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第七章 相关回归分析 思考题及练习题

第七章 相关回归分析 思考题及练习题


第七章 思考题及练习题
(一) 填空题 一 1、 1、 在相关关系中,把具有因果关系相互联系的两个变量中起影响 作 用 的 变 量 称 为 _______ , 把 另 一 个 说 明 观 察 结 果 的 变 量 称 为 ________。 2、 2、 现象之间的相关关系按相关的程度分有________相关、________相关和_______相关;按相关的方向分有________相关和________相关;按相关的形式分有________相关和________相关;按 影响因素的多少分有________相关和________相关。 3、 3、 对现象之间变量关系的研究中,对于变量之间相互关系密切程 度的研究,称为_______;研究变量之间关系的方程式,根据给定的 变量数值以推断另一变量的可能值,则称为_______。 4、 4、 完全相关即是________关系,其相关系数为________。 在相关分析中,要求两个变量都是_______;在回归分析中, 5、 5、 要求自变量是_______,因变量是_______。 6、 6、 相关系数是在________相关条件下用来说明两个变量相关 ________的统计分析指标。 7、 7、 相关系数的变动范围介于_______与_______之间,其绝对值愈 接近于_______, 两个变量之间线性相关程度愈高; 愈接近于_______, 两个变量之间线性相关程度愈低。当_______时表示两变量正相关; _______时表示两变量负相关。 8、 8、 当变量 x 值增加,变量 y 值也增加,这是________相关关系;

当变量 x 值减少,变量 y 值也减少,这是________相关关系。 9、 9、 在判断现象之间的相关关系紧密程度时,主要用_______进行 一般性判断,用_______进行数量上的说明。 10、 10、 在回归分析中, 两变量不是对等的关系, 其中因变量是_______ 变量,自变量是_______量。 已 知
? 2

11、 11 、

∑ ( x ? x)( y ? y) = 13600

?

?



∑ ( x ? x) 2 = 14400

?



∑ ( y ? y) = 14900
12、 12、 标。 13、 13、

,那么, x 和 y 的相关系数 r 是_______。

用来说明回归方程代表性大小的统计分析指标是________指

已知

σ xy = 150 , σ x = 18 , σ y = 11 ,那么变量 x 和 y 的相关系

数 r 是_______。 14、 14、 回归方程 y c = a + bx 中的参数 b 是________,估计特定参数常用 的方法是_________。

15、 15、 若商品销售额和零售价格的相关系数为-0.95,商品销售额和 居民人均收入的相关系数为 0.85,据此可以认为,销售额对零售价格 具有_______相关关系,销售额与人均收入具有_______相关关系,且 前者的相关程度_______后者的相关程度。 16、 16、 当变量 x 按一定数额变动时,变量 y 也按一定数额变动,这时

变量 x 与 y 之间存在着_________关系。 17、 17、 在直线回归分析中,因变量 y 的总变差可以分解为_______和

_______,用公式表示,即_____________________。 18、 18、 一个回归方程只能作一种推算,即给出_________的数值,估 计_________的可能值。 19、 19、 如估计标准误差愈小,则根据回归直线方程计算的估计值就 _______ 20、 20、 已知直线回归方程 y c = a + bx 中, b = 17.5 ;又知 n = 30 ,
?

∑ y = 13500 , x = 12 ,则可知 a = _______ 。
21、 21、 已知回归直线斜率为 0.8,自变量 x 的方差是 200,样本容量 为 20,那么回归平方和是_______。 22、 22、 已知变量 y 倚变量 x 的直线回归方程的斜率为 b , 又知变量 y 和

x 之间的 相关 系数 γ ,那 么,变 量 x 倚 y 的直线 回 归方程 斜率是
_______。 (二) 单项选择题 二 1、当自变量的数值确定后,因变量的数值也随之完全确定,这种关系属于 ( ) A、相关关系 B、函数关系 C、回归关系 D、随机关系 2、测定变量之间相关密切程度的代表性指标是( ) A、估计标准误 B、两个变量的协方差 C、相关系数 D、两个变量的标准差 3、现象之间的相互关系可以归纳为两种类型,即( ) A、相关关系和函数关系 B、相关关系和因果关系 C、相关关系和随机关系 D、函数关系和因果关系 4、相关系数的取值范围是( ) A、 0 ≤ γ ≤ 1 C、 ? 1 ≤ γ ≤ 1 B、 ? 1 < γ < 1 D、 ? 1 ≤ γ ≤ 0 )

5、变量之间的相关程度越低,则相关系数的数值(

A、越小 B、越接近于 0 C、越接近于-1 D、越接近于 1 6、在价格不变的条件下,商品销售额和销售量之间存在着( A、不完全的依存关系 B、不完全的随机关系 C、完全的随机关系 D、完全的依存关系 7、下列哪两个变量之间的相关程度高( ) A、商品销售额和商品销售量的相关系数是 0.9; B、商品销售额与商业利润率的相关系数是 0.84; C、平均流通费用率与商业利润率的相关系数是-0.94; D、商品销售价格与销售量的相关系数是-0.91 8、回归分析中的两个变量( ) A、都是随机变量 B、关系是对等的 C、都是给定的量 D、一个是自变量,一个是因变量



