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高二数学人教A版选修4-5教案:3.3排序不等式 Word版含解析

高二数学人教A版选修4-5教案:3.3排序不等式 Word版含解析

3.3 排序不等式
一、教学目标 1.了解排序不等式的数学思想和背景. 2.理解排序不等式的结构与基本原理,会用排序不等式解决简单的不等式问题. 二、课时安排 1 课时 三、教学重点 1.了解排序不等式的数学思想和背景. 2.理解排序不等式的结构与基本原理,会用排序不等式解决简单的不等式问题. 四、教学难点 1.了解排序不等式的数学思想和背景. 2.理解排序不等式的结构与基本原理,会用排序不等式解决简单的不等式问题. 五、教学过程 (一)导入新课 某班学生要开联欢会,需要买价格不同的礼品 4 件,5 件和 2 件.现在选择商店中单价 分别为 3 元,2 元和 1 元的礼品,则至少要花________元,最多要花________元. 【解析】 取两组 实数(2,4,5)和(1,2,3), 则顺序和为 2× 1+4× 2+5× 3=25, 反序和为 2× 3 +4× 2+5× 1=19. 所以最少花费为 19 元,最多花费为 25 元. 【答案】 19 25 (二)讲授新课 教材整理 1 顺序和、乱序和、反序和的概念 设 a1≤a2≤a3≤…≤an,b1≤b2≤b3≤…≤bn 为两组实数,c1,c2,…,cn 是 b1,b2,…,bn 的任 一排列,则称 ai 与 bi(i=1,2,…,n)的相同顺序相乘所得积的和 和, 和 为反序和. 教材整理 2 排序不等式 设 a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn 为两组实数,c1,c2,…,cn 是 b1,b2,…,bn 的任一排 列,则 ≤ ≤ ,当且仅当 ≤ ≤ 为乱序和, 相反顺序相乘所得积的和 为顺序 称

a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn 时, 反序和等于顺序和, 此不等式简记为 顺序和. (三)重难点精讲

题型一、用排序不等式证明不等式(字母大小已定) 例 1 已知 a,b,c 为正数,a≥b≥c,求证: 1 1 1 (1) ≥ ≥ ; bc ca ab a2 b2 c2 1 1 1 (2) 2 2+ 2 2+ 2 2≥ 2+ 2+ 2. bc ca ab a b c 【精彩点拨】 由于题目条件中已明确 a≥b≥c,故可以直接构造两个数组. 1 1 【自主解答】 (1)∵a≥b>0,于是 ≤ . a b 1 1 1 又 c>0,∴ >0,从而 ≥ , c bc ca 1 1 同理,∵b≥c>0,于是 ≤ , b c 1 1 1 ∴a>0,∴ >0,于是得 ≥ , a ca ab 1 1 1 从而 ≥ ≥ . bc ca ab 1 1 1 (2)由(1)知 ≥ ≥ >0 且 a≥b≥c>0, bc ca ab ∴ 1 1 1 ≥ ≥ ,a2≥b2≥c2. b2c2 c2a2 a2b2

由排序不等式,顺序和≥乱序和得 a2 b2 c2 b2 c2 a2 1 1 1 1 1 1 2 2+ 2 2+ 2 2≥ 2 2+ 2 2+ 2 2= 2+ 2+ 2= 2+ 2+ 2, bc ca ab bc ca ab c a b a b c 故 a2 b2 c2 1 1 1 2 2+ 2 2+ 2 2≥ 2+ 2+ 2. bc ca ab a b c

规律总结:利用排序不等式证明不等式的技巧在于 仔细观察、分析所要证明的式子的 结构,从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组. [再练一题]
[来源:学.科.网]

a5 b5 c5 c2 a2 b2 1.本例题中条件不变,求证: 3 3+ 3 3+ 3 3≥ 3+ 3+ 3 . bc ca ab a b c 【证明】 ∵a≥b≥c≥0, ∴a5≥b5≥c5, 1 1 1 ≥ ≥ >0. c b a 1 1 1 ∴ ≥ ≥ , bc ac ba ∴ 1 1 1 bc ac ba
3 3≥ 3 3≥ 3 3,由顺序和≥乱序和得

a5 b5 c5 b5 c5 a5 3 3+ 3 3+ 3 3≥ 3 3+ 3 3+ 3 3 bc ac ba bc ac ba

[来源:Zxxk.Com]

b2 c2 a2 = 3+ 3+ 3, c a b ∴ a5 b5 c5 c2 a2 b2 3 3+ 3 3+ 3 3≥ 3+ 3+ 3 . bc ac ba a b c

题型二、字母大小顺序不定的不等式证明 a2+b2 b2+c2 c2+a2 a3 b3 c3 例 2 设 a,b,c 为正数,求证: + + ≤ + + . 2c 2a 2b bc ca ab 【精彩点拨】 (1)题目涉及到与排序有关的 不等式; (2)题目中没有给出 a,b,c 的大小 顺序.解答本题时不妨先设定 a≤b≤c,再利用排序 不等式加以证明. 【自主解答】 不妨设 0<a≤b≤c,则 a3≤b3≤c3, 1 1 1 0< ≤ ≤ , bc ca ab 由排序原理:乱序和≤顺序和,得 1 1 1 1 1 1 a3· +b3· +c3· ≤a3· +b3· +c3· , ca ab bc bc ca ab 1 1 1 1 1 1 a3· +b3· +c3· ≤a3· +b3· +c3· . ab bc ca bc ca ab 将上面两式相加得 a2+b2 b2+c2 c2+a2 ? a3 b3 c3 ? + + ≤2?bc+ca+ab?, c a b 将不等式两边除以 2, 得 a2+b2 b2+c2 c2+a2 a3 b3 c3 + + ≤ + + . 2c 2a 2b bc ca ab

