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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法课件理

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法课件理


§7.2 一元二次不等式及其解法

内容索引

基础知识 题型分类

自主学习 深度剖析

课时作业

基础知识

自主学习

知识梳理

1.“三个二次”的关系 判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0

Δ=b2-4ac
二次函数

y=ax2+bx+c
(a>0)的图象

一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 一元二次不等式 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

有两个相异 实根x1,x2 (x1<x2) (-∞,x1)∪

有两个相等实 b 根x1=x2= -2a

没有实数根

(x2,+∞)

b (-∞, -2a ) b ∪(- ,+∞) 2a

R

(x1,x2) ________

? ____

? ____

2.常用结论 (x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法

不等式 a<b (x-a)· (x-b)>0 (x-a)· (x-b)<0 {x|x<a或x>b}
{ x|a<x<b} ________

解集 a=b
{x|x≠a} ________ ? ____

a>b
{x|x<b或x>a} ____________

{x|b<x<a}

口诀:大于取两边,小于取中间.

知识拓展
f?x? (1) >0(<0)?f(x)· g(x)>0(<0). g?x? f ? x ? (2) ≥0(≤0)?f(x)· g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. g?x?

以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.

思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( √ )
(2) 若不等式 ax2 + bx+ c>0 的解集是 ( - ∞ , x1)∪(x2 ,+ ∞) ,则方程 ax2 +

bx+c=0的两个根是x1和x2.( √ )
(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集

为R.( × )
(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.( × )

(5)若二次函数y=ax2 +bx+c的图象开口向下,则不等式 ax2+bx+c<0的
解集一定不是空集.( √ )

考点自测

(-∞,-2)∪(5,+∞) 1.(教材改编)不等式x2-3x-10>0的解集是_______________________.
答案 解析

解方程x2-3x-10=0得x1=-2,x2=5, 由于y=x2-3x-10的图像开口向上, 所以x2-3x-10>0的解集为(-∞,-2)∪(5,+∞).

3 x-4 {x|x<2或 x>4} 2.(教材改编)不等式 <0的解集是______________. 3-2x
答案 解析

x-4 3 不等式 <0等价于(x- )(x-4)>0, 2 3-2x

3 ∴不等式的解集是{x|x< 或x>4}. 2

3.(教材改编)不等式 2
答案 解析

x2 ? x

(-1,2) ? 4 的解集为_______.

由题意得x2-x<2?-1<x<2,故解集为(-1,2).

4.(教材改编)若关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是( - -14 =_____.
答案 解析

1 1 , 2 3 ),则a+b

1 1 ∵x1=- ,x2= 是方程ax2+bx+2=0的两个根, 2 3
? ?a-b+2=0, ?4 2 ∴? ?a b + + 2 = 0 , ? ?9 3
? ?a=-12, 解得? ? ?b=-2,

∴a+b=-14.

5. 不 等 式 x2 + ax + 4≤0 的 解 集 不 是 空 集 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 (-∞,-4]∪[4,+∞) ______________________.
答案 解析

∵x2+ax+4≤0的解集不是空集, 则x2+ax+4=0一定有解. ∴Δ=a2-4×1×4≥0,即a2≥16, ∴a≥4或a≤-4.

题型分类

深度剖析

题型一 一元二次不等式的求解

命题点1 不含参的不等式
例1 (2016· 南京模拟)求不等式-2x2+x+3<0的解集. 化-2x2+x+3<0为2x2-x-3>0,
解答

解方程2x2-x-3=0得x1=-1,x2=

3 , 2

∴不等式2x2-x-3>0的解集为(-∞,-1)∪(

3 ,+∞), 2

3 即原不等式的解集为(-∞,-1)∪( ,+∞). 2

命题点2 含参不等式 例2 解关于x的不等式:x2-(a+1)x+a<0.
解答

由x2-(a+1)x+a=0,得(x-a)(x-1)=0,
∴x1=a,x2=1,

①当a>1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为{x|1<x<a},
②当a=1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为?,

③当a<1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为{x|a<x<1}.