9、 每一吨铸铁成本 (元) 倚铸件废品率 (%) 变动的回归方程为:y c = 56 + 8 x , 这意味着( ) A、 A、 废品率每增加 1%,成本每吨增加 64 元 B、 废品率每增加 1%,成本每吨增加 8% B、 C、 C、 废品率每增加 1%,成本每吨增加 8 元 D、 如果废品率增加 1%,则每吨成本为 56 元。 D、 10、某校对学生的考试成绩和学习时间的关系进行测定,建立了考试成绩倚 学习时间的直线回归方程为: y c = 180 ? 5 x ,该方程明显有错,错误在于( )

A、a 值的计算有误,b 值是对的 B、b 值的计算有误,a 值是对的 C、a 值和 b 值的计算都有误 D、自变量和因变量的关系搞错了 11、配合回归方程对资料的要求是( ) A、因变量是给定的数值,自变量是随机的 B、自变量是给定的数值,因变量是随机的 C、自变量和因变量都是随机的 D、自变量和因变量都不是随机的。 12、估计标准误说明回归直线的代表性,因此( ) A、估计标准误数值越大,说明回归直线的代表性越大; B、估计标准误数值越大,说明回归直线的代表性越小; C、估计标准误数值越小,说明回归直线的代表性越小; E、E、估计标准误数值越小,说明回归直线的实用价 值越小。 13、在相关分析中,要求相关的两个变量( ) A、都是随机变量 B、都不是随机变量 C、其中因变量是随机变量 D、其中自变量是随机变量 14、在简单回归直线 yc = a + bx 中, b 表示( A、当 x 增加一个单位时, y 增加 a 的数量 )

B、当 y 增加一个单位时, x 增加 b 的数量 C、当 x 增加一个单位时, y 的平均增加值 D、当 y 增加一个单位时, x 的平均增加值 15、相关关系是( ) A、现象之间,客观存在的依存关系 B、现象之间客观存在的,关系数值是固定的依存关系 C、现象之间客观存在的,关系数值不固定的依存关系 D、函数关系 16、判断现象之间相关关系密切程度的主要方法是( ) A、对客观现象作定性分析 B、编制相关表 C、绘制相关图 D、计算相关系数 17、当变量 x 按一定数额变化时,变量 y 也随之近似地按固定的数额变化, 那么,这时变量 x 和 y 之间存在着( )

A、正相关关系 B、负相关关系 C、直线相关关系 D、曲线相关关系 18、两个变量间的相关关系称为( ) A、单相关 B、无相关 C、复相关 D、多相关 19、 如果两个变量之间的相关系数 | γ |> 0.8 , 说明这两个变量之间存在 ( A、低度相关关系 C、完全相关关系 20 、 已 知
? 2

) 。

B、高度相关关系 D、显著相关关系
? 2

Lxx = ∑ ( x ? x ) = 400



Lxy = ∑ ( x ? x)( y ? y ) = ?1000

?

?



L yy = ∑ ( y ? y ) = 3000

,则相关系数 γ =( B、-0.913

) C、0.957
?

A、0.925 21、 已知

D、0.913
?

∑ ( x ? x)

? 2



∑ ( y ? y)


? 2

的两倍, 并已知

∑ ( x ? x )( y ? y )



∑ ( y ? y)

? 2

的 1.2 倍,则相关系数 γ 为( A、不能计算 (

B、0.6

C、1.2/ 2

D、 1.2 /2

22、不计算相关系数,是否也能计算判断两个变量之间相关关系的密切程度 ) A、能够 B、不能够

C、有时能够,有时不能 D、能判断但不能计算出具体数值 23、每吨铸件的成本(元)与每一个工人劳动生产率(吨)之间的回归方程 为 y = 270 ? 0.5 x ,这意味着劳动生产率每提高一个单位(吨)成本就( A、提高 270 元 C、降低 0.5 元 B、提高 269.5 元 D、提高 0.5 元 )

24、已知变量 x 的标准差 σ x ,变量 y 的标准差为 σ y ;并且已知

σ xy =

1 4,

σ x = 2σ y ,则相关系数为( )
2 2 2 4 A、不可知 B、1/2 C、 D、 25、已知某工厂甲产品产量和生产成本有直线关系,在这条直线上,当产量 为 1000 时,其生产成本为 30000 元,其中不随产量变化的成本为 6000 元,则成 本总额对产量的回归方程是( ) A、 yc = 6000 + 24 x C、 yc = 24000 + 6 x B、 yc = 6 + 0.24 x D、 yc = 24 + 6000 x