规 律总结:在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系,对于没有给出大小关 系的情况:(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性,限定一种大小关系.(2)若给出的字 母不具有对称性,一定不能直接限定字母的大小顺序,而要根据具体环境分类讨论. [再练一题]
2 2 a2 a2 n-1 an 1 a2 2.设 a1,a2,…,an 为正数,求证: + +…+ + ≥a1+a2+…+an. a2 a3 an a1

【证明】 不妨设 0<a1≤a2≤…≤an,则 1 1 1 2 2 a2 1≤a2≤…≤an, ≥ ≥…≥ . a1 a2 an 由排序不等式知,乱序和不小于反序和,所以 a2 a2 a2 a2 1 1 1 n-1 1 2 n + +…+ + ≥a2 · +a2· +…+a2 n· ,即 a2 a3 an a1 1 a1 2 a2 an a2 a2 a2 a2 n-1 1 2 n + +…+ + ≥a1+a2+…+an. a2 a3 an a1

题型三、利用排序不等式求最值 aA+bB+cC 例 3 设 A,B,C 表示△ABC 的三个内角,a,b,c 表示其对边,求 的最小 a+b+c 值(A,B,C 用弧度制表示). 【精彩点拨】 不妨设 a≥b≥c>0,设法构造数组,利用排序不等式求解. 【自主解答】 不妨设 a≥b≥c, 则 A≥B≥C. 由排序不等式,得 aA+bB+cC=aA+bB+cC, aA+bB+cC≥bA+cB+aC, aA+bB+cC≥cA+aB+bC, 将以上三式相加,得 3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)· (A+B+C)=π(a+b+c), π 当且仅当 A=B=C= 时,等号成立. 3 ∴ 即 aA+bB+cC π ≥ , a+b+c 3 aA+bB+cC π 的最小值为 . 3 a+b+c

规律总结: 1.分析待求函数的结构特征,构造两个有序数组. 2. 运用排序原理求最值时, 一定要验证等号是否成立,若等号不成立, 则取不到最值. [再练一题] x2 y2 z2 3.已知 x,y,z 是正数,且 x+y+z=1,求 t= + + 的最小值. y z x 1 1 1 【解】 不妨设 x≥y≥z>0,则 x2≥y2≥z2, ≥ ≥ . z y x 由排序不等式,乱序和≥反序和. x2 y2 z2 + + y z x 1 1 1 ≥x2· +y2· +z2· x y z =x+y+z. x2 y2 z2 又 x+y+z=1, + + ≥1, y z x 1 当且仅当 x=y=z= 时,等号成立. 3

x2 y2 z2 故 t= + + 的最小值为 1. y z x 题型四、利用排序不等式求解简单的实际问题 例 4 若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障, 对其维修分别需要 45 min,25 min 和 30 min, 每台电脑耽误 1 min, 网吧就会损失 0.05 元. 在只能逐台维修的条件下, 按怎样的顺序维修, 才能使经济损失降到最小? 【精彩点拨】 这是一个实际问题,需要转化为数学问题.要使经济损失 降到最小,

即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小,又知道若维修第一台用时间 t1 min 时,三 台电脑等候维修的总时 间为 3t1 min,依此类推,等候的总时间为 3t1+2t2+t3 min,求其最 小值即可. 【自主解答】 设 t1,t2,t3 为 25,30,45 的任一排列, 由排序原理知 3t1+2t2+t3≥3×25+2× 30+45=180(min), 所以按照维修时间由小到大的顺序维修,可使经济损失降到最小. 规律总结: 1.首先理解题意,实际问题数学化,建立恰当模型. 2.三台电脑的维修时间 3t1+2t2+t3 就是问题的数学模型,从而转化为求最小值(运用 排序原理). [再练一题] 4.有 5 个人各拿一只水桶到水龙头接水,如果水龙头注满这 5 个人的水桶需要时间分 别是 4 min,8 min,6 min,10 min,5 min,那么如何安排这 5 个人接水的顺序,才能使他们等待 的总时间最少? 【解】 根据排序不等式的反序和最小,可得最少时间为 4× 5+5× 4+6× 3+8× 2+10× 1 =84(min). 即按注满时间为 4 min,5 min,6 mi n,8 min,10 min 依次等水,等待的总时间最少. (四)归纳小结

?— 反序和、乱序和、顺序和 排序不 等式—?— 排序原理 ?— 排序原理的应用
(五)随堂检测 1.已知 x≥y,M=x4+y4,N=x3y+y3x,则 M 与 N 的大小关系是( A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N )

【解析】 由排序不等式,知 M≥N.

【答案】 B 2.设 a, b, c 为正数, P=a3+b3+c3, Q=a2b+b2c+c2a, 则 P 与 Q 的大小关系是( A.P>Q 【答案】 B 3.已知两组数 1,2,3 和 4,5,6,若 c1,c2,c3 是 4,5,6 的一个排列,则 c1+2c2+3c3 的最 大值是________,最小值是________. 【解析】 由排序不等式,顺序和最大,反序和最小, ∴最大值为 1× 4+2× 5+3× 6=32,最小值为 1× 6+2× 5+3× 4=28. 【答案】 32 28 六、板书设计 3.3 排序不等式 教材整理 1 顺序和、乱序 例 1: 例 2: 例 3: 例 4: 七、作业布置 同步练习:3.3 排序不等式 八、教学反思 学生板演练习
[来源:学科网 ZXXK]

)

B.P≥Q

C.P<Q

D.P≤Q

[来源:学科网]

和、反序和的概念

教材整理 2 排序不等式


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