引申探究

将原不等式改为ax2-(a+1)x+1<0,求不等式的解集.
解答

思维升华
含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解 因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进 行分类讨论; (2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式 是不是二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解 集的形式; (3)对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.

跟踪训练1 解下列不等式:
(1)0<x2-x-2≤4; 解答 原不等式等价于
2 2 ? ? x - x - 2>0 , x ? ? -x-2>0, ? 2 ?? 2 ? ? ? ?x -x-2≤4 ?x -x-6≤0

? ? ??x-2??x+1?>0, ?x>2或x<-1, ? ?? ? ? ??x-3??x+2?≤0 ?-2≤x≤3.

借助于数轴,如图所示,

所以原不等式的解集为{x|-2≤x<-1或2<x≤3}.

(2)求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.

解答

即(4x+a)(3x-a)>0, ∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0, a a 令(4x+a)(3x-a)=0,得x1=-4 ,x2= 3 . ? ? a a ? ? a a ?; -4<3 ,解集为 ? ①当a>0时, x | x <- 或 x > ? 4 3? ? ?

②当a=0时,x2>0,解集为{x|x∈R且x≠0}; ? ? a a ? ? a a -4>3 ,解集为 ?x|x< 或x>- ? . ③当a<0时, ? 3 4? ? ? ? ? ? ? a a ?; 综上所述,当a>0时,不等式的解集为 ? x | x <- 或 x > ? 4 3? ? ? 当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}; ? ? ? ? a a ? 当a<0时,不等式的解集为 ?x|x<3或x>-4? . ? ? ?

题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在R上的恒成立问题

例3

3 2 (1)若一元二次不等式2kx +kx- 8
答案 解析

<0对一切实数x都成立,则k的取

(-3,0) 值范围为_______.

3 2 ∵2kx +kx- <0为一元二次不等式,∴k≠0, 8 8 3 2 又2kx +kx- <0对一切实数x都成立,
?2k<0, ? 则必有 ? 解得-3<k<0. 3 2 ?Δ=k -4×2k×?- ?<0, 8 ?

[0,4) (2)设a为常数,对于?x∈R,ax2+ax+1>0,则a的取值范围是______.
答案 解析

对于?x∈R,ax2+ax+1>0,
? ?a>0, 则必有 ? 或a=0, 2 ? ?Δ=a -4a<0

∴0≤a<4.

命题点2 在给定区间上的恒成立问题
例4 设函数 f(x) = mx2 - mx - 1. 若对于 x∈[1,3] , f(x)< - m + 5 恒成立,

求m的取值范围.
解答

命题点3 给定参数范围的恒成立问题 例5 对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零, 求x的取值范围. 解答 由f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4, 令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4. 由题意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,
2 ? g ? - 1 ? = ? x - 2 ? × ? - 1 ? + x -4x+4>0, 解得x<1或x>3. ? ∴? 2 ? g ? 1 ? = ? x - 2 ? + x -4x+4>0. ?

故当x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞)时,对任意的m∈[-1,1],
函数f(x)的值恒大于零.

思维升华
(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的
图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的

图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值
或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁 的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.

跟踪训练2 (1)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],
2 (- 2 ,0) 都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是__________.
答案 解析

作出二次函数f(x)的草图,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,
? ?f?m?<0, 则有? ? ?f?m+1?<0,
2 2 ? m + m -1<0, ? 即? 2 ? ? m + 1 ? +m?m+1?-1<0, ?

2 解得- <m<0. 2

(2)已知不等式mx2 -2x-m+1<0,是否存在实数m对所有的实数x,使不 等式恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. 不等式mx2-2x-m+1<0恒成立, 即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方. 1 当m=0时,1-2x<0,则x> ,不满足题意; 2 当m≠0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数, 需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解,即
? ?m<0, 不等式组的解集为空集,即m无解. ? ? ?Δ=4-4m?1-m?<0,
解答

综上可知,不存在这样的m.