26、回归估计的估计标准误差的计算单位与( ) A、自变量相同 B、因变量相同 C、自变量及因变量相同 D、相关系数相同 27、计算回归估计标准误的依据是( ) A、因变量数列与自变量数列 B、因变量的总离差 C、因变量的回归离差 D、因变量的剩余离差 28、回归估计标准误是反映( ) A、平均数代表性的指标 B、序时平均数代表性的指标 C、现象之间相关关系的指标 D、回归直线代表性的指标 29、当两个相关变量之间只能配合一条回归直线时,那么这两个变量之间的 关系( ) A、存在明显因果关系 B、不存在明显因果关系而存在相互联系 C、存在自身相关关系 D、存在完全相关关系 (三) 多项选择题 三 1、测定现象之间有无相关关系的方法是( ) A、编制相关表 B、绘制相关图

C、对客观现象做定性分析 D、计算估计标准误 E、配合回归方程 2、直线回归分析中( ) A、自变量是可控制量,因变量是随机的 B、两个变量不是对等的关系 C、利用一个回归方程,两个变量可以互相推算 D、根据回归系数可判定相关的方向 E、对于没有明显因果关系的两变量可求得两个回归方程 3、下列属于正相关的现象是( ) A、家庭收入越多,其消费指出也越多; B、某产品产量随工人劳动生产率的提高而增加; C、流通费用率随商品销售额的增加而减少; D、生产单位产品所耗工时随劳动生产率的提高而减少; E、产品产量随生产用固定资产价值的减少而减少。 4、直线回归方程 y c = a + bx 中的 b 称为回归系数,回归系数的作用是( A、可确定两变量之间因果的数量关系 B、可确定两变量的相关方向 C、可确定两变量相关的密切程度 D、可确定因变量的实际值与估计值的变异程度 E、可确定当自变量增加一个单位时,因变量的平均增加值 5、计算相关系数时( ) A、A、相关的两个变量是对等的关系 B、B、相关的两个变量一个是随机的,一个是可控制的量 C、C、相关系数有正负号,可判断相关的方向 D、D、可以计算出自变量和因变量两个相关系数 E、相关的两个变量都是随机的 6、可用来判断现象之间相关方向的指标有( ) A、估计标准误 B、相关系数 C、回归系数 D、两个变量的协方差 E、两个变量的标准差 7、工人的工资(元)依劳动生产率(千元)的回归方程为 y c = 10 + 70 x , 这意味着( ) A、如果劳动生产率等于 1000 元,则工人工资为 70 元; B、如果劳动生产率每增加 1000 元,则工人工资平均提高 70 元; C、如果劳动生产率每增加 1000 元,则工人工资增加 80 元; D、如果劳动生产率等于 1000 元,则工人工资为 80 元; E、如果劳动生产率每下降 1000 元,则工人工资平均减少 70 元。 8、在回归分析中,就两个相关变量 x 与 y 而言,变量 y 倚变量 x 的回归和 变量 x 倚变量 y 的回归所得的两个回归方程是不同的, 这种不同表现在 ( A、方程中参数估计的方法不同 ) )

B、方程中参数的数值不同 C、参数表示的实际意义不同 D、估计标准误的计算方法不同 E、估计标准误的数值不同 9、回归估计标准误是反映( ) A、回归方程代表性大小的指标 B、估计值与实际值平均误差程度的指标 C、自变量与因变量离差程度的指标 D、因变量估计值的可靠程度的指标 E、E、回归方程实用价值大小的指标 10、现象之间相互联系的类型有( ) A、函数关系 B、回归关系 C、相关关系 D、随机关系 E、结构关系 11、相关关系种类( ) A、从相关方向分为正相关和负相关 B、从相关形态分为线性相关和非线性相关 C、从相关程度分为完全相关、不完全相关和零相关 D、从相关的影响因素多少可分为单相关和复相关 E、从相关数值形式分为相关系数和相关指数 12、下列现象属于相关关系的是( ) A、家庭收入越多,则消费也增长 B、圆的半径越长,则圆的面积越大 C、产量越高,总成本越多 D、施肥量增加,粮食产量也增加 E、体积随温度升高而膨胀,随压力加大而减小 13、据统计资料证实,商品流通费用率的高低与商品销售额的多少有依存关系, 即随商品销售额的增加,商品流通费用率有逐渐降低的变动趋势,但这种变动不 是均等的。可见这种关系是( ) A、函数关系 B、相关关系 C、正相关 D、负相关 E、曲线相关 14、直线回归分析的特点是( ) A、两个变量不是对等关系 B、回归系数只能取正值 C、自变量是给定的,因变量是随机的 D、可求出两个回归方程 E、利用一个回归方程,两个变量可以相互换算 15、配合一条直线回归方程是为了( ) A、确定两个变量之间的变动关系 B、用因变量推算自变量 C、用自变量推算因变量 D、两个变量互相推算 E、确定两个变量之间的函数关系 16、直线相关分析与直线回归分析的区别在于( ) A、相关的两个变量都是随机的,而回归分析中自变量是给定的数值,因变量

是随机的 B、回归分析中的两个变量都是随机的,而相关中的自变量是给定的数值,因 变量是随机的 C、相关系数有正负号,而回归系数只能取正值 D、相关的两个变量是对等关系,而回归分析中的两个变量不是对等关系 E、相关分析中根据两个变量只能计算出一个相关系数,而回归分析中根据两 个变量可以求出两个回归方程 17、相关系数的计算公式有( )

γ =
A、

∑ ( x ? x)( y ? y ) ∑ ( x ? x) ∑ ( y ? y )
2 ? ? 2

?

