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高考复习等差数列及其前n项和导学案

高考复习等差数列及其前n项和导学案


§6.2

等差数列及其前 n 项和

1.等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母__d__表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么它的通项公式是 an=a1+(n-1)d. 3.等差中项 a+b 如果 A= ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 2 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d,(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且 k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),则 ak+al=am+an. (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则{a2n}也是等差数列,公差为 2d. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,?(k,m∈N*)是公差为 md 的等差数列. 5.等差数列的前 n 项和公式 n?a1+an? n?n-1? 设等差数列{an}的公差为 d,其前 n 项和 Sn= 或 Sn=na1+ d. 2 2 6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 d? d Sn= n2+? ?a1-2?n. 2 数列{an}是等差数列?Sn=An2+Bn(A、B 为常数). 7.等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则 Sn 存在最__大__值;若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最__小__值.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列. ( )

(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*,都有 2an+1=an+an+2. (3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的. (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数. (5)数列{an}满足 an+1-an=n,则数列{an}是等差数列.

( ( ( (

) ) ) )

(6)已知数列{an}的通项公式是 an=pn+q(其中 p,q 为常数),则数列{an}一定是等差数列. ( 2.设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和,若 S10=S11,则 a1 等于 A.18 B.20 C.22 D.24 ( ) 3.(2012· 辽宁)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11 等于 A.58 B.88 C.143 D.176 ( ) )

4.(2013· 课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m 等于 ( A.3 B.4 C.5 D.6 )

5.(2013· 课标全国Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为 ________.

题型一 等差数列的基本运算 例 1 在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. (1)若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25,且 a2=3,则 a7 等于 A.12 B.13 C.14 D.15 ( ) 1 (2)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1= ,S4=20,则 S6 等于 2 A.16 B.24 C.36 D.48 ) ( )

S3 S2 (3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 - =1,则数列{an}的公差是 ( 3 2 1 A. 2 B.1 C.2 D.3

题型二 等差数列的性质及应用 例 2 (1)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9 等于 A.63 B.45 C.36 D.27 ( )

(2)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数

列的项数为 A.13 B.12 C.11 D.10

(

)

S2 014 S2 008 (3)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, 若 a1=-2 014, - =6, 则 S2 013 等于( 2 014 2 008 A.2 013 B.-2 013 C.-4 026 D.4 026 )

)

(1)设数列{an}是等差数列,若 a3+a4+a5=12,则 a1+a2+?+a7 等于( A.14 B.21 C.28 D.35 (2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=30,则 S30=________. 题型三 等差数列的前 n 项和及其最值

例 3 (1)在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值时,Sn 取得最大值,并求出它的最大值; (2)已知数列{an}的通项公式是 an=4n-25,求数列{|an|}的前 n 项和.

(1)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值 时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 ( )

(2)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 ak+a4=0,则 k=________. 典例:(15 分)(1)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a5+a7=4,a6+a8=-2,则当 Sn 取最大 值时,n 的值是 A.5 B.6 C.7 D.8 ( )

(2)已知等差数列{an}的首项 a1=20,公差 d=-2,则前 n 项和 Sn 的最大值为________. (3)设数列{an}是公差 d<0 的等差数列,Sn 为前 n 项和,若 S6=5a1+10d,则 Sn 取最大值时, n 的值为 A.5 B.6 C.5 或 6 D.11 ( )

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟)

一、选择题 1.(2012· 福建)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4 ( ) 2.已知等差数列{an}满足 a1+a2+a3+?+a101=0,则有 A.a1+a101>0 C.a3+a99=0 B.a2+a100<0 D.a51=51 ) ( )

3.已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若 bn=a2n,则数列{bn}的前 5 项和等于( A.30 B.45 C.90 D.186 4.(2013· 辽宁)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;
?an? p3:数列? n ?是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列. ? ?

其中的真命题为 A.p1,p2 C.p2,p3 B.p3,p4 D.p1,p4

(

)

5.在等差数列{an}中,a1>0,a10· a11<0,若此数列的前 10 项和 S10=36,前 18 项和 S18=12,则 数列{|an|}的前 18 项和 T18 的值是 A.24 二、填空题 6.(2013· 广东)在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=________. 7.Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5=________. 8.已知数列{an}中,a1=1 且 三、解答题 9.已知等差数列{an}中,a2=8,前 10 项和 S10=185.求数列{an}的通项公式 an. 1 1 = + (n∈N*),则 a10=________. a an+1 n 3 1 B.48 C.60 D.84 ( )

10.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1<0,S2 015=0. (1)求 Sn 的最小值及此时 n 的值;

(2)求 n 的取值集合,使 an≥Sn.

B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) a11 1.已知数列{an}为等差数列,若 <-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn>0 的 n 的最 a10 大值为 A.11 B.19 C.20 D.21 ( )

Sn 2n-3 a9 2.设等差数列{an}, {bn}的前 n 项和分别为 Sn, Tn, 若对任意自然数 n 都有 = , 则 Tn 4n-3 b5+b7 a3 + 的值为________. b8+b4 3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上 面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为________升. 4.已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a,前 n 项和为 Sn,且 Sk=110. (1)求 a 及 k 的值; Sn (2)设数列{bn}的通项 bn= ,证明数列{bn}是等差数列,并求其前 n 项和 Tn. n

5.(2012· 湖北)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和.


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