题型三 一元二次不等式的应用 例6 某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降 8 低x成(1成=10%),售出商品数量就增加 x 成.要求售价不能低于成本价. 5 (1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写

出定义域; 解答
? ? 8 ? x? ? ? ? ? 由题意得,y=100?1- ?· 1 + x 100 ? ?. 10 50 ? ? ? ?

? x? ? 因为售价不能低于成本价,所以 100?1- ? ? -80≥0. 10? ?

所以y=f(x)=40(10-x)(25+4x),定义域为x∈[0,2].

(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元,求x的取值范围.
解答

由题意得40(10-x)(25+4x)≥10 260,

化简得8x2-30x+13≤0,

13 1 解得 ≤x≤ . 2 4
所以x的取值范围是
?1 ? ? ? , 2 ? ? 2 ? ?

.

思维升华
求解不等式应用题的四个步骤

(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.
(2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系, 建立相应的数学模型. (3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.

跟踪训练 3

甲厂以 x千克 /小时的速度匀速生产某种产品 ( 生产条件要求 3 1≤x≤10),每小时可获得的利润是100(5x+1- )元. x (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围;
解答

3 根据题意,得200(5x+1- )≥3 000, x 3 整理得5x-14- x ≥0,即5x2-14x-3≥0,
又1≤x≤10,可解得3≤x≤10.

即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,x的取值范围是[3,10].

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生 产速度?并求最大利润.
解答

设利润为y元,则
3 =9×104(5+1 3 ) 900 - y= · 100(5x+1- ) 2 x x x x
1 1 2 61 =9×10 [-3(x -6) +12],故当x=6时,ymax=457 500元.
4

即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大,

最大利润为457 500元.

思想与方法系列14 转化与化归思想在不等式中的应用

典例

(1)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关

9 于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为___. x2+2x+a (2)已知函数f(x)= ,若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立, x {a|a>-3} 则实数a的取值范围是_________.
思想方法指导 答案 解析

函数的值域和不等式的解集转化为a,b满足的条件;不等式恒成立可 以分离常数,转化为函数值域问题.

课时作业

1.(教材改编)不等式-3x2+5x-4>0的解集为____. ?
答案 解析

原不等式变形为3x2-5x+4<0. 因为Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0, 所以3x2-5x+4=0无解. 由函数y=3x2-5x+4的图象可知,3x2-5x+4<0的解集为?.

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1 x-1 (-2,1] 2.(教材改编)不等式 2x+1≤0的解集为_________.
答案 解析

? ??x-1??2x+1?≤0, 原不等式等价于 ? ? ?2x+1≠0, ? ?-1≤x≤1, ? 2 1 即? 即-2<x≤1. 1 ? x≠-2, ? ?

1 故原不等式的解集为(-2 ,1].
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[0,4] 3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数a的取值范围是______.
答案 解析

由题意知a=0时,满足条件.
? ?a>0, 当a≠0时,由 ? 2 ? Δ = ? - a ? -4a≤0, ?

得0<a≤4,所以0≤a≤4.

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4.(2016· 南京三模)记不等式x2+x-6<0的解集为集合A,函数y=lg(x-a) 的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则实数a的取值 (-∞,-3] 范围为____________.
答案 解析

由题意得A=(-3,2),B=(a,+∞),A?B, ∴a≤-3.

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5.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,
5 2 则a=_____.
答案 解析

由x2-2ax-8a2<0,

得(x+2a)(x-4a)<0,因为a>0,
所以不等式的解集为(-2a,4a),

即x2=4a,x1=-2a,由x2-x1=15, 得4a-(-2a)=15,解得a= 5 . 2
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6. 若不等式 x2 - 2x + k2 - 2>0 对于任意的 x∈[2 ,+ ∞) 恒成立,则实数 k
(-∞,- 2)∪( 2,+∞) 的取值范围是________________________.
答案 解析

由x2-2x+k2-2>0,得k2>-x2+2x+2, 设f(x)=-x2+2x+2,f(x)=-(x-1)2+3, 当x≥2,可求得f(x)max=2, 则k2>f(x)max=2,所以k> 2 或k<- 2 .
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7.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是 (2,3) 的解集是______.
答案 解析

? ? 1 1 ? ? 2-bx-a<0 ,则不等式 x - ,- ? 2 3? ? ?