?

L xy

B、

L xx L yy

∑ xy ? n ∑ x∑ y
C、

1

∑x

2

1 ? (∑ x ) 2 n
? ?

∑y

2

1 ? (∑ y ) 2 n

∑ ( x ? x)( y ? y)
D、

nσ xσ y

σ xy E、 σ xσ y


18、直线回归方程 y c = a + bx 的意义是( A、这是一条具有平均意义的直线;

B、对应一个确定的 xi 所计算出来的 y c 是指与 xi 对应出现所有 yi 的平均数的 估计值 C、毫无平均的意义 D、与一个固定的 xi 对应出现的 yi 应该等于 y c ,如果 yi 不等于 y c ,说明在观 测中出现了误差 E、与一个固定的 xi 对应出现的 yi 落在以 y c 为中心的一个多大的范围内取决 于概率度和估计标准误差。 (四) 判断题 四 1、1、根据结果标志对因素标志的不同反映,可以把现象总体数量上的依存 关系划分为函数关系和相关关系。 ( ) 2、2、正相关指的就是因素标志和结果标志的数量变动方向都是上升的。 ( ) 3、3、相关系数是测定变量之间相关密切程度的唯一方法。 ( ) 4、4、 只有当相关系数接近于+1 时, 才能说明两变量之间存在高度相关关系。 ( ) 5、5、若变量 x 的值减少时变量 y 的值也减少,说明变量 x 与 y 之间存在正
i i i

i

的相关关系。 (

) )

6、6、 回归系数 b 和相关系数 γ 都可用来判断现象之间相关的密切程度。 (

7、7、 若直线回归方程 y c = 170 ? 2.5 x , 则变量 x 和 y 之间存在负的相关关系。 ( ) 8、8、按直线回归方程 y c = a + bx 配合的直线,是一条具有平均意义的直线。 ( )

9、9、 回归分析中, 对于没有明显关系的两个变量, 可以建立 y 倚 x 变动和 x 倚 y 变动的两个回归方程。 10、由变量 y 倚变量 x 回归和由变量 x 倚变量 y 回归所得到的回归方程之所 以不同,主要是因为方程中参数表示的意义不同。 ( ) 11、在相关分析中,要求两个变量都是随机的,在回归分析中,要求两个变 量都不是随机的。 ( ) 12、当变量 x 按固定数额增加时,变量 y 按大致固定数额下降,则说明变量 之间存在负直线相关关系。 ( ) 13、 判定系数越大, 估计标准误差越大, 判定系数越小, 估计标准误差越小。 ( ) 14、回归估计标准误差的大小与因变量的方差无关。 ( ) 15、总变差不一定大于回归变差。 ( ) 16、相关系数数值越大,说明相关程度越高;相关系数数值越小,说明相关 程度越低。 ( ) 17、现象之间的函数关系可以用一个数学表达式反映出来。 ( ) 18、利用最小平方法配合的直线回归方程,要求实际测定的所有相关点和直 线上的距离平方和为零。 ( ) 19、不管自变量如何变化,因变量都不变,这种情况称为零相关。 ( ) 20、在等级相关中,当现象是完全的直线关系时,其差量等于0,等级系数 等于1。 ( ) 21、产量增加,则单位产品成本降低,这种现象属于函数关系。 ( ) 22、相关系数等于0,说明两变量之间不存在直线相关关系;相关系数等于 1,说明两变量之间存在完全正相关关系;相关系数等于-1,说明两变量之间 存在完全负相关关系。 ( ) 23、回归关系要确定变量中哪个是自变量哪个是因变量,在这点上它与相关 关系相同。 ( )
?

24、变量 y 与平均数 y 的离差平方和,即 (五) 简答题 五

∑ ( y ? y)

? 2

称为 y 的总变差。 (



1、1、如何理解自变量和因变量? 2、2、什么是相关关系?它与函数关系有何不同? 3、3、怎样判断现象之间有无相关关系? 4、4、相关分析与回归分析有何区别与联系? 5、5、相关关系的种类有哪些? 6、6、说明相关系数的取值范围及其判断标准。 7、7、时间序列自身相关意义是什么? 8、8、区别下列现象为相关关系或为函数关系: (1) (1) 物体体积随温度升高而膨胀,随压力加大而收缩。 (2) (2) 测量的次数越多,其平均长度愈接近实际长度。 (3) (3) 家庭收入越多,其消费支出也有增长的趋势。 (4) (4) 秤砣的误差愈大,权衡的误差也愈大。 (5) (5) 物价愈上涨,商品的需求量愈小。 文化程度愈高,人口的平均寿命也愈长。 (6) (6) (7) (7) 圆的半径愈长,圆周也愈长。 (8) (8) 农作物的收获量和雨量、气温、施肥量有密切的关系。 9、9、等级相关的意义是什么?如何测定等级相关? 10、拟合回归方程 y c = a + bx 有什么要求?回归方程中参数 a 、b 的经济含义 是什么? 11、估计标准误与算术平均数的标准差有何异同? 12、回归系数 b 和相关系数 γ 的关系如何? 13、回归分析模型的种类及应用场合。 14、什么是估计标准误?这个指标有什么作用? (六) 计算题 六 1、已知 12 对父子身高资料如下表:

