定义域上是增函数,y=log (x+1)在定义域上是减函数,y=|x 2 2 ?x-1,?x≥1? ? + -1|=? 所以其在区间(-∞,1)上单调递减,y=2x 1 在定义域上是增函数,故 ? 1 - x , ? x <1 ? ? 1 在区间(0,1)上单调递减的函数是 y=log (x+1),y=|x-1|,故选 B. 2 答案: B 9.若 0<a<1,且 logba<1,则( ) A.0<b<a B.0<a<b C.0<a<b<1 D.0<b< a 或 b>1 解析: 当 b>1 时,logba<1=logbb. ∴a<b,即 b>1 成立. 当 0<b<1 时, logba<1=logbb,0<b<a<1. 即 0<b<a.故选 D. 答案: D 10.如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点,那么称这个点为“好 1? 点”.在下面的五个点 M(1,1),N(1,2),P(2,1),Q(2,2),G? ?2,2?中,可以是“好点”的个 数为( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析: 设指数函数 y=ax,则可知 N、Q、G 可以满足指数函数的条件. 设对数函数 y=logax,则可知 P、Q、G 可以满足对数函数的条件,故“好点”为 Q、G 共 2 个. 答案: C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) lg?5-x? 11.函数 f(x)= 的定义域为________. x-2
?5-x>0, ? 解析: ? ?{x|x<5 且 x≠2}. ? ?x-2≠0 答案 : {x|x<5 且 x≠2} 12.幂函数 f(x)=xα 的图象经过点(2,4),则 f(-3)的值是______. 解析: 由 f(x)=xα 的图象过点(2,4)可得 4=2α,

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∴α=2,∴f(x)=x2, f(-3)=(-3)2=9. 答案: 9 - 13.函数 f(x)=ax 2+1 的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标是________. 解析: ∵y=ax 恒过定点(0,1), - ∴函数 f(x)=ax 2+1 恒过定点(2,2). 答案: (2,2) ? ?log2x,?x>0? 1?? 14.已知函数 f(x)=? x 则 f? f? 4??的值是________. ? ? ?3 ,?x≤0? ? 1? 1 解析: 由于 f? ?4?=log24=-2, 1 -2 ?1?? 所以 f? ?f?4??= f(-2)=3 =9. 1 答案: 9 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 15.(本小题满分 12 分)计算下列各式的值: 4 3 (1)( 2× 3)6+( 2× 2) -(-2 008)0; 3 (2)lg 5lg 20+(lg 2)2; 1 (3)(log32+log92)· (log43+log83)+(log33 )2+ln e-lg 1. 2 1 1 11 4 解析: (1)原式=(2 ×3 )6+(2×2 ) × -1 3 2 22 3 1 1 3 1 4 =2 ×6×3 ×6+2 × × -1 3 2 2 2 3 =22×33+21-1 =4×27+2-1 =109. (2)原式=lg 5lg(5×4)+(lg 2)2 =lg 5(lg 5+lg 4)+(lg 2)2 =(lg 5)2+lg 5lg 4+(lg 2)2 =(lg 5)2+2lg 5lg 2+(lg 2)2 =(lg 5+lg 2)2=1. lg 2 lg 2 ? ? lg 3 lg 3 ? 1 1 (3)原式=? lg ? 3+2lg 3?· ?2lg 2+3lg 2?+4+2-0 3lg 2 5lg 3 3 5 3 = · + = + =2. 2lg 3 6lg 2 4 4 4 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数,且 f(3)<f(5).求 m 的值,并确定 f(x)的解析 式. 解析: 由 f(3)<f(5)得 3-2m2+m+3<5-2m2+m+3, 3? 2 ?3?0 ∴? ?5?-2m +m+3<1=?5? . 3?x ∵y=? ?5? 为减函数, 3 ∴-2m2+m+3>0,解得-1<m< . 2 ∵m∈Z,∴m=0,1. 当 m=0 时,f(x)=x-2m2+m+3=x3 为奇函数,不合题意; 当 m=1 时,f(x)=x-2m2+m+3=x2 为偶函数. ∴m=1,此时 f (x)=x2.
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17.(本小题满分 12 分)函数 f(x)=loga(1-x)+loga(x +3),(0<a< 1). (1)求函数 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)的最小值为-2,求 a 的 值. 解 析: (1)要使函数有意义, ? ?1-x>0, 则有? 解得-3<x<1, ?x+3>0, ? 所以定义域为(-3,1). (2)函数可化为 f(x)=loga[(1-x)(x+3)] =loga(-x2-2x+3) =loga[-(x+1)2+4]. ∵-3<x<1,∴0<-(x+1)2+4≤4. ∵0<a<1,∴loga[-(x+1)2+4]≥loga4. - 由 loga4=-2,得 a 2=4, 1 1 ∴a=4- = . 2 2 ex a 18.(本小题满分 14 分)设 a>0,f(x)= + x在 R 上满足 f(x)=f(-x). a e (1)求 a 的值; (2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函 数. 解析: (1)依题意,对一切 x∈R,有 f(x)=f(-x), ex a 1 即 + x= x+aex, a e ae 1 1 a- ??ex- x?=0 对一切 x∈R 成立, 所以? a e ? ?? ? 1 由此可得 a- =0,即 a2=1. a 又因为 a>0,所以 a=1. (2)证明:在(0,+∞)上任取 x1<x2,则 f(x1)-f(x2) 1 1 ex + ? =ex1+ -? ex1 ? 2 ex2? 1 1 =(ex1-ex2)+ - ex1 ex2 1 =(ex2-ex1)?ex +x -1? ? 1 2 ? 1-ex1+x2 =(ex2-ex1) . ex1+x2 由 x2>x1>0,得 x1+x2>0,ex2-ex1>0, 1-ex1+x2 <0. 所以 f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x)在(0,+∞)上是增函数.

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