1 1 -3 是方程ax2-bx-1=0的根, 由题意知-2 ,
? ? ? 1 1 1 ? 1 1 b ? ? ? ? 所以由根与系数的关系得 -2+?-3?=a,-2×?-3?=-a. ? ? ? ?

解得a=-6,b=5,不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0, 解集为(2,3).
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8.(教材改编)某厂生产一批产品,日销售量x(单位:件)与货价p(单位: 元 / 件 ) 之间的关系为 p = 160 - 2x ,生产 x 件所需成本 C = 500 + 30x元 . 若 [20,45] 使得日获利不少于1 300元,则该厂日产量所要满足的条件是________.
答案 解析

由题意得(160-2x)· x-(500+30x)≥1 300,

解得20≤x≤45.

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1± 5 9.若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解,则a的值为______. 2
答案 解析

若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解, 则x2-2ax+a=-1有两个相等的实根, 所以Δ=4a2-4(a+1)=0,解得a= 1± 5 . 2

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*10. 已知 f(x) 是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时, f(x) = x2 - 4x ,那么, {x|-7<x<3} 不等式f(x+2)<5的解集是____________.
答案 解析

令x<0,则-x>0,∵x≥0时,f(x)=x2-4x,
∴f(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x,又f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),
2 ? x ? -4x,x≥0, 2 ∴x<0时,f(x)=x +4x,故有f(x)= ? 2 再求f(x)<5的解, ? ?x +4x,x<0. ? ? ?x<0, ?x≥0, 即f(x)<5的解集为(-5,5). 得-5<x<0, 由? 2 得0≤x<5; 由? 2 ? ? ?x +4x<5, ?x -4x<5,

由于f(x)向左平移两个单位即得f(x+2), 故f(x+2)<5的解集为{x|-7<x<3}.
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2 ? x ? +x?x≥0?, (-1,2) 11.已知f(x)= ? 2 则不等式f(x2-x+1)<12的解集是_______. ? ?-x +x?x<0?.

答案

解析

由题意得当x≥0时,f(x)≥0,且f(x)单调递增;

当x<0时,f(x)<0,且f(x)单调递增,
因为02+0=-02+0,

所以f(x)在R上单调递增,
又f(3)=12,

所以f(x2-x+1)<12?f(x2-x+1)<f(3)?x2-x+1<3?-1<x<2.
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?a+1?x-3 12.已知关于x的不等式 <1. x-1 (1)当a=1时,解该不等式;
解答

x-2 2x-3 当a=1时,不等式化为 <1,化为 <0, x-1 x-1
所以1<x<2,解集为{x|1<x<2}.

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(2)当a为任意实数时,解该不等式.

解答

?a+1?x-3 ax-2 由 <1,得 <0,即(ax-2)(x-1)<0. x-1 x-1 当 2 =1,即a=2时,解集为?; a 2 2 当 >1,即0<a<2时,解集为{x|1<x< }; a a 2 2 当 <1,即a>2时,解集为{x| <x<1}; a a
2 当a=0时,解集为{x|x>1};当a<0时,解集为{x|x< 或x>1}. a
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13. 设二次函数 f(x) = ax2 + bx + c ,函数 F(x) = f(x) - x 的两个零点为 m ,

n(m<n).
(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>0的解集; 解答 由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n). 当m=-1,n=2时,不等式F(x)>0, 即a(x+1)(x-2)>0. 当a>0时,不等式F(x)>0的解集为{x|x<-1或x>2}; 当a<0时,不等式F(x)>0的解集为{x|-1<x<2}.
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1 (2)若a>0,且0<x<m<n< ,比较f(x)与m的大小. a
解答

f(x)-m=F(x)+x-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1), 1 ∵a>0,且0<x<m<n< , a ∴x-m<0,1-an+ax>0. ∴f(x)-m<0,即f(x)<m.

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