父身高 (寸)
子身高 (寸)

65

63

67

64

68

62

70

66

68

67

69

71

68

66

68

65

69

66

68

65

71

67

68

70

要求①作出散点图; ②估计 y (儿)依 x (父)的直线回归方程; ③估计 x 依 y 的直线回归方程; ④计其父子身高的相关系数。 2、有 10 个同类企业的生产性固定资产年均价值和工业增加值资料如下:

企业编号 生产性固定资产价值 (元) 工业增加值(万元)
1 318 524 2 910 1019 3 200 638 4 409 815 5 415 913 6 502 928 7 314 605 8 1210 1516 9 1022 1219 10 1225 1624 合计 6525 9801 根据资料: (1)计算相关系数,说明两变量相关的方向和程度; (2)编制直线回归方程,指出方程参数的经济意义; (3)计算估计标准误; (4)估计生产性固定资产(自变量)为 1100 万元时,工业增加值(因 变量)的可能值; 3、某地区 1993—2002 年个人消费支出和收入资料如下:单位:万元

年份
1993 1994 1995 1996 1997

个人收入
164 170 177 182 192

消费支出
156 160 166 170 178

年份
1998 1999 2000 2001 2002

个人收入
207 225 243 265 289

消费支出
188 202 218 236 255

要求: (1)判断两者为何关系,计算两者相关系数; (2)若为直线关系,试利用所给资料建立回归方程; (3)计算回归方程的估计标准误差; (4)若个人收入为 300 亿元时,试估计个人消费支出额。

4、检查五位同学《会计学》的学习时间与成绩分数如下表所示:

学习时数(小时) 学习成绩(分)

4 6 7 10 13

40 60 50 70 90

根据资料: (1)建立学习成绩( y )倚学习时间( x )的直线回归方程; (2)计算估计标准误; (3)对学习成绩的方差进行分解分析,指出总误差平方和中有多大比 重可由回归方程来解释; (4)由此计算出学习时数与学习成绩之间的相关系数。 5、根据下列资料求等级相关系数。 十种水平消费者平分资料如下:

编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

甲组平分
83 80 85 90 79 72 77 68 70 81

乙组平分
78 84 84 80 75 73 86 70 75 73

6、根据某地区历年人均收入(元)与商品销售额(万元)资料计算的有关 数据如下: x 代表人均收入, y 代表销售额) (

n=9

∑ x = 546

∑ y = 260

∑x

2

= 34362

∑ xy = 16918

计算: (1)建立以商品销售额为因变量的直线回归方程,并解释回归系数的 含义; (2)若 2003 年人均收入为 400 元,试推算该年商品销售额。 7、某省粮食产量资料如下,要求计算自身相关系数。

年份
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

本年产量(亿公斤) 上年产量(亿公斤)
100 92 120 122 150 140 150 155 160 160 170 100 92 120 122 150 140 150 155 160 160

8、某地经回归分析,其每亩地施肥量( x )和每亩粮食产量( y )的回归 方程为: y c = 500 + 10.5 x ,试解释式中回归系数的经济含义。若每亩最高施肥量 为 40 斤,最低施肥量为 20 斤,问每亩粮食产量的范围为多少? 9、试根据下列资料编制直线回归方程和计算直线相关系数: xy = 146.5 , x = 12.6 , y = 11.3 , x = 164.2 , y = 134.1 , a = 1.7575 10、根据某企业产品销售额(万元)和销售利润率(%)资料计算出如下数
_
_

_

_ 2

_ 2

据 : n=7

∑ x = 1890

∑ y = 31.1

∑x

2

= 535500

∑y

2

= 174.15

∑ xy = 9318
要求: (1)确定以利润为因变量的直线回归方程。 (2)解释式中回归系数的经济含义。 (3)当销售额为 500 万元时,利润率为多少? 11、试根据下列资料编制回归方程:
2 2 σ x = 25 , σ y = 36 , r = 0.9 , a = 2.8

12、某地区家计调查资料得到,每户平均年收入为 6800 元,均方差为 800 元,每户平均年消费支出为 5200 元,方差为 40000 元,支出对于收入的回归系 数为 0.2, 要求: (1)计算收入与支出的相关系数; (2)拟合支出对于收入的回归方程; (3)估计年收入在 7300 元时的消费支出额; (4)收入每增加 1 元,支出平均增加多少元? 13、根据下列资料分别计算各小题: (1)已知 L xx = 4 , L xy = 6 , a = 4.29 ,试编制直线回归方程。

(2)已知

σ y = 1.2σ x , a = 6.8 , r = 0.94 ,试编制直线回归方程。
?

(3)已知直线回归方程中回归参数为 3,两变量的平均数分别为 y = 50 ,
x = 49 ,求直线回归方程。
?

(4)已知 b = 2.5 ,

σ y 是 σ x 的 5 倍,则 r = ?
Lxy = 1 .6 ,

(5)已知 x , y 两变量 L xx

σ y 是 σ x 的 2 倍,求 r = ?

14、某部门 8 个企业产品销售额和销售利润资料如下:

企业编号
1 2 3 4 5 6 7 8

产品销售额
170 220 390 430 480 650 950 1000

销售利润
8.1 12.5 18.0 22.0 26.5 40.0 64.0 69.0

要求: (1)计算产品销售额与利润额的相关系数; (2)建立以利润额为因变量的直线回归方程,说明斜率的经济意义; (3)当企业产品销售额为 500 万元时,销售利润为多少?
2 15、已知直线回归方程 y = 1.35 + 4.2 x , y = 6 , r = 0.9 , σ x = 7 ,试求 x 和

_

?

2 σ xy 。

16、已知 x 、 y 两变量的相关系数 γ = 0.8 , x = 20 , y = 50 , σy 为 σx 的两 倍,求 y 依 x 的回归方程。 17、某村研究小组在实验田里进行某种粮食作物的施肥试验,考察施肥量与 单位面积产量之间的关系。试验时以 5 块地为一组,实际资料如下表:

?

?

每亩施肥量(斤)

60

65
380 391 425 349

70
401 428 466 450

75
525 467 593 500

80
550 682 600 588

85
800 720 740 800

各块地亩产量 (斤/亩) 347 350 348 340

330 平均亩产 343

400 389

410 431

500 517

680 620

700 750

要求:①绘制散点图,观察亩产量的变动趋势,并判断相关的方向; ②计算施肥量在 60—80 个区间内亩施肥量与亩产量相关系数,并求出回 归方程; ③估计亩施肥量为 85 斤时的平均亩产量,并与实际产量比较,说明产生差异 的原因(提示:应根据原始资料作,虽当 y 依 x 回归时,用平均亩产量作的回归 方程同根据原始资料作出的一样,但因变量 y 的方差不同,从而相关系数、估计 标准误差都可能不同) 。 18、已知 x 、 y 两变量 x = 15 , y = 41 ,在直线回归方程中,当自变量 x 等 于 0 时, y c = 5 ,又已知 σ x = 1.5 , σ y = 6 ,试求估计标准误。 19、考查某个检验员判别颜色的能力。先用比色方法把深浅程度不同的某种 颜色分为 10 个等级;再由检验员自行判断该 10 个颜色等级不同的盒子。其结果 如下: 盒子真实颜色等级为:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10; 检验员判定的等级,其结果如下:4,7,2,10,3,6,8,1,5,9。 问该检验员的判断能力如何?
?

?

三、习题参考答案选答 (一) 填空题 一 2、完全相关、不完全相关、不相关;正相关、负相关;线性相关、非线性相关; 单相关、复相关;4、函数、±1;6、线性、密切程度;8、正、正 10、随机、 可控制的;12、估计标准误;14、回归系数、最小平方法;16、直线相关;18、 自变量、因变量;20、240; (二) 单项选择题 二 2、C 4、C 6、D 8、D D 24、A 26、B 28、D 10、C 12、B 14、C 16、D 18、A 20、B 22、
2 22、 r / b

(三) 多项选择题 三 2、ABDE ABE 4、ABE 6、BCD 8、BCE 10、AC 12、ACD 14、ACD 16、ADE 18、

(四) 判断题 四 2、 × 4、 × 6、 × √ 22、√ 24、√ (五) 简答题 五 2、答:相关关系是一种不完全确定的随机关系,在相关关系的情况下,因素标 志的每个数值都有可能有若干个结果标志的数值与之对应。例如,广告费支出与 销售额之间的关系就是一种相关关系,当广告费支出一定的情况下,商品销售额 相应的会出现一系列的数值。因此,相关关系是一种不完全的依存关系。相关关 系与函数关系的不同表现在: (1)相关关系的两变量的关系值是不确定的,当给 出自变量的数值后,因变量可能会围绕其平均数出现若干个数值与之对应;而函 数关系的两变量的关系值是完全确定的,即当给出自变量的数值后,因变量只有 一个唯一确定的数值与之对应。 (2)函数关系变量之间的依存可用方程 y = f (x ) 表现出来,而相关关系则不能,它需要借助于函数关系的数学表达式,才能表现 出现象之间的数量联系。 4、答:就一般意义而言,相关分析包括回归和相关两方面的内容,因为它们都 是研究变量之间相互关系的。但就具体方法所解决的问题而言,回归和相关又有 明显的区别,二者的区别主要表现在以下几方面: (1) (1) 进行相关分析时可以不问两个变量的关系是因果关系还是共变关 系,不必确定两变量中哪个是自变量哪个是因变量,而回归分析时,则 必须事先进行定性分析来确定自变量和因变量。 (2) (2) 相关分析中的两变量可以都是随机变量, 而回归分析中的两变量 只有因变量是随机的,自变量是可以控制的量。 (3) 计算相关系数的两变量是对等的,改变两者的位置并不影响相关系数的 数值,而回归分析中,对于没有明显因果关系的两变量,可以求得两个 回归方程,一个为 y 倚 x 的回归方程,另一个为 x 倚 y 的回归方程。 8、 √ 10、 √ 12、 √ 14、 × 16、 × 18、 × 20、

二者的联系主要表现在:回归分析和相关分析是互相补充、密切联系的。相 关分析需要回归分析来表明现象数量关系的具体形式, 而回归分析则应该建立在 相关分析的基础上。依靠相关分析表明现象的数量变化具有密切的相关,进行回 归分析求其相关的具体形式才有意义。

r 6、 相关系数的数值范围是在-1 和+1 之间, ? 1 ≤ r ≤ 1 , r > 0 为正相关, < 0 答: 即

为负相关。 判断标准: | r |< 0.3 为微弱相关, 0.3 <| r |< 0.5 为低度相关; 0.5 <| r |< 0.8 为 显著相关, 0.8 <| r |< 1 为高度相关; | r |= 0 时,不相关, | r |= 1 时完全相关。 8、 (1)受热温度和物体体积之间是函数关系,因为物体热膨胀系数是一定的。 受压力与物体体积也是函数关系,因为物体承压收缩率也是一定的。 (2)测量次数与测量误差是相关关系,因为测量次数影响着误差,但其影响 值是不固定的。 (3)家庭收入与消费支出是相关关系,因为收入影响消费发生,但其影响值 不是固定的。 (4)秤砣误差与权衡误差是函数关系,因为秤砣误差会引起权衡的偏误,其 间关系是固定的。 (5)物价与需求量之间是相关关系,物价上涨,一般影响商品需求量降低, 但其影响程度不是固定的。 (6)文化程度与人口寿命也是相关关系,因为文化程度对人口寿命确实存在 影响,但两者并不形成固定的函数关系。 (7)圆的半径与圆周的长度是函数关系,因为后者等于前者的 6.28 倍。 (8)农作物收获量和雨量、气温、施肥量都是相关关系,后者各因素对农作 物的收获量都发生作用,但它们在数量上没有固定的关系。 10、答:一般来讲,拟合回归方程的要求是:找出合适的参数 a 和 b ,使所确定 的回归方程能够达到实际的 y 值与对应的理论值 y c 的离差平方和为最小值。即:

Q = ∑ ( y ? y c ) 2 = ∑ ( y ? a ? bx) 2 = 最小值
回归方程中参数 a 、 b 的经济含义上:参数 a 代表直线的起点值,在数学上 称为直线的纵轴截距,它表示 x = 0 时 y 的常数项。参数 b 称为回归系数,表示自 变量 x 增加一个单位时因变量 y 的平均增加值。回归系数的正负号与相关系数是 一致的,因此可以从回归系数的正负号来判断两变量相关的方向。 12、见本章学习要点中有关内容。

14、 估计标准误是表明回归方程理论值与实际值之间离差的平均水平的指标。 答: 此指标的作用有以下几点: (1) (1) 它可以说明以回归直线为中心的所有相关点的离散程度。 (2) (2) 它可以说明回归方程的理论值代表相应实际值的代表性大小。 (3) (3) 它可以反映两变量之间相关的密切程度。

(六) 计算题 六 2、解: (计算过程略) 设生产性固定资产为自变量 x ,工业总产值为因变量 y ,所需合计数如下:

∑ x = 6525 ∑ xy = 7659156
(1)计算相关系数

∑ y = 9801

∑x

2

= 5668539

∑y

2

= 10866577

γ =

n∑ xy ? ∑ x∑ y [n ∑ x 2 ? (∑ x) 2 ][n∑ y 2 ? (∑ y ) 2 ]
10 × 7659156 ? 6525 × 9801 [10 × 5668539 ? 6525 2 ][10 × 10866577 ? 98012 ]

=

= 0.95

γ = 0.95 ,说明两变量之间存在高度正相关。
(2)编制直线回归方程: y c = a + bx 求解参数 a 、 b : n∑ xy ? ∑ x∑ y n ∑ x ? (∑ x )
2 2

b=

=

10 × 7659156 ? 6525 × 9801 = 0.8958 10 × 5668539 ? 6525 2

a=

∑ y ? b ∑ x = 9801 ? 0.8958 × 6525 = 395.59
n n 10 10

回归方程为: y c = 395.59 + 0.8958 x (3)计算估计标准误

S=

∑y

2

? a ∑ y ? b∑ xy n?2

=

10866577 ? 395.59 × 9801 ? 0.8958 × 7659156 10 ? 2

= 126.65
(4)当生产性固定资产 x = 1100 万元时,工业总产值为: y c = 395.59 + 0.8958 × 1100 = 1380.97 (万元) 4、解: (计算过程略) 设学习时间为自变量 x ,学习成绩为因变量 y ,所需合计数如下:

∑ x = 40 ∑ y = 310 ∑ xy = 2740 ∑ x
(1)编制直线回归方程: y c = a + bx 经计算求得: b = 5.2

2

= 370

∑y

2

= 20700

a = 20.4

回归方程为: y c = 20.4 + 5.2 x (2) 计算估计标准误: S = 6.53 (3) 计算总误差平方和中回归误差所占比重。 此比重称为决定系数, 用符号 γ 表示。 (列表计算各项离差过程略) 根据计算得知:

∑ ( y ? y) = 1480
?

?

∑ ( yc ? y) = 1352

?

γ


2

∑ y ? y) = 1352 = 0.9135 = ∑ ( y ? y) 1480
c ?

即总误差中有 91.35%可以由回归方程来解释,说明学习时数与学习成绩 之间存在高度相关。
2 (4)计算相关系数: γ = γ = 0.9135 = 0.956

6、解: (计算过程略) (1)配合回归方程:

b = 0.92

a = ?26.92

回归方程为: y c = ?26.92 + 0.92 x 回归系数的含义:当人均收入每增加一元时,商品销售额平均增加 0.92 万元。 (2)预测 2003 年商品销售额: y c = ?26.92 + 0.92 × 400 = 341.08 (万元) 8、解:①解释回归系数的意义: 当施肥量每增加 1 斤,粮食产量增加 10.5 斤。 ②确定粮食产量的范围: 上限:当 x = 40 时, y c = 500 + 10.5 × 40 = 920 (斤) 下限:当 x = 20 时, y c = 500 + 10.5 × 20 = 710 (斤) 所以:每亩粮食产量范围为:710-920 10、解:①配合直线回归方程: y c = a + bx

②计算回归系数 b :

b=
公式:

∑ xy ? n ∑ x∑ y ∑x
2

1

1 ? (∑ x) 2 n

代入数字并计算: ③计算 a 值:

1 9318 ? × 1890 × 31.1 7 = = 0.0365 1 2 535500 ? × 1890 7

公式:

a=

∑ y ?b∑x
n n
31.1 1890 ? 0.0365 × = ?5.41 7 7

代入数字并计算

=

回归直线方程为: y c = ?5.41 + 0.0365 x ④回归系数 b 的经济意义: 当销售额每增加一万元,销售利润率增加 0.0365% ⑤计算预测值: 当 x = 500 万元时 y c = ?5.41 + 0.0365 × 500 = 12.8% 12、解:收入为 x ,支出为 y ,由已知条件知:
?

x = 6800 元, σx = 800 元,

y = 5200 元,

?

σy 2 = 40000 , b = 0.2

①计算相关系数: r =b

公式:

σx σy
800 40000

代入数字并计算:

= 0 .2 ×

= 0 .8

②配合回归直线方程: y c = a + bx 计算系数 a = y ? b x ,代入数字计算得:
? ?

a = 5200 ? 0.2 × 6800 = 3840
故支出对于收入的回归方程为: y c = 3840 + 0.2 x ③估计消费支出额: 当 x = 7300 元时, y c = 3840 + 0.2 × 7300 = 5300 (元) ④当收入每增加 1 元时,支出平均增加 0.2 元。 14、解:设销售额为 x ,销售利润额为 y , n∑ xy ? ∑ x∑ y [n ∑ x 2 ? (∑ x) 2 ][n∑ y 2 ? (∑ y ) 2 ]
8 × 189127 ? 4290 × 260.1 [8 × 2969700 ? 4290 2 ][8 × 12189.11 ? 260.12 ]

γ =
①计算相关系数:
=

= 0.9934
②配合回归直线方程为: y c = a + bx n∑ xy ? ∑ x ∑ y n∑ x ? (∑ x)
2 2

b= 回归系数

=

8 × 189127 ? 4290 × 260.1 = 0.0742 8 × 2969700 ? 4290 2



计算

a=

∑ y ? b ∑ x = 32.5125 ? 0.074 × 536.26 = ?7.2773
n n

斜率 b 的经济意义:销售额每增加一万元,销售利润增加 0.0742 万元。 ③估计销售利润值: 当 x = 500 万元时, y c = ?7.2773 + 0.0742 × 500 = 29.8227 (万元)

b= 16、已知

σy σy r =2 σ x ,又知 γ = 0.8 , σ x
a = y ? b x = 50 ? 1.6 × 20 = 18
? ?

求得 b = 0.8 × 2 = 1.6 ,

所求回归方程为: y c = 18 + 1.6 x 18、解: ∵ y c = a + bx ,∴当 x = 0 时, y = a = 5 又∵ a = y ? b x , ∴ b = ( y ? a ) / x = (41 ? 5) / 15 = 2.4
? ? ? ?

γ =b


σy 1 .5 = 2 .4 × = 0 .6 σx 6

S xy = σ y 1 ? γ 2 = 6 × 1 ? 0.6 2 = 4.8


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